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Es sei K ein Körper, n Element N und A Element K N*N mit [mm] (A-En)^n [/mm] =0
und [mm] (A-En)^j [/mm] !=0 für 0<j<n
Zeigen sie
(1) A ist ähnlich zu einer oberen Dreicksmatrix mit Einsen auf der Diagonalen.
(2) A ist invertiebar
(3)A ist genau dann ähnlich zu einer Diagonalenmatrix, wenn n=1 ist.
Hallo! Irgendwie weiß ich nicht so recht, wie ich die AUfgabe lösen soll...
Kann jemand mir helfen
Danke im vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:31 So 18.07.2010 | | Autor: | wieschoo |
schnell zu 2)
det(A)=?: Wir wissen [mm] $0=det((A-En)^n)=\ldots$
[/mm]
Edit zum selber nachdenken...
$0=det((A-En)^n)=det(A-En)^n=det(A-En)=det(A)-det(En)\gdw det(A)=det(En)\neq 0$
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:36 So 18.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> schnell zu 2)
> det(A)=?: Wir wissen [mm]0=det((A-En)^n)=\ldots[/mm]
> Edit zum selber nachdenken...
>
> [mm]0=det((A-En)^n)=det(A-En)^n=det(A-En)=det(A)-det(En)\gdw det(A)=det(En)\neq 0[/mm]
wieso sollte [mm] $\det(A-E_n)=\det(A)-\det(E_n)$ [/mm] gelten? Warum ist auf einmal [mm] $(0=\;)\;\det((A-E_n)^n)=\det(A-E_n)$?
[/mm]
Was man mit "Determinantenrechenregeln" weiß, ist z.B.
[mm] $$\det((A-E_n)^j)=(\det(A-E_n))^j$$
[/mm]
für $0 < j [mm] \le n\,.$
[/mm]
P.S.:
Es ist übrigens für $n=2$ und
[mm] $$A=\pmat{2 & 0 \\ 0 & 2}$$
[/mm]
schon [mm] $\det(A)=2*2=4\,,$ [/mm] aber
[mm] $$\det(A [/mm] - [mm] E_2)=1*1=1 \not= 3=4-1=\det(A)-\det(E_2)\,.$$
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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> Es sei K ein Körper, n Element N und A Element K N*N
> mit [mm](A-En)^n[/mm] =0
> und [mm](A-En)^j[/mm] !=0 für 0<j<n
>
> Zeigen sie
>
> (1) A ist ähnlich zu einer oberen Dreicksmatrix mit Einsen
> auf der Diagonalen.
> (2) A ist invertiebar
> (3)A ist genau dann ähnlich zu einer Diagonalenmatrix,
> wenn n=1 ist.
>
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> Hallo! Irgendwie weiß ich nicht so recht, wie ich die
> AUfgabe lösen soll...
> Kann jemand mir helfen
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Das Helfen ist schwer, weil Du nicht die Spur eines Lösungsansatzes lieferst. So weiß man nicht, was Du kannst bzw. können solltest.
Man könnte beginnen, indem man über das Minimalpolynon und das charakteristische Polynom von A nachdenkt.
Gruß v. Angela
> Danke im vorraus
>
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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