Körper < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:21 Di 09.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Ich denke, dass das Verständnis folgender Aufgabe für mein Mathematikverständnis recht wichtig sein könnte:
Bestimmen Sie (bis auf Isomorphie) alle Körper mit drei bzw. vier Elementen.
So, also, ein Körper muss ja schon mal mindestens 2 Elemente enthalten, nämlich das Einselement 1 und das Nullelement 0, und diese beiden müssen auch verschieden sein. Nehmen wir als drittes Element einfach ein Element a hinzu. Wie gebe ich jetzt einen Körper dazu an? Ich vermute mal, mit einer Verknüpfungstabelle. Da es ja nur 3 Elemente sind und ich hier schlecht eine Tabelle hinbekomme, schreibe ich mal einfach alle möglichen Verknüpfungen auf, wie ich sie machen würde:
0+0=0 1+0=1 a+0=a
0+1=1 1+1=a a+1=0
0+a=a 1+a=0 a+a=1
bei allem, wo ein a drin vorkommt bin ich mir nicht so ganz sicher. Ich habe mir vorgestellt, dieses Element wäre 2 und ich würde einfach mod 3 rechnen. Ist das richtig so? Sonst könnte ich mir leider nicht herleiten, was denn 1+a oder a+a sein soll...
Okay, und noch die Multiplikation:
0*0=0 1*0=0 a*0=0
0*1=0 1*1=1 a*1=a
0*a=0 1*a=a a*a=1
Hier wäre dann das gleiche Problem wie oben im Fall a*a. Woher weiß ich, wie ich das definieren muss?
So, und nun meine Frage: Ist das der einzige Körper mit drei Elementen, den man bilden kann? Wenn ja, warum, wenn nein, wie finde ich heraus, was ich anders machen kann, um einen anderen Körper zu erhalten?
Geht das bei 4 Elementen genauso? Gibt es da mehrere Körper?
Und noch eine Frage: Was genau ist mit "bis auf Isomorphie" gemeint? Ich weiß zwar, was ein Isomorphismus ist, aber wenn ich hier zwei Körper angeben würde, die zwar isomorph aber nicht gleich sind, wie würde das aussehen? (Ich hoffe, meine Frage ist verständlich...)
viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
P.S.: Ich weiß zwar nicht, seit wann ich das auch wieder darunter schreiben muss, aber anders scheint es nicht zu funktionieren: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Bastiane,
Endliche Körper erzeugt man in der Regel durch Restklassenbildung in Polynomringen.
Genauer: Du suchst einen Körper [mm] GF(p^k) [/mm] mit [mm] p^k [/mm] Elementen. Betrachte dazu den Polynomring [mm] $\IZ_p[x]$ [/mm] und wähle darin ein irreduzibles Polynom vom Grad k.
Dann gilt [mm] GF(p^k) $\cong \IZ_p[x]/$ [/mm] In der Regel gibt es mehrere irreduzible Polynome vom Grad k. Die VERSCHIEDENEN entstehenden Körper sind allerdings ISOMORPH zueinander.
Die Verknüpfungstabelle für Deinen 3-elementigen Körper stimmt. Um dessen Eindeutigkeit zu zeigen, mache Dir noch ein paar Gedanken zur Charakeristik des Körpers und der seiner Einheitengruppe.
Liebe Grüße,
Jakob "Holy Diver" Huber
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:46 Mi 10.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Jakob!
Danke für die Antwort, aber leider verstehe ich sie nicht so ganz.
> Endliche Körper erzeugt man in der Regel durch
> Restklassenbildung in Polynomringen.
>
> Genauer: Du suchst einen Körper [mm]GF(p^k)[/mm] mit [mm]p^k[/mm] Elementen.
> Betrachte dazu den Polynomring [mm]\IZ_p[x][/mm] und wähle darin ein
> irreduzibles Polynom vom Grad k.
> Dann gilt [mm]GF(p^k)[/mm] [mm]\cong \IZ_p[x]/[/mm] In der Regel gibt es
> mehrere irreduzible Polynome vom Grad k. Die VERSCHIEDENEN
> entstehenden Körper sind allerdings ISOMORPH zueinander.
Das Wort irreduzibel wird im ganzen Buch nicht erklärt, demnach müsste es auch noch einen anderen Weg geben, die Aufgabe zu lösen. Oder könntest du mir das etwas genauer erklären?
> Die Verknüpfungstabelle für Deinen 3-elementigen Körper
> stimmt. Um dessen Eindeutigkeit zu zeigen, mache Dir noch
> ein paar Gedanken zur Charakeristik des Körpers und der
> seiner Einheitengruppe.
Die Charakteristik dieses Körpers ist doch 0, oder? Aber das Wort "Einheitengruppe" habe ich glaube ich noch nie gehört. Was ist damit gemeint?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:10 Mi 10.08.2005 | | Autor: | statler |
Hallo Christiane,
> Hallo Jakob!
> Danke für die Antwort, aber leider verstehe ich sie nicht
> so ganz.
> > Endliche Körper erzeugt man in der Regel durch
> > Restklassenbildung in Polynomringen.
> >
> > Genauer: Du suchst einen Körper [mm]GF(p^k)[/mm] mit [mm]p^k[/mm] Elementen.
> > Betrachte dazu den Polynomring [mm]\IZ_p[x][/mm] und wähle darin ein
> > irreduzibles Polynom vom Grad k.
> > Dann gilt [mm]GF(p^k)[/mm] [mm]\cong \IZ_p[x]/[/mm] In der Regel gibt es
> > mehrere irreduzible Polynome vom Grad k. Die VERSCHIEDENEN
> > entstehenden Körper sind allerdings ISOMORPH zueinander.
>
Das ist alles völlig richtig und beschreibt den Weg, den man wählen sollte, wenn man mit Polynomringen sicher umgehen kann. Aber deine "Bastel"-Lösung mit der Tabelle und dem gezielten Probieren ist auch OK und hier vielleicht sogar erwünscht.
> Das Wort irreduzibel wird im ganzen Buch nicht erklärt,
> demnach müsste es auch noch einen anderen Weg geben, die
> Aufgabe zu lösen. Oder könntest du mir das etwas genauer
> erklären?
>
Das lernt man auf jeden Fall in einer Algebra-Vorlesung, ob in Lin. Alg. auch, weiß ich nicht. Irreduzible Pol. kann ich nicht als Produkt von 2 anderen Pol. schreiben.
