Körper auf der schiefen Ebene < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:10 Mo 01.12.2008 | | Autor: | Marcel08 |
| Aufgabe | Betrachte einen Körper mit der Masse m auf einer schiefen Ebene mit Neigungswinkel [mm] \alpha. [/mm] Bestimmen Sie seine Lage s(t) zum Zeitpunkt t, falls die Erdbeschleunigung g und der Reibungskoeffizient [mm] \mu [/mm] gegeben sind und am Anfang der Körper in Ruhe war (d.h. s(0)=0 und seine Geschwindigkeit [mm] v(0)=s^{.}(0)=0). [/mm] Bestimmen Sie, wieviel Zeit der Körper braucht, um den Boden zu erreichen, wenn die Länge der schiefen Ebene l=50m, ihr Neigungswinkel [mm] \alpha=25^{o} [/mm] und der Reibungskoeffizient [mm] \mu=0,4 [/mm] ist [mm] (g=9,81\bruch{m}{s^{2}}).
[/mm]
Hinweis: Die Reibungskraft [mm] F_{R} [/mm] ist zur Normalkraft [mm] F_{N} [/mm] proportional, d.h. [mm] F_{R}=\mu F_{N}, [/mm] wobei die Normalkraft sich als [mm] F_{N}=mg*cos\alpha [/mm] schreiben lässt. Die Hangabtriebskomponente der Gewichtskraft mg (die parallel zur Ebene wirkt) ist gleich [mm] F_{H}=mg*sin\alpha. [/mm] Dann wird die Differenz [mm] F_{H}-F_{R} [/mm] den Körper nach unten beschleunigen. Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz gilt F=ma, wobei [mm] F=F_{P}-F_{R} [/mm] und [mm] a=s^{..}. [/mm] Die Differentialgleichung lautet also [mm] s^{..}(t)=g(sin\alpha-\mu *cos\alpha). [/mm] |
Liebe Matheraum- Community,
bezüglich der oben gestellten Aufgabe würde ich gerne wissen, wie ich zur Erhaltung der Lösungen generell verfahren muss. Mein bisheriger Ansatz, bzw mein Lösungsvorschlag für die erste Aufgabe lautet:
(1) Die gegebene Differentialgleichung kann durch Integration gelöst werden:
[mm] s^{..}(t)=g(sin\alpha-\mu *cos\alpha)
[/mm]
[mm] s^{.}(t)=\integral_{}^{}{g(sin\alpha-\mu *cos\alpha) dt}=g(sin\alpha-\mu *cos\alpha)t+c_{1}
[/mm]
[mm] s(t)=\integral_{}^{}{g(sin\alpha-\mu *cos\alpha)t+c_{1}dt}=\bruch{1}{2}t^{2}*g(sin\alpha-\mu *cos\alpha)+c_{1}t+c_{2}
[/mm]
(2) Die Werte der Konstanten [mm] c_{1} [/mm] und [mm] c_{2} [/mm] folgen aus den Anfangsbedingungen:
s(0)=0 [mm] \Rightarrow c_{2}=0
[/mm]
[mm] s^{.}=v(0)=0 \Rightarrow c_{1}=0
[/mm]
(3) Nach Einsetzen hat die Lösung aus (1) die folgende Form:
[mm] s(t)=\bruch{1}{2}t^{2}*g(sin\alpha-\mu *cos\alpha)
[/mm]
Wäre das denn soweit okay? Nun soll man noch die Zeit berechnen, die der Körper braucht, um den Boden zu erreichen. Hier bräuchte ich jetzt von euch einen kleinen Hinweis. Irgendwie fehlt mir dazu eine Formel, die auch die Länge der schiefen Ebene l=50m beinhaltet. Vielleicht könntet ihr mir dazu einen kleinen Hinsweis geben? Ich danke euch! Gruß,
Marcel
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 Mo 01.12.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo liebe Matheraum- Community,
bezüglich meiner noch offenen Frage zur zweiten Aufgabe hätte ich einen Lösungsvorschlag. Dort wird ja nach der Zeit t gefragt, die der Körper benötigt, um den Boden zu erreichen.
