Körper, Vektorräume < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:01 Di 18.05.2004 | | Autor: | Kirtan |
Bin im 2. semester und kapiere keine der aufgaben! Leider müsen wir die Aufgaben zwingend bestehen, sonst ist das semster mathe umsonst...
1. Zeige: [mm] \IZ [\wurzel{2}] := \left\{a + b\wurzel{2} \in \IR | a,b \in \IQ \right\}[/mm] ist ein Koerper.
2. Bestimme die Lösungsmenge des lin. GS Ax = b
a) mit Koeffizienten im endlichen Körper [mm] F_{7} [/mm]
b) mit Koeffizienten im endlichen Körper [mm] F_{2} [/mm]
wobei A=[mm]\begin{pmatrix}1 & 1 & -1 & 1 & 2 & 3 \\2 & 2 & -3 & 5 & 3 & 0 \\4 & -3 & 4 & 1 & 2 & -3\end{pmatrix}[/mm] und b [mm]= \begin{pmatrix}1 \\0 \\1\end{pmatrix}[/mm]
3. Welche der folgenden Mengen sind Unterräume des [mm]\IR^{4}[/mm]? (mit Begründung)
a) [mm]U_{1} := \left\{(x,x+1,x+2,x+4) | x \in \IR \right\}[/mm],
b) [mm]U_{2} := \left\{(x,2x,3x,4x) | x \in \IR \right\}[/mm],
c) [mm]U_{3} := \left\{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) \in \IR^{4} | x_{3} = x_{1}+x_{2}, x_{4} = x_{2}+x_{3} \right\}[/mm],
d) [mm]U_{4} := \left\{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) \in \IR^{4} | x_{2} \ge 0 \right\}[/mm],
e) [mm]U_{5} := \left\{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) \in \IR^{4} | x_{1} \in \IZ \right\}[/mm].
Ihr würdet mir echt helfen, wenn da jemand irgendwas lösen könnte! In den Übungen haben wir noch nicht mal Körper behandelt, aber sollen das schon wissen...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:06 Di 18.05.2004 | | Autor: | mausi |
Hallo Kirtan,die Aufgaben haben wir hier schon versucht zu lösen,schau mal bitte,unter Ax =b und Beweis
mfg susi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:27 Di 18.05.2004 | | Autor: | mausi |
Das mit den Unterräumen,wie das funktioniert würde mich auch interessieren,wäre lieb wenn das einer erklären könnte
DAnke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:52 Di 18.05.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Mausi!
Es sei $V$ ein [mm] $\IK$-Vektorraum [/mm] (mit Addition $+$, neutralem Element $0$, skalarer Multiplikation [mm] $\cdot$) [/mm] und $U$ eine Teilmenge von $V$. Man nennt $U$ einen Untervektorraum (oder kurz: Unterraum), wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
(1) [mm]\blue{0 \in U}[/mm],
(2) Aus [mm]\blue{u,v \in U}[/mm] folgt: [mm] $\blue{u+v \in U}$.
[/mm]
(3) Aus [mm] $\blue{u \in U}$ [/mm] und [mm] $\blue{\lambda \in \IK}$ [/mm] folgt: [mm] $\blue{\lambda\cdot u \in U}$.
[/mm]
Nun schauen wir uns die Beispiele mal an:
a) [mm]U_{1} := \left\{(x,x+1,x+2,x+4) | x \in \IR \right\}[/mm],
Hier gilt offenbar $0 [mm] \notin U_1$, [/mm] von daher ist [mm] $U_1$ [/mm] kein Untervektorraum von [mm] $\IR^4$.
[/mm]
b) [mm]U_{2} := \left\{(x,2x,3x,4x) | x \in \IR \right\}[/mm],
Es gilt:
(1) [mm] $0=(0,2\cdot [/mm] 0, [mm] 3\cdot [/mm] 0, [mm] 4\cdot [/mm] 0) [mm] \in U_2$.
[/mm]
(2) Es seien [mm] $u:=(x_1,2x_1,3x_1,4x_1),\, v:=(x_2,2x_2,3x_2,4x_2) \in U_2$.
