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Körper: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:32 So 09.11.2003
Autor: AstridW

Hallo!
Ich habe noch zwei Fragen in Analyis:

Sei K ein angeordneter Körper, M Teilmenge von K und N:= {|x|;x element M}
Ist M beschränkt, so auch N. (Ja????)
Hat M ein Infimum, so auch N.(nein???)

Vielen Dank schon mal

Astrid

        
Bezug
Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:04 So 09.11.2003
Autor: Stefan

Hallo Astrid,

nur zur Ergänzung:

Natürlich muss das Infimum von N nicht ein Element von N sein, selbst wenn vorher das Infimum von M ein Element von M war.

Beispiel (in [mm]\mathbb{R}[/mm]): [mm] M=[-3,-2] \cup ]0,1][/mm].

(Waren das deine Bedenken?)

Aber das ist natürlich unabhängig davon, ob N ein Infimum (im umgebenden Körper) besitzt.

Alles Gute
Stefan



Nachricht bearbeitet (So 09.11.03 21:05)

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Körper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:09 Mo 10.11.2003
Autor: AstridW

Übrigens ist die 2.Aussage doch falsch, wie ich gerade erfahren habe!!! Warum weiß ich allerdings nicht so genau.
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Körper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:23 Mo 10.11.2003
Autor: Stefan

Hallo Astrid,

uups? Dann wäre ich um Aufklärung demnächst dankbar, wenn du es weißt.  

Wie habt ihr denn angeordnete Körper und den Betrag von Elementen eines angeordneten Körpers sowie das Infimum einer Teilmenge eines angeordeten Körpers definiert?

Viele Grüße
Stefan



Nachricht bearbeitet (Mo 10.11.03 18:25)

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Körper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:07 Di 11.11.2003
Autor: Stefan

Hallo Astrid,

okay, ein Gegenbeispiel ist mir bisher noch nicht eingefallen (ich kenne außer [mm]\IR[/mm] und [mm]\IQ[/mm] halt nicht so viele angeordnete Körper ;-)), aber ich weiß jetzt, wo unser Denkfehler lag. Wir sind stillschweigend davon ausgegangen, dass jede nach unten beschränkte Menge ein Infimum besitzt. Das gilt aber im allgemeinen nicht für angeordnete Körper, sondern nur für archimedisch angeordnete Körper (wie [mm]\IR[/mm] und [mm]\IQ[/mm]).

Es wäre nett, wenn du uns mal ein Gegenbeispiel nennen könntest, sobald du eines hast. :-)

Alles Gute
Stefan



Nachricht bearbeitet (Di 11.11.03 16:05)

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Körper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:01 Do 13.11.2003
Autor: AstridW

Hallo!
Ich hab mittlerweile ein Gegenbeispiel: M={x element Q|x³>3 und -5}

Bezug
                                        
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Körper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:01 Do 13.11.2003
Autor: Stefan

Hallo Astrid!

Okay, du meinst:

[mm]M = \{x \in \IQ\, : \, x^3>3\} \cup \{-5\}.[/mm]

Stimmt, du hast recht, denn es gilt [mm]\inf M=-5[/mm], aber

[mm]N= \{x \in \IQ\, : \, x^3>3\} \cup \{5\}[/mm]

hat natürlich kein Infimum.

Ich Idiot!!! :-( Sorry. ;-)

Vergiss meine Erklärung vom letzten Mal. Man braucht natürlich keine nicht-archimedischen Körper, sondern nicht-vollständige Körper, denn dort gibt es ja bereits nach unten beschränkte Mengen, die kein Infimum besitzen (wenn ich mich nicht ganz irre ist die Eigenschaft, dass jede nach unten beschränkte Menge ein Infimum besitzt, ja sogar äquivalent zur Vollständigkeit).

Oh, oh, ich hoffe du vertraust uns weiterhin, auch wenn wir hier echt Mist gebaut haben. Entschuldige bitte! Peinlich genug für mich ist es allemal.

Alles Gute
Stefan



Nachricht bearbeitet (Do 13.11.03 08:02)

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Körper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:09 Do 13.11.2003
Autor: Marc

Hallo Stefan,

> [mm]M = \{x \in \IQ\, : \, x^3>3\} \cup \{-5\}.[/mm]
>
> Stimmt, du hast recht, denn es gilt [mm]\inf M=-5[/mm], aber
>
> [mm]N= \{x \in \IQ\, : \, x^3>3\} \cup \{5\}[/mm]
>
> hat natürlich kein Infimum.

Moment, ich bin doch auch doof. Der Körper, von dem in der Aufgabenstellung die Rede war, ist dann [mm] K=\IQ [/mm] (und nicht [mm]\IR[/mm])? Oh je, da liegt noch viel Wiederholung vor mir...

Gruß,
Marc.


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Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:26 So 09.11.2003
Autor: Marc

Hallo Astrid,

> Sei K ein angeordneter Körper, M Teilmenge von K und N:= {|x|;x
> element M}
> Ist M beschränkt, so auch N. (Ja????)

Warum so unsicher?
Die Frage ist ja schon irgendwie intuitiv klar, hoffe ich.
Ich zeige es aber mal in einer schönen Folgerungskette:
M beschränkt
=> Es exisiteren zwei Zahlen x,z in K ("untere und obere Schranke"), so dass [mm] x \le y \le z [/mm] für alle [mm]y \in K[/mm]

Ich setze [mm] a:=\max\{|x|,|z|\} [/mm] (a ist dann einfach der Betrag der  betragsmäßig grösseren Zahl)
=> [mm] -a \le x \le y \le z \le a [/mm]
=> [mm] -a \le y \le a [/mm]
=> [mm] 0 \le |y| \le a [/mm]
=> N ist beschränkt.

> Hat M ein Infimum, so auch N.(nein???)

Das würde ich schon sagen.
M besitzt Infimum
=> M nach unten beschränkt
=> N nach unten beschränkt (mit ähnlicher Argumentation wie oben)
=> N besitzt Infimum

Alles klar?

Viele Grüße,
Marc

PS.: Was ist mit der anderen Frage, die du versucht hast, zu stellen (die mit dem homogenen GLS)?


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