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| Aufgabe | Sei (K,+, ·) ein Köper und x, y, u, v ∈ K mit y, v ungleich 0. Zeigen Sie:
(a) (v^−1)^−1 = v.
[mm] (b)\bruch{x}{y} [/mm] = [mm] \bruch{u}{v} \gdw [/mm] xv = uy
(c) [mm] \bruch{x}{y} \bruch{u}{v} [/mm] = [mm] \bruch{xu}{vy}
[/mm]
(d) [mm] \bruch{x}{y} [/mm] + [mm] \bruch{u}{v} [/mm] = [mm] \bruch{xv + yu}{yv} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich hab ein Problem bei der oben stehenden Aufgabe.
Mein Ansatz ist die Beweise durch die Eigenschaften des Körpers zu machen, aber leider hab ich keine Ahnung wie das gehen soll.
Kann man einen Ansatz bilden wenn man weiß, das ein Körper auf jeden Fall ein neutrales Element hat und das jedes Element ein Inverses Element in der Gruppe besitzt !
Ist das der Ansatz? und wie beweise ich dann die oben stehenden Aussagen?
Danke!!
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Hallo!
> Sei (K,+, ·) ein Köper und x, y, u, v ∈ K mit y, v
> ungleich 0. Zeigen Sie:
> (a) (v^−1)^−1 = v.
>
> [mm](b)\bruch{x}{y}[/mm] = [mm]\bruch{u}{v} \gdw[/mm] xv = uy
>
> (c) [mm]\bruch{x}{y} \bruch{u}{v}[/mm] = [mm]\bruch{xu}{vy}[/mm]
>
> (d) [mm]\bruch{x}{y}[/mm] + [mm]\bruch{u}{v}[/mm] = [mm]\bruch{xv + yu}{yv}[/mm]
> Ich
> habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten
> gestellt.
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> Hallo,
>
> ich hab ein Problem bei der oben stehenden Aufgabe.
>
> Mein Ansatz ist die Beweise durch die Eigenschaften des
> Körpers zu machen, aber leider hab ich keine Ahnung wie das
> gehen soll.
>
> Kann man einen Ansatz bilden wenn man weiß, das ein Körper
> auf jeden Fall ein neutrales Element hat und das jedes
> Element ein Inverses Element in der Gruppe besitzt !
>
> Ist das der Ansatz? und wie beweise ich dann die oben
> stehenden Aussagen?
Hallo!
Die Aufgaben sind etwas komisch, da sie verschiedene Stufen des Wissens über Körper benötigen. Deswegen solltest du für die Beweise wirklich nur die grundlegende Definition eines Körpers nutzen, mehr nicht. D.h. du hast ein
- Assoziativgesetz für Addition und Multiplikation
- Kommutativgesetz für Addition und Multiplikation
- Existenz eines neutralen/inversen Elements für Addition und Multiplikation
- Distributivgesetz
Die Aussagen, die oben stehen, sind ja eigentlich klar. Man muss nun nur haarklein aufschreiben, warum das in einem Körper gilt. Du fängst auf der linken Gleichungsseite an und musst nun immer aufschreiben, welches Gesetz du gerade benutzt, um die Umformung zu tätigen. Außerdem ist wichtig, dass die Operationen des Körpers binär ist, d.h. strenggenommen darfst du nicht sowas wie a*b*c schreiben, weil das gar nicht definiert ist. Es ist wichtig bei diesen Beweisen, dass du, bevor du ein Gesetz anwendest, EXAKT die geforderte Form dastehen hast!
Ich mache es dir mal bei d) vor: (Ich schreibe statt Brüchen lieber mit Inversen, weil ich das math. exakter finde)
[mm] x*y^{-1}+u*v^{-1}
[/mm]
mit Assoz.
= [mm] (x*y^{-1})+(u*v^{-1})
[/mm]
mit Existenz des neutralen Elements für Multiplikation
= [mm] (x*y^{-1})*e [/mm] + [mm] (u*v^{-1})*e
[/mm]
Mit Existenz eines Inversen von y und v im Körper:
= [mm] (x*y^{-1})*(v*v^{-1}) [/mm] + [mm] (u*v^{-1})*(y*y^{-1})
[/mm]
Nun mehrmals Assoz.
= [mm] x*(y^{-1}*(v*v^{-1})) [/mm] + [mm] u*(v^{-1}*(y*y^{-1}))
[/mm]
= [mm] x*((y^{-1}*v)*v^{-1}) [/mm] + [mm] u*((v^{-1}*y)*y^{-1})
[/mm]
Jetzt darf man nämlich erst das Kommutativgesetz anwenden:
= [mm] x*((v*y^{-1})*v^{-1}) [/mm] + [mm] u*((y*v^{-1})*y^{-1})
[/mm]
Nun wieder Assoz.
= [mm] x*(v*(y^{-1}*v^{-1})) [/mm] + [mm] u*(y*(v^{-1})*y^{-1}))
[/mm]
= [mm] (x*v)*(y^{-1}*v^{-1}) [/mm] + [mm] (u*y)*(v^{-1})*y^{-1})
[/mm]
Nun nochmal Komm. anwenden, damit am Ende wirklich das Ergebnis dasteht:
= [mm] (x*v)*(y^{-1}*v^{-1}) [/mm] + [mm] (y*u)*(y^{-1}*v^{-1})
[/mm]
Und nun Distributivgesetz:
= (x*v + [mm] y*u)*(y^{-1}*v^{-1})
[/mm]
Und fertig 
Genau auf diese Weise musst du c) auch lösen. b) verhält sich auch so, nur dass du da eben Gleichungen und nicht einen Term umformen musst.
a) ist ein wenig anders zu lösen:
Du musst zeigen, dass das Inverse eines Elements eindeutig festgelegt ist. Wenn das nämlich der Fall ist, ist auch das Inverse von [mm] x^{-1} [/mm] wieder x.
Nimm an, es gäbe zwei verschiedene Zahlen y1,y2, welche zu x invers sind. Du musst folgern, dass y1 = y2.
Stefan.
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