> > Die Verknüpfungstabelle für Deinen 3-elementigen Körper
> > stimmt. Um dessen Eindeutigkeit zu zeigen, mache Dir noch
> > ein paar Gedanken zur Charakeristik des Körpers und der
> > seiner Einheitengruppe.
> Die Charakteristik dieses Körpers ist doch 0, oder?
Nee, überhaupt nich! Endliche Körper haben immer Charakteristik p. Hier ist die Charakteristik 3, weil 1 + 1 +1 = 0 ist.
Aber
> das Wort "Einheitengruppe" habe ich glaube ich noch nie
> gehört. Was ist damit gemeint?
In einem Körper sind das die von 0 verschiedenen Elemente, in einem Ring diejenigen, die ein multiplikatives Inverses haben.
>
> Viele Grüße
> Bastiane
>
>
Viel Spaß mit dem 4elementigen Körper und Grüße aus HH-Harburg (du weißt ja jetzt, wo das liegt)/Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 Mi 10.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Dieter!
> Das ist alles völlig richtig und beschreibt den Weg, den
> man wählen sollte, wenn man mit Polynomringen sicher
> umgehen kann. Aber deine "Bastel"-Lösung mit der Tabelle
> und dem gezielten Probieren ist auch OK und hier vielleicht
> sogar erwünscht.
Gut, also doch noch mal ans Basteln. Ich hab' mittlerweile mehrere solcher Aufgaben versucht, u. a. ![[]](/images/popup.gif) diese hier. Aber ich bekomme da kein System rein, wie man das macht. Das einzige, was ich weiß, ist, dass irgendwo ein neutrales Element sein muss, also eine Zeile genauso aussieht wie die Zeile "über der Tabelle" und dass in jeder Zeile und jeder Spalte jedes Element genau einmal vorkommen muss (das stimmt doch, oder?). Aber für den Rest müsste ich dann Stunden rumprobieren, und trotzdem komme ich meist nicht auf die richtige Lösung.
Bei dieser Aufgabe wäre doch schon mal w das neutrale Element, oder?
Gibt es denn vllt irgendwie ein Prinzip um herauszufinden, welche Elemente invers zueinander sind? Und wenn ich nicht weiß, ob die Gruppe kommutativ ist, wie finde ich das heraus (außer, dass ich mir die Symmetrie der fertigen Tafel angucke...)
> > > Die Verknüpfungstabelle für Deinen 3-elementigen Körper
> > > stimmt. Um dessen Eindeutigkeit zu zeigen, mache Dir noch
> > > ein paar Gedanken zur Charakeristik des Körpers und der
> > > seiner Einheitengruppe.
> > Die Charakteristik dieses Körpers ist doch 0, oder?
>
> Nee, überhaupt nich! Endliche Körper haben immer
> Charakteristik p. Hier ist die Charakteristik 3, weil 1 + 1
> +1 = 0 ist.
Stimmt, es war ja ein endlicher Körper...
Aber was sagt mir das jetzt darüber, dass (oder ob?) es nur einen solchen Körper gibt?
Viele Grüße
Christiane
|
|
|
| |
|
hi,
für den Körper mit 3 Elementen ist das alles eindeutig,
dass die Charakteristik 3 ist ist gut, denn bei einem Körper muss die Charakteristik 0 oder eine Primzahl sein, also 3 ist prima
wenn du dann einfach ausrechnest für die Elemente {0, 1, a}
0+0=0
0+1=1
0+a=a
1+0 =0
1+1=a
1+a=0
a+0=a
a+1=0
a+a=1
das ist kommutativ, und eine Gruppe
für die Multiplikation ist es noch einfacher
1*a=a
a*a=1
a*1=a
also ist [mm] K\{0}auch [/mm] eine abelsche Gruppe und a ist zu sich selbst invers
Du kannst die Distributivgesetze nachrechnen und dann müßte das klappen.
Die Charakteristik ist dann 1+a = 1+1+1 = a+1=0
Liebe Grüße
Britta
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:58 Mi 10.08.2005 | | Autor: | statler |
Hi nochmal!
> Hallo Dieter!
>
> Gut, also doch noch mal ans Basteln. Ich hab' mittlerweile
> mehrere solcher Aufgaben versucht, u. a.
> diese hier.
> Aber ich bekomme da kein System rein, wie man das macht.
> Das einzige, was ich weiß, ist, dass irgendwo ein neutrales
> Element sein muss, also eine Zeile genauso aussieht wie die
> Zeile "über der Tabelle" und dass in jeder Zeile und jeder
> Spalte jedes Element genau einmal vorkommen muss (das
> stimmt doch, oder?). Aber für den Rest müsste ich dann
> Stunden rumprobieren, und trotzdem komme ich meist nicht
> auf die richtige Lösung.
Vielleicht hilft es, wenn man weiß, daß es (bis auf Isomorphie) nur 2 Gruppen der Ordnung 6 gibt? Das neutrale Elem. hast du doch schon (wie eigentlich?) gefunden, damit kannst du die Tab. weiter ausfüllen und dann den nächsten Versuch starten. Von den beiden Gruppen ist übrigens eine kommutativ und die andere nicht!
> Bei dieser Aufgabe wäre doch schon mal w das neutrale
> Element, oder?
> Gibt es denn vllt irgendwie ein Prinzip um herauszufinden,
> welche Elemente invers zueinander sind?
Auch eine gute Frage, inverse Elem. sind immer miteinander vertauschbar! Können y und v zueinander invers sein? Es darf kein stumpfsinniges Probieren sein, sondern gezieltes Probieren.
Und wenn ich nicht
> weiß, ob die Gruppe kommutativ ist, wie finde ich das
> heraus (außer, dass ich mir die Symmetrie der fertigen
> Tafel angucke...)
>
> Stimmt, es war ja ein endlicher Körper...
> Aber was sagt mir das jetzt darüber, dass (oder ob?) es
> nur einen solchen Körper gibt?
Naja, du hast doch nachgewiesen, daß die Verknüpfungstabelle genau so aussehen muß. Das einzige, was du noch ändern kannst, ist der Name von dem a, das kann auch b (oder Meyer) heißen. Aber dann kannst du doch ganz einfach einen Isomorphismus zwischen diesen beiden Körpern angeben, hoffe ich.
>
> Viele Grüße
> Christiane
>
>
Viele Grüße zurück!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 Mi 10.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
> Hi nochmal!