(1) Das Zeit- Weg- Gesetz gemäß [mm] t(s,v)=s*\bruch{1}{v} [/mm] liefert:
[mm] \bruch{l}{s^{.}(t)}=t [/mm]
[mm] \gdw\bruch{l}{g(sin\alpha -\mu *cos\alpha)t}=t
[/mm]
[mm] \gdw\bruch{l}{g(sin\alpha -\mu *cos\alpha)}=t^{2}
[/mm]
[mm] \gdw\wurzel{\bruch{l}{g(sin\alpha -\mu *cos\alpha)}}=\pm [/mm] t
(2) Einsetzen liefert:
[mm] \wurzel{\bruch{50m}{9,81\bruch{m}{s^{2}}(sin(25^{o})-0,4*cos(25^{o}))}}=\pm [/mm] t
[mm] \Rightarrow t\approx\pm9.21s, [/mm] mit s=Sekunden
Ein negatives Ergebnis macht physikalisch keinen Sinn, sodass wir [mm] t\approx9,21s [/mm] erhalten.
Wäre das Ergebnis so in Ordnung? Über eine kurze Korrekturlesung würde ich mich sehr freuen. Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Hallo Marcel08,
> Hallo liebe Matheraum- Community,
>
> bezüglich meiner noch offenen Frage zur zweiten Aufgabe
> hätte ich einen Lösungsvorschlag. Dort wird ja nach der
> Zeit t gefragt, die der Körper benötigt, um den Boden zu
> erreichen.
>
>
>
> (1) Das Zeit- Weg- Gesetz gemäß [mm]t(s,v)=s*\bruch{1}{v}[/mm]
> liefert:
>
>
> [mm]\bruch{l}{s^{.}(t)}=t[/mm]
>
>
> [mm]\gdw\bruch{l}{g(sin\alpha -\mu *cos\alpha)t}=t[/mm]
>
>
> [mm]\gdw\bruch{l}{g(sin\alpha -\mu *cos\alpha)}=t^{2}[/mm]
>
>
> [mm]\gdw\wurzel{\bruch{l}{g(sin\alpha -\mu *cos\alpha)}}=\pm[/mm] t
>
>
>
> (2) Einsetzen liefert:
>
>
> [mm]\wurzel{\bruch{50m}{9,81\bruch{m}{s^{2}}(sin(25^{o})-0,4*cos(25^{o}))}}=\pm[/mm]
> t
>
>
> [mm]\Rightarrow t\approx\pm9.21s,[/mm] mit s=Sekunden
>
>
> Ein negatives Ergebnis macht physikalisch keinen Sinn,
> sodass wir [mm]t\approx9,21s[/mm] erhalten.
>
Wenn Du das nachprüfst, wirst Du feststellen, daß das nicht stimmt.
Es muß hier diese Formel nach t aufgelöst werden:
[mm]s\left(t\right)=\bruch{1}{2}*t^{2}*g*\left(\sin\left(\alpha\right)-\mu*\cos\left(\alpha\right)\right)[/mm]
>
> Wäre das Ergebnis so in Ordnung? Über eine kurze
> Korrekturlesung würde ich mich sehr freuen. Gruß,
>
>
> Marcel
>
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Mo 01.12.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo MathePower,
deinem Hinweis folgend erhalte ich:
[mm] s(t)=\bruch{1}{2}t^{2}*g(sin(\alpha)-\mu *cos(\alpha))
[/mm]
Umstellen nach t liefert:
[mm] \pm t=\wurzel{\bruch{2*s(t)}{g(sin(\alpha)-\mu *cos(\alpha))}}
[/mm]
Einsetzen liefert:
[mm] \pm t=\wurzel{\bruch{2*50m}{9,81\bruch{m}{s^{2}}(sin(25^{o})-\mu *cos(25^{o}))}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow t\approx13,024s, [/mm] mit s=Sekunden
So wäre es dann richtig, bzw. wie genau überprüfst du die Korrektheit? Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Hallo Marcel08,
> Hallo MathePower,
>
> deinem Hinweis folgend erhalte ich:
>
>
> [mm]s(t)=\bruch{1}{2}t^{2}*g(sin(\alpha)-\mu *cos(\alpha))[/mm]
>
>
>
> Umstellen nach t liefert:
>
>
> [mm]\pm t=\wurzel{\bruch{2*s(t)}{g(sin(\alpha)-\mu *cos(\alpha))}}[/mm]
>
>
>
> Einsetzen liefert:
>
>
> [mm]\pm t=\wurzel{\bruch{2*50m}{9,81\bruch{m}{s^{2}}(sin(25^{o})-\mu *cos(25^{o}))}}[/mm]
>
>
> [mm]\Rightarrow t\approx13,024s,[/mm] mit s=Sekunden
>
>
>
> So wäre es dann richtig, bzw. wie genau überprüfst du die
> Korrektheit? Gruß,
>
Das Ergebnis stimmt jetzt.
Mir ist es wichtig, daß Zwischenergebnisse exakt,
und dann erst die Endergebnisse als Zahlenwert angegeben werden.
