Körper, Primzahl und Vektoren < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 Mo 23.11.2009 | | Autor: | Uni-R09 |
| Aufgabe | Aufgabe 2.
(i) Sei V ein K-Vektorraum der Dimension n. F¨ur k = 1, ..., n w¨ahlen wir v1 ∈ V \ {0}
und dann induktiv vk ∈ V \ hv1, ..., vk−1i . Zeigen Sie, dass eine solche Wahl von vk
stets m¨oglich ist und (v1, ..., vn) eine Basis von V bildet. Kann man jede Basis von
V auf diese Weise erhalten?
(ii) Seien p eine Primzahl, K der K¨orper Z/pZ und V ein K-Vektorraum. Zeigen Sie, dass
V genau pn Elemente enth¨alt. Wieviele verschiedene Basen besitzt der Vektorraum
V ? (Achtung: Basen sind Familien von Vektoren, d.h. z.B. in K3 sind die Basen
(e1, e2, e3) und (e1, e3, e2) nicht identisch!) |
Hallo,
bin Mathe Student im ersten Semester... Wir haben folgende Übungsaufgabe gestellt bekommen. Ich hocke schon ziemlich lang an der aufgabe, doch leider hab ich keine Idee wie ich an die aufgabe rangehen soll...
bin shcon am verzweifeln, ob das mathestudium sinn macht oder ob mich der blitz der erleuchtung später noch trifft?
kann mir bitte jemand helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Aufgabe 2.
> (i) Sei V ein K-Vektorraum der Dimension n. F¨ur k = 1,
> ..., n w¨ahlen wir v1 ∈ V \ {0}
> und dann induktiv vk ∈ V \ hv1, ..., vk−1i . Zeigen
> Sie, dass eine solche Wahl von vk
> stets m¨oglich ist und (v1, ..., vn) eine Basis von V
> bildet. Kann man jede Basis von
> V auf diese Weise erhalten?
> (ii) Seien p eine Primzahl, K der K¨orper Z/pZ und V ein
> K-Vektorraum. Zeigen Sie, dass
> V genau pn Elemente enth¨alt. Wieviele verschiedene Basen
> besitzt der Vektorraum
> V ? (Achtung: Basen sind Familien von Vektoren, d.h. z.B.
> in K3 sind die Basen
> (e1, e2, e3) und (e1, e3, e2) nicht identisch!)
>
> bin Mathe Student im ersten Semester... Wir haben folgende
> Übungsaufgabe gestellt bekommen. Ich hocke schon ziemlich
> lang an der aufgabe, doch leider hab ich keine Idee wie ich
> an die aufgabe rangehen soll...
>
> bin shcon am verzweifeln, ob das mathestudium sinn macht
> oder ob mich der blitz der erleuchtung später noch
> trifft?
>
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Wenn man eine Übungsaufgabe nicht hinbekommt, ist das kein Grund zur Verzweiflung, und ob das Mathestudium etwas für Dich ist, wird sich in den nächsten Monaten zeigen - eine oder zwei Aufgaben sind dafür kein Indikator. Du wärest auch nicht der einzige, gehörtest Du zu denen, die sich erst ein Weilchen an die Arbeitsweise im Studium gewöhnen müssen.
Ich habe Deine zweite Aufgabe abgehängt in eine eigene Diskussion, lt. Forenregeln soll das so sein. Sonst arten die Threads leicht in ein Chaos aus.
> kann mir bitte jemand helfen?
Das ist nun gar nicht so leicht, weil Deine Aufgabe einige Ungereimtheiten enthält.
Beachte bitte in Zukunft auch die Eingabehilfen unterhalb des Eingabefensters. Indizes z.B. sind leicht darstellbar.
Was soll denn vk ∈ V \ hv1, ..., vk−1i bedeuten? hv1 läßt einen schwer grübeln, und was nun vk−1i darstellen soll, ist auch eher unklar...
Na gut, es folgt das übliche Procedere: Rabe auf die Schulter, Kristallkugel raus, das Verdunkeln kann man sich bei dem Wetter sparen.