Ebenso...
> Vielleicht hilft es, wenn man weiß, daß es (bis auf
> Isomorphie) nur 2 Gruppen der Ordnung 6 gibt? Das neutrale
> Elem. hast du doch schon (wie eigentlich?) gefunden, damit
> kannst du die Tab. weiter ausfüllen und dann den nächsten
> Versuch starten. Von den beiden Gruppen ist übrigens eine
> kommutativ und die andere nicht!
Okay, also dass es nur 2 Gruppen der Ordnung 6 gibt, hatte ich mittlerweile auch schon irgendwo gelesen. Aber gibt es da eine Regel, wie man das allgemein feststellen kann? Wie sieht es denn dann bei dem Körper mit 4 Elementen aus? Oder eine Gruppe mit 100 Elementen?
Das neutrale Element habe ich gefunden, indem ich geguckt habe, ob in einer Zeile das Gleiche steht wie oben drüber oder in einer Spalte das gleiche wie links. Da das nicht der Fall war, habe ich geguckt, in welcher Zeile und Spalte noch nichts steht, und da blieb als einziges das w übrig. Wie hättest du es denn gemacht?
> > Bei dieser Aufgabe wäre doch schon mal w das neutrale
> > Element, oder?
> > Gibt es denn vllt irgendwie ein Prinzip um
> herauszufinden,
> > welche Elemente invers zueinander sind?
>
> Auch eine gute Frage, inverse Elem. sind immer miteinander
> vertauschbar! Können y und v zueinander invers sein? Es
> darf kein stumpfsinniges Probieren sein, sondern gezieltes
> Probieren.
Ja, eben! Und wie man es gezielt macht, das könnte mir doch langsam endlich mal jemand verraten, oder?
Ich komme jetzt bei dieser Aufgabe da nur so weit:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Und wie mache ich dann weiter???
> > Stimmt, es war ja ein endlicher Körper...
> > Aber was sagt mir das jetzt darüber, dass (oder ob?) es
> > nur einen solchen Körper gibt?
>
> Naja, du hast doch nachgewiesen, daß die
> Verknüpfungstabelle genau so aussehen muß. Das einzige, was
> du noch ändern kannst, ist der Name von dem a, das kann
> auch b (oder Meyer) heißen. Aber dann kannst du doch ganz
> einfach einen Isomorphismus zwischen diesen beiden Körpern
> angeben, hoffe ich.
Ja, stimmt, da hast du recht. Ach, jetzt verstehe ich das auch. Also ein Isomorphismus ist dann in diesem Fall quasi nur eine Umbenennung der Elemente?
Viele Grüße
Bastiane
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:19 Mi 10.08.2005 | | Autor: | SEcki |
> Okay, also dass es nur 2 Gruppen der Ordnung 6 gibt, hatte
> ich mittlerweile auch schon irgendwo gelesen. Aber gibt es
> da eine Regel, wie man das allgemein feststellen kann? Wie
> sieht es denn dann bei dem Körper mit 4 Elementen aus? Oder
> eine Gruppe mit 100 Elementen?
Endliche Gruppen sind iirc schon komplett klasifiziert - nicht das das gnaze mehrere hundert Seiten füllen würde. Endliche Körper sind da einfacher - die gibt's nur in Primzahloptenzen und dann jeweils isomorph.
> Und wie mache ich dann weiter???
Weiter knobeln! Es gibt viele Sachen über Gruppen,die man da verwenden sollte - also wenn diese Tafel eine Lösung hat, dann hat sie imogenau eine (ich habe die Tabelle ausgefüllt, etwas knifflig, aber witzig!). Ich sage jetzt nicht, was ich an welcher Stelle verwendet habe - erstmal alle Sachen über Gruppen zusammenstellen und dann weitermachen, Kästchen erstmal mit allen Buchstaben füllen, die noch möglich sein können.
> Ja, stimmt, da hast du recht. Ach, jetzt verstehe ich das
> auch. Also ein Isomorphismus ist dann in diesem Fall quasi
> nur eine Umbenennung der Elemente?
Ja.
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:22 Do 11.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Anscheinend bin ich nicht in der Lage, meine Fragen richtig auszudrücken... ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
> > Okay, also dass es nur 2 Gruppen der Ordnung 6 gibt, hatte
> > ich mittlerweile auch schon irgendwo gelesen. Aber gibt es
> > da eine Regel, wie man das allgemein feststellen kann? Wie
> > sieht es denn dann bei dem Körper mit 4 Elementen aus? Oder
> > eine Gruppe mit 100 Elementen?
>
> Endliche Gruppen sind iirc schon komplett klasifiziert -
> nicht das das gnaze mehrere hundert Seiten füllen würde.
> Endliche Körper sind da einfacher - die gibt's nur in
> Primzahloptenzen und dann jeweils isomorph.
Was heißt iirc?
Woher weiß ich denn jetzt, wieviele Gruppen der Ordnung 6 es gibt? Oder der Ordnung 8? Primzahlen gibt es nämlich unendliche viele, und Prinzahlpotenzen dann erst recht...
> > Und wie mache ich dann weiter???
>
> Weiter knobeln! Es gibt viele Sachen über Gruppen,die man
> da verwenden sollte - also wenn diese Tafel eine Lösung
> hat, dann hat sie imogenau eine (ich habe die Tabelle
> ausgefüllt, etwas knifflig, aber witzig!). Ich sage jetzt
> nicht, was ich an welcher Stelle verwendet habe - erstmal
> alle Sachen über Gruppen zusammenstellen und dann
> weitermachen, Kästchen erstmal mit allen Buchstaben füllen,
> die noch möglich sein können.
Könntest du mir nicht mal wenigstens eine Sache vorrechnen? Ich habe echt keine Ahnung, wie ich hier jetzt weiter machen soll.
Bastiane
![[breakdance]](/images/smileys/breakdance.gif "[breakdance]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:34 Do 11.08.2005 | | Autor: | SEcki |
> Was heißt iirc?
If I recall correctly
> Woher weiß ich denn jetzt, wieviele Gruppen der Ordnung 6
> es gibt? Oder der Ordnung 8? Primzahlen gibt es nämlich
> unendliche viele, und Prinzahlpotenzen dann erst recht...
