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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:53 Fr 28.10.2005 | | Autor: | Commotus |
Folgende Aufgabe:
Für x [mm] \varepsilon [/mm] K und n [mm] \varepsilon \IN [/mm] wird die n-fache Summe von x induktiv erklärt durch 0x = O, (n+1)x = (nx) + x für n [mm] \ge [/mm] 0. Man zeige für n, m [mm] \varepsilon \IN [/mm] und x,y, [mm] \varepsilon [/mm] K:
1.) nx + mx = (n+m)x
2.) n(mx) = (nm)x
3.) nx + ny = n(x+y).
Wie kann ich bei dieser Aufgabe argumentieren, dass die Aussagen stimmen, immerhin sind n und m natürliche Zahlen und x und y Zahlen irgendeines Körpers K.
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Hallo!
Probier's doch mal mit Induktion über $n$! Die erste Aufgabe lautet dann:
Induktionsanfang:
$m=1$: $1*x+m*x=x+mx=(m+1)x$ nach Definition.
Induktionsvoraussetzung:
Sei nun die Behauptung für $n$ gezeigt.
Induktionsschritt:
[mm] $(n+1)x+(m)x=nx+mx+x\stackrel{IV}=(n+m)x +x\stackrel{Def}=(n+m+1)x$.
[/mm]
Weißt du jetzt, wie du die anderen Aufgaben anpacken musst?
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Fr 28.10.2005 | | Autor: | Commotus |
Was genau ist denn der Knackpunkt bei dieser Aufgabe? Worauf kommt es genau an?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:17 Fr 28.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Commotus!
Wie banachella schon meinte:
Die Aussagen sind mit vollständiger Induktion bei fest gewählten Körperelemente zu zeigen. Hast du denn den ersten Beweis verstanden?
Wie könnte man die zweite Aufgabe zeigen?
Zum Beispiel so:
Zu zeigen ist: $n(mx) = (nm)x$.
Dies zeigen wir für festes $m [mm] \in \IN$ [/mm] mit vollständiger Induktion nach $n$.
Für $n=1$ ist aber nichts zu zeigen.
Induktionsschluss:
$(n+1)(mx)$
(nach Definition)
$=n(mx) + mx$
(nach Induktionsvoraussetzung)
$= (nm)x + mx$
(nach 1))
$= [(nm) + m]x$
$= [(n+1)m]x$,
was zu zeigen war.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:27 So 30.10.2005 | | Autor: | Commotus |
Wieso ist für n=1 nichts zu beweisen? Wie müsste der Induktionsanfang bei der zweiten und dritten Aufgabe vollständig aussehen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:43 So 30.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ich meinte "es ist nichts zu zeigen" im Sinne von "es ist trivial".
Schreibe es halt für $n=1$ noch hin...
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 17:49 Fr 28.10.2005 | | Autor: | Commotus |
Wieso ist bei Aufgabe 2) für n=1 nichts zu zeigen? Muss ich dort etwa nichts hinschreiben? Was muss ich bei Aufgabe 3) für n=1 hinschreiben?
Desweiteren:
Analog definiert man [mm] x^0 [/mm] = 1, [mm] x^{n+1} [/mm] = [mm] (x^n)x. [/mm] Und es gelten [mm] x^nx^m [/mm] = [mm] x^{n+m}, (x^m)^n [/mm] = [mm] x^{mn}, x^ny^n [/mm] = [mm] (xy)^n
[/mm]
Für x,y [mm] \varepsilon [/mm] K und n [mm] \varepsilon \IN [/mm] gilt der [mm] (x+y)^n [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} {n\choose k}x^k y^{n-k}
[/mm]
Läuft hier der Beweis der Formel genauso wie der Beweis, als wären x,y und n reelle Zahlen oder muss hier "anders" bewiesen werden?
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"Man gebe einen Grund an, der es plausibel macht, dass in einer solchen Formel die Binomialkoeffizienten erscheinen."
-> Was sollte hier geschrieben werden?
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Ist zu nx + ny = n (x+y) dies hier richtig?
(n+1)x + (n+1)y
Gemäß Definition:
(nx) + x + (ny) + y = (nx) + (ny) + x + y
Induktionsvoraussetzung:
= n(x+y) + (x+y)
Gemäß Definition:
= (n+1) (x+y)
was zu zeigen war?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:01 So 30.10.2005 | | Autor: | matux |
Hallo Commotus!
Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem / Deiner Rückfrage in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
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