>
>
>
>
> Marcel
>
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:14 Di 02.12.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Danke schön.
|
|
|
| |
|
Hallo Marcel08,
> Betrachte einen Körper mit der Masse m auf einer schiefen
> Ebene mit Neigungswinkel [mm]\alpha.[/mm] Bestimmen Sie seine Lage
> s(t) zum Zeitpunkt t, falls die Erdbeschleunigung g und der
> Reibungskoeffizient [mm]\mu[/mm] gegeben sind und am Anfang der
> Körper in Ruhe war (d.h. s(0)=0 und seine Geschwindigkeit
> [mm]v(0)=s^{.}(0)=0).[/mm] Bestimmen Sie, wieviel Zeit der Körper
> braucht, um den Boden zu erreichen, wenn die Länge der
> schiefen Ebene l=50m, ihr Neigungswinkel [mm]\alpha=25^{o}[/mm] und
> der Reibungskoeffizient [mm]\mu=0,4[/mm] ist
> [mm](g=9,81\bruch{m}{s^{2}}).[/mm]
> Hinweis: Die Reibungskraft [mm]F_{R}[/mm] ist zur Normalkraft [mm]F_{N}[/mm]
> proportional, d.h. [mm]F_{R}=\mu F_{N},[/mm] wobei die Normalkraft
> sich als [mm]F_{N}=mg*cos\alpha[/mm] schreiben lässt. Die
> Hangabtriebskomponente der Gewichtskraft mg (die parallel
> zur Ebene wirkt) ist gleich [mm]F_{H}=mg*sin\alpha.[/mm] Dann wird
> die Differenz [mm]F_{H}-F_{R}[/mm] den Körper nach unten
> beschleunigen. Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz gilt
> F=ma, wobei [mm]F=F_{P}-F_{R}[/mm] und [mm]a=s^{..}.[/mm] Die
> Differentialgleichung lautet also [mm]s^{..}(t)=g(sin\alpha-\mu *cos\alpha).[/mm]
>
> Liebe Matheraum- Community,
>
> bezüglich der oben gestellten Aufgabe würde ich gerne
> wissen, wie ich zur Erhaltung der Lösungen generell
> verfahren muss. Mein bisheriger Ansatz, bzw mein
> Lösungsvorschlag für die erste Aufgabe lautet:
>
>
>
> (1) Die gegebene Differentialgleichung kann durch
> Integration gelöst werden:
>
>
> [mm]s^{..}(t)=g(sin\alpha-\mu *cos\alpha)[/mm]
>
>
> [mm]s^{.}(t)=\integral_{}^{}{g(sin\alpha-\mu *cos\alpha) dt}=g(sin\alpha-\mu *cos\alpha)t+c_{1}[/mm]
>
>
> [mm]s(t)=\integral_{}^{}{g(sin\alpha-\mu *cos\alpha)t+c_{1}dt}=\bruch{1}{2}t^{2}*g(sin\alpha-\mu *cos\alpha)+c_{1}t+c_{2}[/mm]
>
>
>
> (2) Die Werte der Konstanten [mm]c_{1}[/mm] und [mm]c_{2}[/mm] folgen aus den
> Anfangsbedingungen:
>
>
> s(0)=0 [mm]\Rightarrow c_{2}=0[/mm]
>
>
> [mm]s^{.}=v(0)=0 \Rightarrow c_{1}=0[/mm]
>
>
>
> (3) Nach Einsetzen hat die Lösung aus (1) die folgende
> Form:
>
>
> [mm]s(t)=\bruch{1}{2}t^{2}*g(sin\alpha-\mu *cos\alpha)[/mm]
>
>
>
> Wäre das denn soweit okay? Nun soll man noch die Zeit
> berechnen, die der Körper braucht, um den Boden zu
> erreichen. Hier bräuchte ich jetzt von euch einen kleinen
> Hinweis. Irgendwie fehlt mir dazu eine Formel, die auch die
> Länge der schiefen Ebene l=50m beinhaltet. Vielleicht
> könntet ihr mir dazu einen kleinen Hinsweis geben? Ich
> danke euch! Gruß,
>
>
Ja, das ist ok. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
>
> Marcel
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Mo 01.12.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Und wie sieht es aus mit der Zeitberechnung?  Danke schon mal im Voraus. Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Hallo Marcel08,
> Und wie sieht es aus mit der Zeitberechnung? Danke
> schon mal im Voraus. Gruß,
>
Hab es gerade hier beantwortet.
>
>
> Marcel
Gruß
MathePower
|
|
|
|