Das frag mal einen Gruppentheoretiker ... mir fallen da spontan zB die Sylow-Sätze ein. Dann klassifiziert man zB alle abelschen Gruppen. Dann findet man weitere Klassen und findet etwas über die Struktur heraus ... so hangelt mn sich wohl durch alel Gruppen, zeigt dann ein paar Ausnahmen, und dann, dass es keine andere Klasse mehr gibt. Für ein fixiertes n ist es aber "leicht": es gibt ja nur endlich viele Gruppentafeln - die kann man dann alle durchprobieren und testen. (Aber sowas würde ich immer einem PC überlassen ...)
> Könntest du mir nicht mal wenigstens eine Sache vorrechnen?
Hmm, nö. Hast du denn mit meinem Ansatz weitergemacht? In jedere Zeile und jeder Spalte darf jedes Element nur einmal auftauchen, falls a*b=e ist, dann auch b*a=e. Und einmal hatte ich die Wahl zwischen zwei Elementen - dann habe ich die Wahl von einen auf einen Widerspruch mit einer kleinen Rechnung von schon bekannten Werten geführt, also muss es der andere sein. Schau dir immer Ecken an, die ller sind, aber deren Spalten und Zeilen jeweils reich gefüllt sind.
> Ich habe echt keine Ahnung, wie ich hier jetzt weiter machen soll.
Okay, einen Tip: schau dir v*z an: welche Werte sind da offenbar nur möglich? Welcher fällt warum weg?
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:10 Do 11.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo SEcki!
> > Was heißt iirc?
>
> If I recall correctly
>
> > Woher weiß ich denn jetzt, wieviele Gruppen der Ordnung 6
> > es gibt? Oder der Ordnung 8? Primzahlen gibt es nämlich
> > unendliche viele, und Prinzahlpotenzen dann erst recht...
>
> Das frag mal einen Gruppentheoretiker ... mir fallen da
> spontan zB die Sylow-Sätze ein. Dann klassifiziert man zB
> alle abelschen Gruppen. Dann findet man weitere Klassen und
> findet etwas über die Struktur heraus ... so hangelt mn
> sich wohl durch alel Gruppen, zeigt dann ein paar
> Ausnahmen, und dann, dass es keine andere Klasse mehr gibt.
> Für ein fixiertes n ist es aber "leicht": es gibt ja nur
> endlich viele Gruppentafeln - die kann man dann alle
> durchprobieren und testen. (Aber sowas würde ich immer
> einem PC überlassen ...)
Okay, danke für die ausführliche Erklärung. Also kann ich so, mit dem Stoff der ersten zwei Semester Lineare Algebra, nicht sehen, wie viele Gruppen es da jeweils für gibt. Also, dass er mit 6 Elementen zwei Gruppen gibt, das merke ich mir jetzt, gibt es sonst noch ein Beispiel, dass man sich merken sollte?
> > Könntest du mir nicht mal wenigstens eine Sache
> vorrechnen?
>
> Hmm, nö. Hast du denn mit meinem Ansatz weitergemacht? In
> jedere Zeile und jeder Spalte darf jedes Element nur einmal
> auftauchen, falls a*b=e ist, dann auch b*a=e. Und einmal
> hatte ich die Wahl zwischen zwei Elementen - dann habe ich
> die Wahl von einen auf einen Widerspruch mit einer kleinen
> Rechnung von schon bekannten Werten geführt, also muss es
> der andere sein. Schau dir immer Ecken an, die ller sind,
> aber deren Spalten und Zeilen jeweils reich gefüllt sind.
>
> > Ich habe echt keine Ahnung, wie ich hier jetzt weiter
> machen soll.
> Okay, einen Tip: schau dir v*z an: welche Werte sind da
> offenbar nur möglich? Welcher fällt warum weg?
Okay, also mit diesem Tipp habe ich dann mal weitergerechnet (ich hoffe, du hast die Tabelle noch da?):
v*z kann nur entweder w oder y sein, da sonst alles in der entsprechenden Zeile bzw. Spalte schon vorhanden ist. Allerdings habe ich gerade festgestellt, dass mein Beweis, dass es y sein muss, gar nicht stimmt (hab mich da irgendwo verguckt), und jetzt weiß ich gerade gar nicht, wo ich denn jetzt einen Widerspruch für eins der beiden Elemente herbekomme. Könntest du mir da vielleicht helfen? Jedenfalls bin ich mit der Annahme, dass es y sein muss, bis zum Schluss gekommen, werde gleich mal testen, ob es richtig so ist. Allerdings habe ich da an einer anderen Stelle nochmal einfach mit einem von zwei möglichen Elementen weitergerechnet, wo ich nicht bewiesen habe, ob es das richtige ist... Bei welchem Axiom guckt man da denn zuerst?
Viele Grüße
Bastiane
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:18 Do 11.08.2005 | | Autor: | SEcki |
> Okay, danke für die ausführliche Erklärung. Also kann ich
> so, mit dem Stoff der ersten zwei Semester Lineare Algebra,
> nicht sehen, wie viele Gruppen es da jeweils für gibt.
Wie gesagt: ausprobieren. aber da snicht schön, oder irgendwie handlich. Mehr Theorie gibt es in LinAlg normalerweise nicht.
> Also, dass er mit 6 Elementen zwei Gruppen gibt, das merke
> ich mir jetzt, gibt es sonst noch ein Beispiel, dass man
> sich merken sollte?
> Okay, also mit diesem Tipp habe ich dann mal
> weitergerechnet (ich hoffe, du hast die Tabelle noch da?):
> v*z kann nur entweder w oder y sein, da sonst alles in der
> entsprechenden Zeile bzw. Spalte schon vorhanden ist.
> Allerdings habe ich gerade festgestellt, dass mein Beweis,
> dass es y sein muss, gar nicht stimmt (hab mich da irgendwo
> verguckt), und jetzt weiß ich gerade gar nicht, wo ich denn
> jetzt einen Widerspruch für eins der beiden Elemente
> herbekomme. Könntest du mir da vielleicht helfen?
Eigentlich solltest du das jetzt wirklich selber finden mit den Haufen Hinweisen ... aber: w ist was? Was gilt dann, wenn man die Multiplikation umdreht? Hat man schon Informationen dafür? Mehr sag ich nicht dazu - das soltle wirklich reichen für den Eintrag!
