Körper mit 4 Elementen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Do 01.11.2007 | | Autor: | Mirtschi |
Hallo!
Ich habe folgende Aufgabe zu bearbeiten:
Gibt es einen Körper mit 4 Elementen? Welche Charakteristik müsste ein solcher Körper haben? Falls es einen solchen gibt, beschreiben Sie ihn durch Angabe der Additions- und der Multiplikationstafel.
Ich probiere jetzt seit Stunden herum und stoße immer wieder auf Widersprüche. Meiner Meinung nach kann man keinen Körper mit 4 Elementen konstruieren, dieser müsste das neutrale Element der Multiplikation und der Addition enthalten und für alle Elemente bezüglich Addition und Multiplikation je ein Inverses haben. Ich schaffe es in meinen Versuchen meistens, alle Axiome der Addition zu beweisen und stoße dann spätestens beim inversen Element der Multiplikation auf einen Widerspruch.
Kann mir jemand helfen?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:09 Do 01.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
für den körper $K$ muss doch sowohl $(K, +)$ also auch $(K [mm] \setminus \{ 0 \}, \cdot)$ [/mm] eine gruppe sein. wieviele gruppen mit vier beziehungsweise drei elementen kennst du denn?
probiere diese doch mal zu kombinieren, am ende solltest du auf jeden fall einen solchen körper erhalten.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 Fr 02.11.2007 | | Autor: | froggie |
ist nicht F4 ein Körper mit vier elementen?
Nur verstehe ich nicht genau was mit der Charakteristik genau gemeint ist.
[mm] \overline{2}+\overline{2}=\overline{0} [/mm] und [mm] \overline{2}*\overline{2}=\overline{0}
[/mm]
Ist die dann chark (F4) =4, weil [mm] 4*\overline{1}=0 [/mm] ist(bzw. [mm] \overline{1}+\overline{1}+\overline{1}+\overline{1}=0)?
[/mm]
Aber 4 ist ja keine Primzahl ( es gilt ja chark (K)=p, p ist prim)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:35 Fr 02.11.2007 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> ist nicht F4 ein Körper mit vier elementen?
Wenn du das richtige Gebilde darunter verstehst, dann ja! Also Rückfrage: Was meinst du mit F4?
> Nur verstehe ich nicht genau was mit der Charakteristik
> genau gemeint ist.
> [mm]\overline{2}+\overline{2}=\overline{0}[/mm] und
Hier könnte einem der Verdacht kommen, daß du mit F4 die Restklassen mod 4 meinst, das Ding ist aber Lichtjahre von einem Körper entfernt!
> [mm]\overline{2}*\overline{2}=\overline{0}[/mm]
> Ist die dann chark (F4) =4, weil [mm]4*\overline{1}=0[/mm]
> ist(bzw.
> [mm]\overline{1}+\overline{1}+\overline{1}+\overline{1}=0)?[/mm]
Im Körper mit 4 Elementen ist bereits [mm] \overline{1}+\overline{1} [/mm] = 0, das ist die Definition der Charakteristik (Ordnung der 1 in der additiven Gruppe), es ist sogar x + x = 0 für alle x aus diesem Körper.
> Aber 4 ist ja keine Primzahl ( es gilt ja chark (K)=p, p
> ist prim)
Genau, 4 ist auch nicht die Charakteristik.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:49 Fr 02.11.2007 | | Autor: | froggie |
[mm] \IF_{4}=\IZ [/mm] / 4 [mm] \IZ [/mm] ist nicht das gleiche? ich meine mein prof hatte in einer vorlesung gemeint, dass das nur andere schreibweisen ist... ich glaub, das hab ich dann wohl falsch in erinnerung......... 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:59 Fr 02.11.2007 | | Autor: | statler |
> [mm]\IF_{4}=\IZ[/mm] / 4 [mm]\IZ[/mm] ist nicht das gleiche? ich meine mein
> prof hatte in einer vorlesung gemeint, dass das nur andere
> schreibweisen ist... ich glaub, das hab ich dann wohl
> falsch in erinnerung.........
[mm] \IZ [/mm] / [mm] 4\IZ [/mm] ist doch ein Ring mit Nullteilern (2*2 = 0), also auf keinen Fall ein Körper.
F4 kannst du dir als Restklassenring eines Polynomrings hinschreiben:
F2 := [mm] \IZ/2\IZ [/mm] und F4 := [mm] F2[X]/(X^{2} [/mm] + X + 1)
Jetzt hat alles Hand und Fuß.