Hokuspokus, simsalabim. Tadaaaa! Ergebnis:
(i) Sei V ein K-Vektorraum der Dimension n. Für k = 1, ..., n wählen wir [mm] v_1 \in [/mm] V \ {0}
und dann induktiv [mm] v_k \in [/mm] V \ [mm] [/mm] (Die spitzen Klammern stehen für die lineare Hülle/das Erzeugnis der k-1 Vektoren)
Zeigen Sie, dass eine solche Wahl von [mm] v_k [/mm] stets möglich ist und [mm] (v_1, [/mm] ..., [mm] v_n) [/mm] eine Basis von V bildet.
Kann man jede Basis von V auf diese Weise erhalten?
Hab' ich richtig hellgeguckt?
> Zeigen Sie, dass eine solche Wahl von [mm] v_k [/mm] stets möglich ist.
Welche Dimension hat der UVR [mm] U_{k-1}:= [/mm] höchstens?.
Dann: Stichwort Basisergänzung - ich nehme an der Basisergänzungssatz war dran. (?)
> Zeigen Sie, dass [...] [mm] (v_1, [/mm] ..., [mm] v_n) [/mm] eine Basis von V bildet
Sichwort: lineare Unabhängigkeit.
Zeige per Induktion, daß [mm] B_{k}:=\{v_1, ..., v_{k}\} [/mm] linear unabhängig ist.
Eine linear unabhängige Menge mit n Elementen muß dann ja eine Basis sein.
zu (ii).
Auch hier postest Du leider keine eigenen Lösungsansätze oder Überlegungen, denen man entnehmen könnte, wo das Problem liegt.
Ich nehme mal an, daß auch hier wieder ein VR V der Dimension n, also endlicher Dimension, gemeint ist. Dieser VR hat eine Basis [mm] B:=(b_1, ...,b_n).
[/mm]
Was ist der Körper [mm] \IZ [/mm] / [mm] p\IZ? [/mm] Wieviele Elemente enthält er? Welche?
Wenn V ein VR über [mm] \IZ [/mm] / [mm] p\IZ [/mm] ist, wie sehen dann seine Elemente aus? Wieviele gibt es folglich?
Gruß v. Angela
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was soll eigentlich dieses [mm] v_{k}\in [/mm] V \ < [mm] v_{1},...,v_{k-1} [/mm] > bedeuten. was will man damit erreichen? die dim dieses UVR müsste ja n-1 sein oder? und warum ist dann diese wahl stets möglich?
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> was soll eigentlich dieses [mm]v_{k}\in[/mm] V \ < [mm]v_{1},...,v_{k-1}>[/mm]
> bedeuten. was will man damit erreichen?
Hallo,
die Menge V \ < [mm] v_{1},...,v_{k-1}> [/mm] ist der Pool, aus dem der neue Vektor genommen wird.
< [mm] v_{1},...,v_{k-1}> [/mm] enthält ja sämtliche Linearkombinationen von [mm] (v_{1},...,v_{k-1}), [/mm] und wenn man [mm] v_k [/mm] aus V \ < [mm] v_{1},...,v_{k-1}> [/mm] wählt, erreicht man auf jeden Fall schonmal, daß [mm] v_k [/mm] keine Linearkombination von [mm] (v_{1},...,v_{k-1}) [/mm] ist, und schlußendlich, daß [mm] (v_{1},...,v_{k-1}, v_k [/mm] linear unabhängig ist.)
> die dim dieses UVR
Von welchem UVR redest Du gerade? Von < [mm] v_{1},...,v_{k-1}> [/mm] ? Dessen Dimension ist k-1, worüber natürlich nachzudenken wäre.
Klar ist erstmal, daß seine Dimension höchstens = k-1 ist, und damit ist sie [mm] \le [/mm] n-1.
> müsste ja n-1 sein oder? und warum ist dann diese wahl
> stets möglich?
Überlege Dir, daß < [mm] v_{1},...,v_{k-1}> [/mm] ein UVR ist, also eine Basis hat. Diees kannst Du zu einer Basis von V ergänzen, so daß in V \ < [mm] v_{1},...,v_{k-1}> [/mm] mindestens diese Ergänzungsvektoren sind.
Gruß v. Angela
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