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 Do 11.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
> > Okay, also mit diesem Tipp habe ich dann mal
> > weitergerechnet (ich hoffe, du hast die Tabelle noch da?):
> > v*z kann nur entweder w oder y sein, da sonst alles in
> der
> > entsprechenden Zeile bzw. Spalte schon vorhanden ist.
> > Allerdings habe ich gerade festgestellt, dass mein Beweis,
> > dass es y sein muss, gar nicht stimmt (hab mich da irgendwo
> > verguckt), und jetzt weiß ich gerade gar nicht, wo ich denn
> > jetzt einen Widerspruch für eins der beiden Elemente
> > herbekomme. Könntest du mir da vielleicht helfen?
>
> Eigentlich solltest du das jetzt wirklich selber finden mit
> den Haufen Hinweisen ... aber: w ist was? Was gilt dann,
> wenn man die Multiplikation umdreht? Hat man schon
> Informationen dafür? Mehr sag ich nicht dazu - das soltle
> wirklich reichen für den Eintrag!
Uups, vllt war mein Beweis doch richtig gewesen...
Also, ich mache jetzt mal, so weit ich komme, wäre schön, wenn du dann jeweils sagen könntest, ob das soweit richtig ist, damit ich nicht direkt mit etwas Falschem weiterrechne.
wenn v*z=w wäre, dann müsste auch z*v=w sein. Da z*v=x schon vorgegeben, kann das nicht sein, also muss v*z=y sein.
So, und nun habe ich einmal versucht bei v*x weiter zu machen. Das könnte ja entweder u oder z sein. Allerdings habe ich es da noch nicht geschafft, einen Widerspruch herauszufinden.
Dann habe ich stattdessen versucht, bei v*v weiterzumachen. Da wären u,x und z möglich. Vorhin hatte ich einfach mal z genommen, weil ich keinen Widerspruch gefunden hatte, aber das komplette Ergebnis war dann wohl nicht richtig. Jetzt habe ich mal u genommen, und als ich einen Widerspruch gesucht habe, fand ich nur heraus, dass wenn v*v=u ist, dass dann y*z=v sein muss, wobei ich auch noch keinen Widerspruch sehe. Allerdings beruht das jetzt ja alles nur noch auf Annahmen, was natürlich kein Beweis ist.
Kannst du mir vllt sagen, an welcher Stelle ich jetzt am besten nochmal versuche, einen Widerspruch zu finden?
Viele Grüße
Bastiane
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:51 Do 11.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> Uups, vllt war mein Beweis doch richtig gewesen...
> Also, ich mache jetzt mal, so weit ich komme, wäre schön,
> wenn du dann jeweils sagen könntest, ob das soweit richtig
> ist, damit ich nicht direkt mit etwas Falschem
> weiterrechne.
> wenn v*z=w wäre, dann müsste auch z*v=w sein. Da z*v=x
> schon vorgegeben, kann das nicht sein, also muss v*z=y
> sein.
Ja, das ist vollständig richtig. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Zwar muss die Gruppe nicht kommutativ sein (sie ist es sogar nicht), aber man kann trotzdem aus $vz=w$ folgern, dass auch $zv=w$ gelten müsste, da in einer Gruppe das Rechtsinverse eines Elements immer gleich dem Linksinvsersen ist.
> So, und nun habe ich einmal versucht bei v*x weiter zu
> machen. Das könnte ja entweder u oder z sein. Allerdings
> habe ich es da noch nicht geschafft, einen Widerspruch
> herauszufinden.
Du musst nicht immer unbedingt Widersprüche finden. Häufig kann man auch sehr gut mit dem Assoziativgesetz und der Kürzungregel arbeiten. Wenn du zum Beispiel herausgefunden hast, dass
[mm] $\mbox{Lukas} \mbox{Stefan} [/mm] = [mm] \mbox{Lukas} \mbox{Julius}$
[/mm]
gilt, dann wüsstest du auf Grund der Kürzungsregel (hier durch Linksmultiplikation beider Seiten mit [mm] $\mbox{Lukas}^{-1}$), [/mm] dass [mm] $\mbox{Stefan}=\mbox{Julius}$ [/mm] wäre.
Man kann vieles aber auch direkt aus der Gruppentafel ablesen. Zum Beispiel wollen wir wissen, wass $uv$ ist. Dann rechnen wir so mit dem Assoziativgesetz:
[mm] $uv=\underbrace{(xz)}_{=\, u}v [/mm] = [mm] x\underbrace{(zv)}_{=\, x} [/mm] =xx=w$.
Wir können also in unsere Gruppentafel eintragen: $uv=w$.
Und dann muss auch (Linksinverses=Rechtsinverses!) gelten: $vu=w$.
Hilft dir das schon weiter? 
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:58 Do 11.08.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stefan!
Schön, dass Du wieder da bist ...
> [mm]\mbox{Stefan}=\mbox{Julius}[/mm]
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Echt?
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 Do 11.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
> Zwar muss die Gruppe nicht kommutativ sein (sie ist es
> sogar nicht), aber man kann trotzdem aus [mm]vz=w[/mm] folgern, dass
> auch [mm]zv=w[/mm] gelten müsste, da in einer Gruppe das
> Rechtsinverse eines Elements immer gleich dem
> Linksinvsersen ist.
Ja, nach der Erklärung (ich glaube von SEcki) dachte ich mir das dann. Allerdings wusste ich das nicht wirklich. Wenn alles kommutativ ist, ist das ja klar. Aber jetzt weiß ich das auch. Eigentlich ist es schon logisch...
> > So, und nun habe ich einmal versucht bei v*x weiter zu
> > machen. Das könnte ja entweder u oder z sein. Allerdings
> > habe ich es da noch nicht geschafft, einen Widerspruch
> > herauszufinden.
>
> Du musst nicht immer unbedingt Widersprüche finden. Häufig
> kann man auch sehr gut mit dem Assoziativgesetz und der
> Kürzungregel arbeiten. Wenn du zum Beispiel herausgefunden
> hast, dass
>
> [mm]\mbox{Lukas} \mbox{Stefan} = \mbox{Lukas} \mbox{Julius}[/mm]
>
> gilt, dann wüsstest du auf Grund der Kürzungsregel (hier
> durch Linksmultiplikation beider Seiten mit
> [mm]\mbox{Lukas}^{-1}[/mm]), dass [mm]\mbox{Stefan}=\mbox{Julius}[/mm] wäre.