[/mm]
Dann folgt:
[mm]u + v = (x_1 + x_2, 2x_1 + 2x_2, 3x_1 + 3x_2, 4x_1 + 4x_2) = (x_1 + x_2, 2(x_1+x_2), 3(x_1+ x_2), 4(x_1+ x_2)) \in U_2[/mm].
(3) Es sei $u:=(x,2x,3x,4x) [mm] \in U_2$ [/mm] und [mm] $\lambda \in \IR$. [/mm]
Dann folgt:
[mm]\lambda \cdot u= (\lambda *x, \lambda *2x, \lambda *3x \lambda *4x) = (\lambda x, 2\lambda x, 3\lambda x,4\lambda x) \in U_2[/mm].
Versuche den Rest mal selber und melde dich mit Lösungsvorschlägen oder konkreten Fragen.
Liebe Grüße
Julius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:46 Di 18.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Kirtan
die Aufgabe 3 ist neu, die anderen kannst du mit vielleicht mit Hilfe von mausis Bemerkung mitverfolgen.
Grundsätzlich ist zur Aufgabe zu sagen, dass du ja nur ganz simpel überprüfen musst, ob denn in der vorgegebenen Menge sämtliche Axiome erfüllt sind, die einen Vektorraum auszeichnen. (Ein Unterraum muss ja selber auch wieder ein Vektorraum sein!)
Wenn du auch nur ein einziges Axiom findest, welches nicht erfüllt ist, dann kann es sich bei der betreffenden Menge nicht um einen Unterraum handeln.
Als Beispiel:
> 3. Welche der folgenden Mengen sind Unterräume des [mm]\IR^{4}[/mm]?
> (mit Begründung)
> a) [mm]U_{1} := \left\{(x,x+1,x+2,x+4) | x \in \IR \right\}[/mm],
Jeder Vektorraum muss ein neutrales Element bezüglich Addition sein:
Findest du hier das Neutrale Element?
Um das zu finden, müsste die Gleichung
$(a,a+1,a+2,a+4) + [mm] (x_1,x_2,x_3,x_4) [/mm] = (a,a+1,a+2,a+4)$
nach den [mm] x_i [/mm] (du weisst schon, was ich mit dem Index $_i$ meine) aufgelöst werden, und der Vektor [mm] $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ [/mm] müsste auch zu diesem Unterraum gehören.
Wenn du hier nach den [mm] x_i [/mm] auflöst, erhältst du (hoffentlich):
[mm] x_1 [/mm] = 0; [mm] x_2 [/mm] = 0; [mm] x_3 [/mm] = 0; [mm] x_4 [/mm] = 0.
Damit wäre also der neutrale Vektor dieser: $(0,0,0,0)$
Weil aber vorausgesetzt wird, dass die Vektoren in [mm] $U_1$ [/mm] die Form $(x,x+1,x+2,x+4)$ haben müssen, gehört unser errechneter neutrale Vektor nicht zu [mm] $U_1$!
[/mm]
Die Menge [mm] $U_1$ [/mm] ist somit kein Unterraum.
(Es sind auch noch andere Axiome verletzt, aber es genügt, wenn eines davon verletzt ist)
Ich hoffe, du findest dich jetzt ein Wenig besser zurecht. Die Aufgabe ist nämlich wirklich nicht allzu schwierig, aber halt eine zeitraubende Fleissarbeit!
Am Besten versuchst du wohl, die weiteren Aufgaben zu lösen. Die Zwischenergebnisse teilst du uns kurzerhand mit, und wir kontrollieren und korrigieren gegebenenfalls. 
Mit lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 Di 18.05.2004 | | Autor: | Kirtan |
also, Ergebnisse für:
[mm]U_{2}: (a,2a,3a,4a)+(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=(a,2a,3a,4a)[/mm] sind [mm]x_{1}=0, x_{2}=0, x_{3}=0, x_{4}=0[/mm]
auch die Form a=0 (0,2*0,3*0,4*0) ist mit diesem Vektor eingehalten!
