Körper der komplexen Zahlen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi! Wie funktioniert das?
Zugrundegelegt sei der Körper der komplexen Zahlen.
a)Man berechne i hoch 101 und p hoch 20, wobei p = (-1 + (Wurzel3)*i)/2
b)Bestimme alle z aus C mit z hoch 4 = 1
c)Bestimme alle z aus C mit z hoch 8 = 1
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:53 Sa 12.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Micchecker!
> a) Man berechne i hoch 101 und p hoch 20, wobei p = (-1 + (Wurzel3)*i)/2
Zu der ersten Teilaufgabe sollte man folgendes wissen:
[mm] $i^1 [/mm] \ = \ +i$
[mm] $i^2 [/mm] \ = \ -1$
[mm] $i^3 [/mm] \ = \ -i$
[mm] $i^4 [/mm] \ = \ +1$
Bei der zweiten Aufgabe sollte man zunächst die Euler-Form ermitteln:
$z \ = \ [mm] r*\left[\cos(\varphi) + i*\sin(\varphi)\right]$
[/mm]
Und nun die Moivre-Formel: [mm] $z^n [/mm] \ = \ [mm] r^n [/mm] * [mm] \left[\cos(n*\varphi) + i*\sin(n*\varphi)\right]$
[/mm]
> b) Bestimme alle z aus C mit z hoch 4 = 1
> c) Bestimme alle z aus C mit z hoch 8 = 1
Auch hier die Zahl $1 \ = \ 1 + 0*i$ in die Euler-Form bringen und wiederum Moivre-Formel für Wurzeln anwenden:
[mm] $\wurzel[n]{z} [/mm] \ = \ [mm] z^{\bruch{1}{n}} [/mm] \ = \ [mm] r^{\bruch{1}{n}} [/mm] * [mm] \left[\cos\left(\bruch{\varphi + k*2\pi}{n}\right) + i*\sin\left(\bruch{\varphi + k*2\pi}{n}\right)\right]$ [/mm] mit $k \ = \ 0 \ ... \ (n-1)$
Link: ![[]](/images/popup.gif) Rechnen mit komplexen Zahlen
Gruß
Loddar
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