Ja, das war mal ein guter Tipp... Ich war irgendwie so darauf fixiert, es anders zu machen... Das ist dann ja fast schon wie ein Rätsel, eigentlich mache ich so etwas dann gerne. Aber ich dachte halt, hier müsste noch irgendas anders gehen. Keine Ahnung, was ich eigentlich wollte...
> Man kann vieles aber auch direkt aus der Gruppentafel
> ablesen. Zum Beispiel wollen wir wissen, wass [mm]uv[/mm] ist. Dann
> rechnen wir so mit dem Assoziativgesetz:
>
> [mm]uv=\underbrace{(xz)}_{=\, u}v = x\underbrace{(zv)}_{=\, x} =xx=w[/mm].
Ja, das hatte ich teilweise so ähnlich schon versucht, allerdings immer mit dem Gedanken, einen Widerspruch zu finden...
> Hilft dir das schon weiter?
Ja, und wie. ![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
Ich hab's jetzt mal so bis zum Ende gemacht. Leider wird auf der Seite, wo ich die Aufgabe herhabe, immer noch angezeigt, dass es falsch ist. Leider wird auch weder gesagt, welcher Eintrag falsch ist, noch, wie die richtige Lösung lautet. Falls du es gerechnet hast (falls nicht, musst du es nicht tun - SEcki hat es glaube ich gemacht), kannst du mal gucken, ob es nicht vielleicht doch stimmt. Falls da aber wirklich etwas anderes rauskommt, probiere ich es vielleicht später noch einmal. Ansonsten lege ich die Aufgabe dann glaube ich mal beiseite, denn das Prinzip kenne ich jetzt glaube ich.
Ich schreibe es mal als Matrix, die Zeilen- und Spaltennummerierung ist einfach nach dem Alphabet, wie es ja auch vorgegeben war:
[mm] \pmat{ y&w&u&v&z&x\\w&z&v&u&x&y\\u&v&w&x&y&z\\z&y&x&w&v&u\\x&u&y&z&w&v\\v&x&z&y&u&w }
[/mm]
Vielen Dank für die Antwort und viele Grüße
Christiane
![[hand]](/images/smileys/hand.gif "[hand]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:26 Fr 12.08.2005 | | Autor: | statler |
Hallo Christiane,
noch einmal zu dieser Aufgabe, ich habe mal versucht, sie so simpel wie möglich anzupacken.
1) w muß die Einheit sein, da für alle anderen Elemente die Zeile oder die Spalte falsch belegt ist. Das hattest du auch schon.
2) Dann kann man sofort auch die x-Zeile ausfüllen.
3) Die Gruppe ist nicht kommutativ, da zv = x ist, aber vz =| x sein muß. Es ist ja schon vy = x. Also ist die Gruppe nicht zyklisch, also haben die Elemente =| w die Ordnung 2 oder 3.
4) Es gibt (mind.) ein Element der Ordnung 3, weil eine Gruppe, in der alle Elemente =| w die Ordnung 2 haben, kommutativ ist. (Das hatten wir schon.) Hat a die Ordnung 3, dann auch aQuadrat = [mm] a^2. [/mm] Es ist nämlich [mm] a^2 [/mm] =| w und [mm] (a^2)^2 a^4 [/mm] = [mm] (a^3)a [/mm] = a =| w.
5) Kann es weitere Elemente der Ordnung 3 geben? Wäre b so eines, dann hätte man auch noch die Untergruppe {w, b, [mm] b^2}, [/mm] also wären 5 Elemente verbraucht, und es bliebe noch ein c, was notwendigerweise die Ordnung 2 hätte, weil eine weitere U-Gruppe der Ordnung 3 nicht reinpaßt.
6) Jetzt prüfen wir, was ab sein könnte. Alle 5 Gleichungen ab = w, ab = b, ab = [mm] b^2, [/mm] ab = a, ab = [mm] a^2 [/mm] können nicht sein, also bleibt ab = c. Ebenso können die Gleichungen [mm] ab^2 [/mm] = w, [mm] ab^2 [/mm] = b, [mm] ab^2 [/mm] = [mm] b^2, ab^2 [/mm] = a, [mm] ab^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] nicht sein, also ist auch [mm] ab^2 [/mm] = c. Das kann aber auch nicht sein, also gibt es nur 2 Elemente der Ordnung 3 und damit 3 Elemente der Ordnung 2.
7) Welche Ordnung hat das Produkt aus einem Element der Ordnung 2 und einem Element der Ordnung 3? Es kann nicht das andere Element der Ordnung 3 sein, weil die beiden Elemente der Ordnung 3 durch Quadrieren auseinander hervorgehen. Also ist das Produkt ein Element der Ordnung 2. Dann folgt aber sofort, daß ein Produkt von 2 Elementen der Ordnung 2 die Ordnung 3 hat.
8) Jetzt zur Tabelle: Es ist zv = vy = x, und x ist ein Element der Ordnung 2. Wenn also ord(v) = 2, dann ord(z) = ord(y) 3. Wenn ord(v) = 3, dann ord(z) = ord(y) = 2. Also gibt es die beiden Möglichkeiten
(a) ord(w) = 1, ord(x) = ord(v) = ord(u) = 2, ord(z) = ord(y) = 3
oder
(b) ord(w) = 1, ord(x) = ord(y) = ord(z) = 2, ord(u) = ord(v) = 3
9) 8a läuft wie folgt: Es muß zz = y und yy = z sein und zy = zzz = w = yz. Wenn ich das eintrage und mir die y-Spalte angucke, bleibt für uy nur noch u. Das ist ein Widerspruch, also kann 8a nicht sein! Für 8b kriegt man die Tabelle eindeutig ausgefüllt. (Machet!) Bewiesen ist dann: Wenn das Ding eine Gruppe ist, sieht die Verknüpfungstabelle notwendigerweise so aus. Zum Beweis, daß diese Tabelle eine Gruppe gibt, fehlt noch der Nachweis der Assoziativität. Es gibt im Prinzip 216 Gleichungen (ab)c = a(bc) nachzurechnen, weil wir 6 Elemente haben. Und wie nun weiter? FF
LG aus Hamburg-Poppenbüttel
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:46 Mi 10.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") Aber ich glaube, du bist hier ein bisschen zu voreilig. Deine Mitteilung in dem Thread, den du beenden wolltest, hat mich sehr schockiert, vor allem, weil du gerade neuer Mod bist, und Mod wird in der Regel nur jemand, der auch die Forenregeln erstens kennt und zweitens vor allem beachtet! Und da steht nirgendwo etwas davon, dass man jemandem Diskussionsverbot erteilen darf, sondern meiner Meinung nach hört sich das alles eher deutlich so an, als darf hier jeder so lange er will diskutieren. Aber dazu haben dir ja auch die meisten im Mod-Forum jetzt schon was geschrieben.