[mm]U_{3}: (a,b,a+b,a+b+b)+(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=(a,b,a+b,a+b+b)[/mm] sind [mm]x_{1}=0, x_{2}=0, x_{3}=0, x_{4}=0[/mm]
auch die Form a=b=0 (0,0,0+0,0+0+0) ist mit diesem Vektor eingehalten!
[mm]U_{4,5}: (a,b,c,d)+(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=(a,b,c,d)[/mm] sind [mm]x_{1}=0, x_{2}=0, x_{3}=0, x_{4}=0[/mm]
auch die Form (a,b,c,d), sowie für [mm] U_{4}: x_{2} \ge 0[/mm] bzw. [mm]U_{5}: x_{1} \in \IZ [/mm] ist mit diesem Vektor eingehalten!
Kannst Du auch bitte die 2 anderen Axiome mal kurz verständlich erklären, die da besagen:
UV1: U enthält mindestens ein Element
UV2: U ist abgeschlossen gegenüber der Addition <- das hatten wir doch grad, oder?
UV3: U ist abgeschlossen bzgl. der Skalarmultiplikation
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 Di 18.05.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo,
du benutzt das folgende Axiomensystem für einen Untervektorraum:
> UV1: U enthält mindestens ein Element
> UV2: U ist abgeschlossen gegenüber der Addition
> UV3: U ist abgeschlossen bzgl. der Skalarmultiplikation
Wir (Paul und ich) benutzen das folgende, dazu völlig äquivalente:
UV1': U enthält den Nullvektor von [mm] $\red{V}$
[/mm]
UV2': U ist abgeschlossen gegenüber der Addition
UV3': U ist abgeschlossen bzgl. der Skalarmultiplikation
In meinem anderen Beitrag in diesem Diskussionsstrang habe ich mehr dazu geschrieben.
Was du (etwas umständlich und auch nur so halbwegs) bisher gezeigt hast, ist UV1' aus der zweiten Definition (der von Paul und mir).
Jetzt musst du noch UV2' und UV3' zeigen.
Wie man das macht, kannst du ja exemplarisch meinem anderen Beitrag entnehmen, dort habe ich anhand von [mm] $U_2$ [/mm] einmal ausführlich vorgemacht.
Versuche es bitte und melde dich mit deinen Ergebnissen oder konkreten Fragen. Wir helfen dir dann weiter...
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Di 18.05.2004 | | Autor: | Kirtan |
also, ich habe jetzt folgende Lösungen:
a) [mm]U_{1} := \left\{(x,x+1,x+2,x+4) | x \in \IR \right\}[/mm]
(1) (0,0,0,0)[mm]\not\in U_{1}[/mm]
-> [mm]U_{1}[/mm] ist kein Unterraum
b) [mm]U_{2} := \left\{(x,2x,3x,4x) | x \in \IR \right\}[/mm]
siehe Julius
-> [mm]U_{2}[/mm] ist Unterraum
c) [mm]U_{3} := \left\{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) \in \IR^{4} | x_{3} = x_{1}+x_{2}, x_{4} = x_{2}+x_{3} \right\}[/mm]
(1) [mm](0,0,0+0,0+2*0) \in\ U_{3}[/mm]
(2) [mm]u = (x_{1},x_{2},x_{1}+x_{2},x_{1}+2*x_{2}), v = (x_{3},x_{4},x_{3}+x_{4},x_{3}+2*x_{4}) \in U_{3}[/mm]
-> [mm]u+v=(x_{1}+x_{3},x_{2}+x_{4},x_{1}+x_{3}+x_{2}+x_{4},x_{1}+x_{3}+2*(x_{2}+x_{4})) \in U_{3}[/mm]
(3) [mm]u = (w,x,y,z) \in U_{3}[/mm] und [mm]\Lambda \in \IR[/mm] -> [mm]\Lambda * u = (\Lambda*w,\Lambda*x,\Lambda*y,\Lambda*z) \in U_{3}[/mm]
