Körper Z[i]/(7) < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
welche Primkörper gibt es denn nur?
Was hat das mit dem Begriff Charakteristik zu tun?
Und wie genau kommst du auf |K|=49? Kann es nicht sein, dass $i [mm] \in [/mm] mathbb [mm] Z_7$ [/mm] ist?
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:29 So 12.01.2014 | | Autor: | DrRiese |
Hey 
Also meiner Meinung nach müsste für den Primkörper P von K gelten: char P = char K
Da gilt char K = 7 [mm] \Rightarrow [/mm] P = [mm] \IZ_{7} [/mm] ?
Ich habe mir den Körper folgendermaßen vorgestellt:
0 i 2i 3i 4i 5i 6i
1 1+i [mm] \cdots [/mm]
2 2+i [mm] \cdots
[/mm]
3 3+i [mm] \cdots
[/mm]
4 4+i
5 5+i
6 6+i 6+2i 6+3i 6+4i 6+5i 6+6i
LG
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Der Primkörper ist so richtig.
Deine Vorstellung hast du bereits vorher deutlich kürzer und genauso prägnant beschrieben.
Die Frage ist aber: Woher weißt du, dass $i [mm] \notin [/mm] {0,1,2,3,4,5,6}$.
Beachte: Wir haben hier keine komplexen Zahlen, sondern Restklassen.
Übrigens ist ein Körper nicht identisch mit der ihm zu Grunde liegenden Menge. Ein Körper ist ein Tripel aus zu grunde liegener Menge, und zwei Verknüpfungen mit bestimmten Eigenschaften.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:59 Mo 13.01.2014 | | Autor: | DrRiese |
Hm,
vllt weil man auch schreiben kann:
Es existiert ein Homomorphismus [mm] \varphi: \IZ[i] \rightarrow \IF_{49}, [/mm] mit [mm] \varphi(z:=a+bi) [/mm] = (a mod 7,b mod 7),
Ker [mm] (\varphi) [/mm] = (7)
also [mm] \IZ[i]/(7) \cong \IF_{49}
[/mm]
(also i [mm] \not\in \IF_{49})
[/mm]
Und der Grad der Körpererweiterung müsste dann sein:
[K : [mm] \IZ_{7}] [/mm] = [mm] dim_{\IZ_{7}}(K) [/mm] = 2, denn [mm] \mathcal{B}=\{(1,0),(0,1)\} [/mm] eine Basis
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Wieso ist der Homomorphismus surjektiv? (Das ist wieder die gleiche Frage wie vorher)?
Wieso und wie kann man die Elemente von $mathbb F_{49]$ als Paare schreiben? Und wie genau sieht dann darauf + und * aus? Daran anschließend: Wieso ist $\varphi$ ein Ringhomomorphismus?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 Mo 13.01.2014 | | Autor: | DrRiese |
Naja gut, dann erleuchte mich
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Meine Rückfragen habe ich nicht ohne Grund geschrieben.
Idealerweise sind sie dazu da, dass du selber verstehst was falsch /ist wie es geht.
Ansonsten sind sie dazu da mir bei erleuchtenden Antworten zu helfen, denn ich weiß nicht was unklar ist, welche Notationen ihr verwendet und was das Vorwissen ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 Mo 13.01.2014 | | Autor: | DrRiese |
Gut schreiben wir den Homomorphismus um in [mm] \varphi: \IZ[i] \rightarrow \IZ_{7} \times \IZ_{7}, [/mm] mit [mm] \varphi(z:=a+bi)=(a [/mm] mod 7, b mod 7)
Und [mm] \varphi [/mm] ist surjektiv, da gilt: Im [mm] (\varphi)=\IZ_{7} \times \IZ_{7}. [/mm] Und dementsprechend kein i. Und es gilt [mm] \IZ_{7} \times \IZ_{7} \cong \IF_{49}
[/mm]
[mm] \IZ_{7} \times \IZ_{7} [/mm] Verknüpfungen werde ich mal auslassen 
[mm] \varphi [/mm] ist Ringhomomorphisms, da gilt:
[mm] 0_{\IZ[i]} \longmapsto 0_{\IZ_{7} \times \IZ_{7}}= [/mm] (0,0)
[mm] 1_{\IZ[i]} \longmapsto 1_{\IZ_{7} \times \IZ_{7}}= [/mm] (1,0)
[mm] \varphi(z_{1}+z_{2})=\varphi(a+bi+c+di)= \varphi(a+c+(b+d)i)=(a+c [/mm] mod 7, b+d mod 7) = (a mod 7, b mod 7) + (c mod 7, d mod 7) = [mm] \varphi(a+bi)+\varphi(c+di) [/mm] = [mm] \varphi(z_{1}) [/mm] + [mm] \varphi(z_{2})
[/mm]
Mit Multiplikation analog
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> [mm]\IZ_{7} \times \IZ_{7}[/mm] Verknüpfungen werde ich mal auslassen
Und genau das ist dein entscheidender Fehler, den du hier schon die ganze Zeit machst. Und ich hab auch schon drauf hingewiesen:
Du darfst die Verknüpfungen nicht ignorieren, die gehören zum Körper dazu.
Und was soll der Smiley ausdrücken?
Standardmäßig bezeichnet RxR für Ring Ring R den Ring mit der zugrunde liegenden Menge RxR und komponentenweiser Addition und Multiplikation.
(wg. Nullteilern)
Damit liegt hier kein Körper vor.
> Mit Multiplikation analog
Das ist ja grade nicht analog, wenn nicht klar ist, was die Multiplikation ist.
Mit der richtigen Multiplikation ist der Beweis auch alles andere als analog.
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