> Hallo Bastine,
Und vielleicht könntest du wenigstens die Namen von den Leuten richtig lesen und richtig schreiben, wenn du sie schon direkt anredest!
> Du hast zwat schon 5 Sterne gesammelt, aber dennoch
> scheinst Du ein ziemlich unbelecktes Blatt zu sein.
> ![[sehrverdaechtig]](/images/smileys/sehrverdaechtig.gif "[sehrverdaechtig]")
Was bitte schön soll das denn heißen? Erstens haben die Sterne überhaupt nichts zu sagen, wieviel jemand weiß und zweitens kann ich mir die Sterne ja auch in anderen Foren verdient haben. Zum Beispiel in den Schulforen oder im Analysis-Forum oder sonst wo.
> Ich lege es Dir als schwere Bildungslücke aus, nicht zu
> wissen, was ein irreduzibles Polynom und die Charakteristik
> eines endlichen Körpers sind. ![[verlegen]](/images/smileys/verlegen.gif "[verlegen]")
Und vllt solltest du auch etwas genauer lesen, was ich schreibe, sonst kommt es hier demnächst noch zu schweren Missverständnissen (und da hatten wir schon so schwere, dass einzelne Leute aus dem Team ausgetreten sind!!!)
Ich habe nirgendwo gesagt, dass ich nicht weiß, was ein irreduzibles Polynom ist. Ich habe nur gesagt, dass es im Buch nicht erklärt wird und ich somit gerne eine Lösung hätte, die auf den Inhalten des Buches beruht! Abgesehen davon sind meine LA-Vorlesungen schon etwas länger her, deswegen sitze ich ja jetzt hier und lerne fleißig, damit ich in Zukunft auch Jahre später so etwas noch weiß!
Und ich habe auch überhaupt nichts davon gesagt, dass ich nicht weiß, was eine Charakteristik ist. Ich habe mich lediglich bei diesem speziellen Beispiel vertan, denn was eine Charakteristik ist, weiß ich ganz genau! :-P
> Du solltest Dich jetzt ein ganz kleines bißchen schämen
> ![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") , und Dich dann mächtig doll bei Deinem Algebra-Prof
> beschweren. ![[hammer]](/images/smileys/hammer.gif "[hammer]")
Danke für die Ermutigungen! Algebra hatte ich noch nie, und mein LA-Prof ist seit 2 Jahren in Amerika.
Überleg doch bitte demnächst vorher etwas, bevor du Mitteilungen mit eher unmathematischem Inhalt an Leute richtest.
Viele Grüße
Bastiane
|
|
|
| |
|
Hallo Bastiane,
Ich wollte Dich mit diesem Artikel auf gar keinen Fall beleidigen! Sollte das dennoch der Fall gewesen sein, so tut es mir leid. Es wird nicht mehr vorkommen. Das Ganze war in höchstem Maße scherzhaft gemeint. Ich vergesse nur zu leicht, dass es nicht viele Leute gibt, die meinen Humor auf Anhieb verstehen.
Zu dem Thread den ich schließen wollte. Ja, Du hast recht. Das war eine echte Dummheit. Ich habe auch an dieser Stelle bereits dargelegt, wieso ich so gehandelt habe, und mich in aller Form entschuldigt. Auch das kommt garantiert nie wieder vor.
> > Hallo Bastine,
> Und vielleicht könntest du wenigstens die Namen von den
> Leuten richtig lesen und richtig schreiben, wenn du sie
> schon direkt anredest!
Das war einfach nur ein Tippfehler. So etwas passiert mir häufiger. Ich hatte im Forum schon öfter mit Dir zu tun, und hoffe, dass ich Deinen Namen dort immer richtig geschieben habe. Also bitte nicht böse sein.
Kurzum: Es lag nicht in meiner Absicht, Dich zu beleidigen. Ich werde nie wieder ohne Rücksprache in Threads eingreifen, und selbstverständlich werde ich in Zukunft darauf achten, Deinen Namen richtig zu schreiben, Bastiane. ![[umarmen]](/images/smileys/umarmen.gif "[umarmen]") (Du gestattest hoffentlich diese Umarmung als Geste der Versöhnung.)
An alle: Bitte verzeiht mir meinen Fehlstart in meine Moderatorenlaufbahn. Ich kann nur noch besser werden.
Ich hoffe, damit wären alle Unstimmigkeiten aus der Welt geschafft.
Liebe Grüße,
Jakob "Holy Diver" Huber
|
|
|
| |
|
Vielleicht noch ein Hinweis. In jedem Körper muß es auch ein Element -1 geben - und das genau ist dein a. Viele der von dir angeführten Gleichungen erledigen sich dann von selbst. (Offene Frage: Warum gilt in einem Körper mit 3 Elementen [mm]1 \neq -1[/mm]?)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:22 Mi 10.08.2005 | | Autor: | SEcki |
> 0+0=0 1+0=1 a+0=a
> 0+1=1 1+1=a a+1=0
> 0+a=a 1+a=0 a+a=1
>
> bei allem, wo ein a drin vorkommt bin ich mir nicht so ganz
> sicher. Ich habe mir vorgestellt, dieses Element wäre 2 und
> ich würde einfach mod 3 rechnen. Ist das richtig so? Sonst
> könnte ich mir leider nicht herleiten, was denn 1+a oder
> a+a sein soll...
Das kann man sich aus den Koerperaxiomen herleiten:
die erste Spalte ergibt sich sofort aus der Eigenschaft der 0, 1+0+1 ist auch klar. Betrachten wir 1+a: Waere 1+a=1. so ergaebe sich a=0, Widerspruch. Waere 1+a=a. so ergaebe sich 1=0, Widerspruch. Also 1+a=0 und damit a=-1. Damit folgt auch 1+1=-, sonst wuerde die Gruppentabelle bzgl. Addition nicht aufgehen. Nun bleibt: a+a=a*(1+1)=a*a=1. Und die Multiplikation faellt auch ab. Es reicht also zu zeigen, dass a=-1 sein muss - der Rest folgt dann.