-> [mm]U_{3}[/mm] ist Unterraum
d) [mm]U_{4} := \left\{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) \in \IR^{4} | x_{2} \ge 0 \right\}[/mm]
(1) [mm](0,0,0,0) \in\ U_{4}[/mm]
(2) [mm]u = (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}), v = (x_{5},x_{6},x_{7},x_{8}) \in U_{4}[/mm] und [mm]x_{2},x_{6} \ge 0[/mm]
-> [mm]u+v=(x_{1}+x_{5},x_{2}+x_{6},x_{3}+x_{7},x_{4}+x_{8}) \in U_{4}[/mm] und [mm]x_{2}+x_{6} \ge 0[/mm]
(3) [mm]u = (w,x,y,z) \in U_{4}, x \ge 0[/mm] und [mm]\Lambda \in \IR[/mm] -> [mm]\Lambda * u = (\Lambda*w,\Lambda*x,\Lambda*y,\Lambda*z) \not\in U_{4}[/mm] für [mm]\Lambda \le 0[/mm], da dann [mm]x \le 0[/mm]
-> [mm]U_{4}[/mm] ist kein Unterraum
e) [mm]U_{5} := \left\{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) \in \IR^{4} | x_{1} \in \IZ \right\}[/mm]
(1) [mm](0,0,0,0) \in\ U_{5}[/mm]
(2) [mm]u = (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}), v = (x_{5},x_{6},x_{7},x_{8}) \in U_{5}[/mm] und [mm]x_{1},x_{6} \in \IZ[/mm]
-> [mm]u+v=(x_{1}+x_{5},x_{2}+x_{6},x_{3}+x_{7},x_{4}+x_{8}) \in U_{5}[/mm] und x[mm]_{1}+x_{6} \in \IZ[/mm]
(3) [mm]u = (w,x,y,z) \in U_{5}, w \in \IZ[/mm] und [mm]\Lambda \in \IR[/mm] -> [mm]\Lambda * u = (\Lambda*w,\Lambda*x,\Lambda*y,\Lambda*z) \in U_{5}[/mm] und [mm]w * \Lambda \in \IZ[/mm], da jedes [mm]\Lambda \in \IR[/mm] auch als [mm]\Lambda \in \IZ[/mm] dargestellt werden kann.
-> [mm]U_{5}[/mm] ist Unterraum
Jetzt ist nur noch die Frage, ob das richtig ist? (Hoffentlich, denn das Eintippen kann einem ganz schön auf die Eier gehen! *gg)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 Di 18.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Kirtan
> also, ich habe jetzt folgende Lösungen:
>
> a) [mm]U_{1} := \left\{(x,x+1,x+2,x+4) | x \in \IR \right\}[/mm]
>
> (1) (0,0,0,0)[mm]\not\in U_{1}[/mm]
> -> [mm]U_{1}[/mm] ist kein Unterraum
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das sehe ich auch so.
>
> b) [mm]U_{2} := \left\{(x,2x,3x,4x) | x \in \IR \right\}[/mm]
>
> siehe Julius
> -> [mm]U_{2}[/mm] ist Unterraum
>
Bravo Julius! 
>
> c) [mm]U_{3} := \left\{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) \in \IR^{4} | x_{3} = x_{1}+x_{2}, x_{4} = x_{2}+x_{3} \right\}[/mm]
>
> (1) [mm](0,0,0+0,0+2*0) \in\ U_{3}[/mm]
> (2) [mm]u = (x_{1},x_{2},x_{1}+x_{2},x_{1}+2*x_{2}), v = (x_{3},x_{4},x_{3}+x_{4},x_{3}+2*x_{4}) \in U_{3}[/mm]
>
> ->
> [mm]u+v=(x_{1}+x_{3},x_{2}+x_{4},x_{1}+x_{3}+x_{2}+x_{4},x_{1}+x_{3}+2*(x_{2}+x_{4})) \in U_{3}[/mm]
>
> (3) [mm]u = (w,x,y,z) \in U_{3}[/mm] und [mm]\Lambda \in \IR[/mm] -> [mm]\Lambda * u = (\Lambda*w,\Lambda*x,\Lambda*y,\Lambda*z) \in U_{3}[/mm]
>
> -> [mm]U_{3}[/mm] ist Unterraum
>
Das würde selbst ich behaupten! Ich würde Punkt (3) aber noch etwas genauer begründen. Kannst du das noch tun?