Ciao
Dieter
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> [mm]\IF_{4}=\IZ[/mm] / 4 [mm]\IZ[/mm] ist nicht das gleiche? ich meine mein
> prof hatte in einer vorlesung gemeint, dass das nur andere
> schreibweisen ist... ich glaub, das hab ich dann wohl
> falsch in erinnerung.........
Hallo,
einen wahren Kern hat das Ganze immerhin:
wenn p eine Primzahl ist, ist [mm] \IZ [/mm] / p [mm] \IZ [/mm] ein Körper mit p Elementen.
Gruß v. Angela
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> > > [mm]\IF_{4}=\IZ[/mm] / 4 [mm]\IZ[/mm] ist nicht das gleiche? ich meine mein
> > > prof hatte in einer vorlesung gemeint, dass das nur andere
> > > schreibweisen ist... ich glaub, das hab ich dann wohl
> > > falsch in erinnerung.........
> >
> > Hallo,
> >
> > einen wahren Kern hat das Ganze immerhin:
> >
> > wenn p eine Primzahl ist, ist [mm]\IZ[/mm] / p [mm]\IZ[/mm] ein Körper mit
> > p Elementen.
>
> Aber Angela, unter Freunden, hast du nur deine Brille
> verlegt
Ich habe sie ausnahmsweise wirklich auf der Nase, obgleich ich sie vorm Computer meist absetze.
> oder auch noch Alkohol getrunken?
Heute noch nicht. Diesbezüglich sind eher die Abende kritisch. Kaffee bisher bloß.
> 4 ist keine
> Primzahl und wird auch nie mehr eine werden.
Ich weiß das. Weil nämlich 4=2*2, gell???
>
> Also formuliere ich das mal korrekt um: Wenn 4 eine
> Primzahl ist, dann ist [mm]\IZ/4\IZ[/mm] ein Körper.
Ja.
Ich habe aber doch gar nicht gesagt, daß [mm] \IZ/4\IZ [/mm] ein Körper ist...
Ich habe doch nur gesagt, daß für Primzahlem p das Dingens ein Körper ist.
Das ist der wahre Kern, den ich herausarbeiten wollte.
Gleich weine ich.
Ich hab's doch nur gut gemeint mit unserem froggie - und nun? Brille, Alkohol...
> Bis zu unserem nächsten gemeinsamen Projekt
Ich trau mich nicht mehr. Vielleicht.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:45 Fr 02.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
experimentier mal mit 0,1=-1, a,b.
a*b=1=-1; a+b=-1 =1 ; a+(b-1)=0 b+(a-1)=0
Gruss leduart.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Fr 02.11.2007 | | Autor: | froggie |
ich hab jetzt ne additions- und eine multiplikationtafel aufgeschrieben und deine tipps verwendet außer die mit den Klammern....., die ja nicht mehr aussagen wie a+b=1 (oder ich irre mich mal wieder :) )
für die Addition, hab ich dann noch folgende additionen definiert a+a=0, b+1=a , ....
für mich macht das sinn, auch für einen Mathematiker ? ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:12 Fr 02.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
die folgen aus meinen. ist richtig.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:35 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Mirtschi |
Hallo!
Vielen Dank für den Tipp! Ich habe es jetzt geschafft, aus 0,1,a,b einen Körper zu basteln. Noch eine Frage dazu: Wird von mir ein konkreter Körper verlangt? Also muss ich noch für a und b konkrete Zahlen finden, oder kann ich das mit zwei Variablen und zwei Zahlen aufschreiben?
Viele Grüße
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> oder kann ich das mit
> zwei Variablen und zwei Zahlen aufschreiben?
Hallo,
Du kannst das so aufschreiben.
Deine "Zahlen" sind ja keine Zahlen, Du verwendest lediglich dieselben Symbole.
Deine 0 steht für "neutrales Elementbzgl. der ersten Verknüpfung", und die 1 für "neutrales Element bzgl. der zweiten Verknüpfung".
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Fr 02.11.2007 | | Autor: | froggie |
hab mal ne kurze zwischenfrage:
die Körperaxiome sind folgende oder?
Abgeschloßenheit
Assoziativität
Kommutativiät
inverses Element
neutrales Element
also die gleichen wie für eine abelsche Gruppe, gell?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:08 Fr 02.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> hab mal ne kurze zwischenfrage:
>
> die Körperaxiome sind folgende oder?
>
> Abgeschloßenheit
> Assoziativität
> Kommutativiät
> inverses Element
> neutrales Element
>
> also die gleichen wie für eine abelsche Gruppe, gell?