> So, und nun meine Frage: Ist das der einzige Körper mit
> drei Elementen, den man bilden kann?
Ja, die einzige Annahme, aus der alle folgt, ist, das es drei verschiedene Elemente gibt.
> Und noch eine Frage: Was genau ist mit "bis auf Isomorphie"
> gemeint? Ich weiß zwar, was ein Isomorphismus ist, aber
> wenn ich hier zwei Körper angeben würde, die zwar isomorph
> aber nicht gleich sind, wie würde das aussehen? (Ich hoffe,
> meine Frage ist verständlich...)
Zwei nicht gleiche aber isomorphe Koerper? Das einfachste ist imo einmal den Koeper mit drei Elemente direkt wie oben anzugeben - und auf der anderen Seite [m]\|Z_3[/m]. anzuschaun. Es ist oft eher eine Frage wie man sie konstruiert.
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Mi 10.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo SEcki!
> > 0+0=0 1+0=1 a+0=a
> > 0+1=1 1+1=a a+1=0
> > 0+a=a 1+a=0 a+a=1
> >
> > bei allem, wo ein a drin vorkommt bin ich mir nicht so ganz
> > sicher. Ich habe mir vorgestellt, dieses Element wäre 2 und
> > ich würde einfach mod 3 rechnen. Ist das richtig so? Sonst
> > könnte ich mir leider nicht herleiten, was denn 1+a oder
> > a+a sein soll...
>
> Das kann man sich aus den Koerperaxiomen herleiten:
>
> die erste Spalte ergibt sich sofort aus der Eigenschaft der
> 0, 1+0+1 ist auch klar. Betrachten wir 1+a: Waere 1+a=1. so
> ergaebe sich a=0, Widerspruch. Waere 1+a=a. so ergaebe sich
> 1=0, Widerspruch. Also 1+a=0 und damit a=-1. Damit folgt
> auch 1+1=-, sonst wuerde die Gruppentabelle bzgl. Addition
> nicht aufgehen. Nun bleibt: a+a=a*(1+1)=a*a=1. Und die
> Multiplikation faellt auch ab. Es reicht also zu zeigen,
> dass a=-1 sein muss - der Rest folgt dann.
Danke für diese Erklärung - so etwas hätte ich mir erhofft. Aber bei drei Elementen ist das ja noch verhältnismäßig einfach. Geht es denn bei mehreren Elementen genauso? Oder muss ich da irgendwann mal irgendwas wählen, weil es vllt mehrere Möglichkeiten gibt? Und wenn ich dann an der falschen Stelle etwas wähle, weil ich eine Sache übersehe, die unbedingt sein muss, dann bekomme ich nachher womöglich einen Widerspruch raus. :-(
> > Und noch eine Frage: Was genau ist mit "bis auf Isomorphie"
> > gemeint? Ich weiß zwar, was ein Isomorphismus ist, aber
> > wenn ich hier zwei Körper angeben würde, die zwar isomorph
> > aber nicht gleich sind, wie würde das aussehen? (Ich hoffe,
> > meine Frage ist verständlich...)
>
> Zwei nicht gleiche aber isomorphe Koerper? Das einfachste
> ist imo einmal den Koeper mit drei Elemente direkt wie oben
> anzugeben - und auf der anderen Seite [m]\|Z_3[/m]. anzuschaun.
> Es ist oft eher eine Frage wie man sie konstruiert.
Mmh, um ehrlich zu sein sehe ich gerade den Unterschied zwischen diesen beiden Körpern nicht. Jedenfalls habe ich mal die Verknüpfungstabellen verglichen, und wenn ich mich nicht vertan habe, dann sind die eigentlich gleich. Was ist denn dann anders?
Viele Grüße
Bastiane
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 Mi 10.08.2005 | | Autor: | SEcki |
> Danke für diese Erklärung - so etwas hätte ich mir
> erhofft.
Das ist ein allgemeines Vorgehen - ich möchte dringend rasten, daß du das mal für 4 Elemente machst und hier vorrechnest!
> Aber bei drei Elementen ist das ja noch
> verhältnismäßig einfach. Geht es denn bei mehreren
> Elementen genauso?
Bei 4 sicher, bei immer mehr Elementen will man vllcht dann auch mal auf die Theorie zurückgreifen ...
> Oder muss ich da irgendwann mal
> irgendwas wählen, weil es vllt mehrere Möglichkeiten gibt?
Ja, das kann sein - aber vllcht ist ein Weg ja dann falsch?
> Und wenn ich dann an der falschen Stelle etwas wähle, weil
> ich eine Sache übersehe, die unbedingt sein muss, dann
> bekomme ich nachher womöglich einen Widerspruch raus. :-(
Ja und? Dann war die Wahl falsch.
> Mmh, um ehrlich zu sein sehe ich gerade den Unterschied
> zwischen diesen beiden Körpern nicht. Jedenfalls
> habe ich mal die Verknüpfungstabellen verglichen, und wenn
> ich mich nicht vertan habe, dann sind die eigentlich
> gleich. Was ist denn dann anders?
...
Wiesst du wirklich, was Isomorphie heisst? Wenn zwei Körper isomorph sind - dann haben sie natürlich die gleiche Verknüpfungstabelle! Aber in einem Fall haben wir ein a, im andern Fall eine 2 - also das sind nicht die gleichen Zeichen.
Ich finde bessere Beispiele für "nicht gleich", aber "isomorph" findet man in der Topologie - man ersetzte isomorph durch homöomorph, dann sind zB die [m]S^1\backslah N[/m] (N wie Nordpol) homöomorph zu [m]\IR[/m], also topologisch "gleich", aber intuitiv nicht umbedingt gleich. Genauso ist das auch hier - verschieden Konstruktionen ergeben 8zB rein mengentheoretisch) unetrschiedliche Mengen, die aber isomorph sind - also im Sinne der Körpertheorie gleich.
Ein anderes nettes Bsp für Isomorphie: rechne mit plus und natürlichen Zahlen - einmal auf Englisch mit Zahlen "one", "two", "three" ... und dann, isomorph dazu, aber nicht gleich, auf deutsch mit "eins", "zwei", "drei", ...
Isomorphie ist ein wichtiges Konzept, das solltest du dir durch den Kopf gehen lassen - und vor allem selber drüber nachdenken, damit sicher der Knoten im Hirn löst!
SEcki
|
|
|
|