>
> d) [mm]U_{4} := \left\{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) \in \IR^{4} | x_{2} \ge 0 \right\}[/mm]
>
> (1) [mm](0,0,0,0) \in\ U_{4}[/mm]
> (2) [mm]u = (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}), v = (x_{5},x_{6},x_{7},x_{8}) \in U_{4}[/mm]
> und [mm]x_{2},x_{6} \ge 0[/mm]
> ->
> [mm]u+v=(x_{1}+x_{5},x_{2}+x_{6},x_{3}+x_{7},x_{4}+x_{8}) \in U_{4}[/mm]
> und [mm]x_{2}+x_{6} \ge 0[/mm]
> (3) [mm]u = (w,x,y,z) \in U_{4}, x \ge 0[/mm]
> und [mm]\Lambda \in \IR[/mm] -> [mm]\Lambda * u = (\Lambda*w,\Lambda*x,\Lambda*y,\Lambda*z) \not\in U_{4}[/mm]
> für [mm]\Lambda \le 0[/mm], da dann [mm]x \le 0[/mm]
> -> [mm]U_{4}[/mm] ist kein Unterraum
>
Wunderbar!
>
> e) [mm]U_{5} := \left\{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) \in \IR^{4} | x_{1} \in \IZ \right\}[/mm]
>
> (1) [mm](0,0,0,0) \in\ U_{5}[/mm]
> (2) [mm]u = (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}), v = (x_{5},x_{6},x_{7},x_{8}) \in U_{5}[/mm]
> und [mm]x_{1},x_{6} \in \IZ[/mm]
> ->
> [mm]u+v=(x_{1}+x_{5},x_{2}+x_{6},x_{3}+x_{7},x_{4}+x_{8}) \in U_{5}[/mm]
> und x[mm]_{1}+x_{6} \in \IZ[/mm]
> (3) [mm]u = (w,x,y,z) \in U_{5}, w \in \IZ[/mm]
> und [mm]\Lambda \in \IR[/mm] -> [mm]\Lambda * u = (\Lambda*w,\Lambda*x,\Lambda*y,\Lambda*z) \in U_{5}[/mm]
> und [mm]w * \Lambda \in \IZ[/mm], da jedes [mm]\Lambda \in \IR[/mm] auch als
> [mm]\Lambda \in \IZ[/mm] dargestellt werden kann.
> -> [mm]U_{5}[/mm] ist Unterraum
>
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Das glaube ich nicht! :-(
Z.B.: $3 [mm] \in \mathbb{Z}; \wurzel{2} \in \mathbb{R}; 3*\wurzel{2} \not \in \mathbb{Z}; [/mm] $
Das ist sicher nur ein Flüchtigkeitsfehler deinerseits! Ich glaube aber: jetzt hast du es geschnallt!!
Liebe Grüsse
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:01 Di 18.05.2004 | | Autor: | Kirtan |
so, die finale Lösung:
also, ich habe jetzt folgende Lösungen:
a) [mm]U_{1} := \left\{(x,x+1,x+2,x+4) | x \in \IR \right\}[/mm]
(1) (0,0,0,0)[mm]\not\in U_{1}[/mm]
-> [mm]U_{1}[/mm] ist kein Unterraum
b) [mm]U_{2} := \left\{(x,2x,3x,4x) | x \in \IR \right\}[/mm]
siehe Julius
-> [mm]U_{2}[/mm] ist Unterraum
c) [mm]U_{3} := \left\{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) \in \IR^{4} | x_{3} = x_{1}+x_{2}, x_{4} = x_{2}+x_{3} \right\}[/mm]
(1) [mm](0,0,0+0,0+2*0) \in\ U_{3}[/mm]
(2) [mm]u = (x_{1},x_{2},x_{1}+x_{2},x_{1}+2*x_{2}), v = (x_{3},x_{4},x_{3}+x_{4},x_{3}+2*x_{4}) \in U_{3}[/mm]
-> [mm]u+v=(x_{1}+x_{3},x_{2}+x_{4},x_{1}+x_{3}+x_{2}+x_{4},x_{1}+x_{3}+2*(x_{2}+x_{4}))[/mm]
-> [mm] x_{1neu}=x_{1}+x_{3},x_{2neu}=x_{2}+x_{4},x_{3neu}=x_{1neu}+x_{2neu},x_{4neu}=x_{1neu}+2*x_{2neu}
[/mm]
(3) [mm]u = (w,x,y,z) \in U_{3}[/mm] und [mm]\Lambda \in \IR[/mm] -> [mm]\Lambda * u = (\Lambda*w,\Lambda*x,\Lambda*y,\Lambda*z) \in U_{3}[/mm]
-> [mm]U_{3}[/mm] ist Unterraum
d) [mm]U_{4} := \left\{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) \in \IR^{4} | x_{2} \ge 0 \right\}[/mm]
(1) [mm](0,0,0,0) \in\ U_{4}[/mm]
(2) [mm]u = (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}), v = (x_{5},x_{6},x_{7},x_{8}) \in U_{4}[/mm] und [mm]x_{2},x_{6} \ge 0[/mm]
-> [mm]u+v=(x_{1}+x_{5},x_{2}+x_{6},x_{3}+x_{7},x_{4}+x_{8}) \in U_{4}[/mm] und [mm]x_{2}+x_{6} \ge 0[/mm]
(3) [mm]u = (w,x,y,z) \in U_{4}, x \ge 0[/mm] und [mm]\Lambda \in \IR[/mm] -> [mm]\Lambda * u = (\Lambda*w,\Lambda*x,\Lambda*y,\Lambda*z) \not\in U_{4}[/mm] für [mm]\Lambda \le 0[/mm], da dann [mm]x \le 0[/mm]
-> [mm]U_{4}[/mm] ist kein Unterraum
e) [mm]U_{5} := \left\{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) \in \IR^{4} | x_{1} \in \IZ \right\}[/mm]
(1) [mm](0,0,0,0) \in\ U_{5}[/mm]
(2) [mm]u = (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}), v = (x_{5},x_{6},x_{7},x_{8}) \in U_{5}[/mm] und [mm]x_{1},x_{6} \in \IZ[/mm]
-> [mm]u+v=(x_{1}+x_{5},x_{2}+x_{6},x_{3}+x_{7},x_{4}+x_{8}) \in U_{5}[/mm] und x[mm]_{1}+x_{6} \in \IZ[/mm]
(3) [mm]u = (w,x,y,z) \in U_{5}, w \in \IZ[/mm] und [mm]\Lambda \in \IR[/mm] -> [mm]\Lambda * u = (\Lambda*w,\Lambda*x,\Lambda*y,\Lambda*z) \not\in U_{5}[/mm], da für
[mm] \Lambda =\wurzel(2) -> \wurzel(2)*w \in \IR \not\in \IZ[/mm]
-> [mm]U_{5}[/mm] ist kein Unterraum
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Di 18.05.2004 | | Autor: | Kirtan |
Wer hat Ahnung, bzw. welchen Link soll ich zum Lösen der 1. Aufgabe mal besuchen?
2. hat sich ja erstmal geklärt...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:44 Di 18.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Kirtan
diese Aufgabe wurde von mausi bereits gestellt und zum Teil wurde das auch beantwortet.
Gehe doch einfach mal eine Seite tiefer. Dort findest du unter dem Titel "Beweis" von Autor "mausi" die entsprechenden Diskussionen.
Wenn du dann weitere Fragen dazu hast, kannst du diese dann einfach in jenen Diskussionsbaum hineinstellen.
LiebeGrüsse
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