Aber für + und * , d.h. ne Gruppe unter * und ne Gruppe unter + und dann noch Distributivgesetz um * und + zu verbinden!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:33 Sa 03.11.2007 | | Autor: | froggie |
Um noch mal auf die Charakterisitk zurückzukommen... ist char (F4)=0 ?
Die 0 ist ja die kleinste Zahl in dem Körper.....
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> Um noch mal auf die Charakterisitk zurückzukommen... ist
> char (F4)=0 ?
> Die 0 ist ja die kleinste Zahl in dem Körper.....
Hmmmmmmmm...
Das berührt wieder das Thema, über welches ich Mirtschi vor ein paar Sekunden antwortete. (Seid Ihr eigentlich ein Team, oder arbeitet Ihr unabhängig voneinander?)
Dieser Körper, der hier nun gefunden wurde, ist kein Körper, der aus "Zahlen" besteht.
Es besteht aus einer Menge mit den Elementen 0, 1, a, b und einer Verknüpfung, die Ihr selbst definiert habt in dem eisernen Willen, einen Körper zu bekommen.
Nirgendwo war die Rede davon, daß diese Menge eine Teilmenge der natürlichen Zahlen ist. Es ist einfach eine Menge.
Für das neutrale Element bzgl. der einen Verknüpfung, welche Du vermutlich "+" getauft hast, nimmst Du, weil man es vom Rechnen mit ganzen Zahlen so gewohnt ist, das Symbol (!) 0, für die andere das Symbol 1. Man hätte ebensogut die Symbole n und e verwenden können, wie das mancherorts ja auch getan wird.
Nächstes Thema:
> Die 0 ist ja die kleinste Zahl in dem Körper.....
Was soll denn das bedeuten??? Hast Du bereits eine Anordnung auf Deinem vierelementigen Körper definiert?
(Bevor Dieter mich wieder so furchtbar ungerecht beschuldigt: das geht gar nicht.)
Null ist das neutrale Element bzgl. der ersten Verknüpfung und insofern ist die Null ein ausgezeichnetes Element im Körper, was aber nichts damit zu tun haben kann, daß sie größer oder kleiner ist. Diesen Begriff gibt's hier nicht.
Eine kleine Abschweifung zu den Restklassen, sagen wir meinetwegen zu den mod 5.
Es wäre sinnlos, hier zu sagen: [mm] \overline{2} [/mm] < [mm] \overline{3}. [/mm] Was sollte das bedeuten?
Es wird Zeit, daß ich mich Deiner eigentlichen Frage zuwende, der Frage nach der Charakteristik.
Die Charakteristik des Körpers ist die kleinste Zahl k, für die [mm] \underbrace{1+1+...+1=0}_{k-mal} [/mm] ergibt.
(Vergleiche das mal mit der Definition, die Dir für "Charakteristik" vorliegt.)
Hiermit solltest Du die Charakteristik Deines Körpers leicht feststellen können.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:52 So 04.11.2007 | | Autor: | froggie |
> Das berührt wieder das Thema, über welches ich Mirtschi vor
> ein paar Sekunden antwortete. (Seid Ihr eigentlich ein
> Team, oder arbeitet Ihr unabhängig voneinander?)
mirtschi und ich arbeiten unabhängig voneinander :)
> Es wäre sinnlos, hier zu sagen: [mm]\overline{2}[/mm] <
> [mm]\overline{3}.[/mm] Was sollte das bedeuten?
>
gute frage... 
> Die Charakteristik des Körpers ist die kleinste Zahl k, für
> die [mm]\underbrace{1+1+...+1=0}_{k-mal}[/mm] ergibt.
> (Vergleiche das mal mit der Definition, die Dir für
> "Charakteristik" vorliegt.)
ja.... die Definition hab ich auch nur, dass ich anstelle von k ein p hab. Wir hatten in der Vorlesungen auch gesagt, dass p eine Primzahl sein muss oder auch 0 sein kann.
ICh bin mir nicht sicher, ob ich die Def richtig verstehe...
In dem Körper gilt:
0+0= 0
1+1=0
a+a=0
b+b=0
Also ist die charakteristik 2, weil 1+1=0 ist, also 2*1=0 , wobei k=2?
ISt 2 eine primzahl? Mir wurde das mal in der Klausur angestrichen................... ;?
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> > Die Charakteristik des Körpers ist die kleinste Zahl k, für
> > die [mm]\underbrace{1+1+...+1=0}_{k-mal}[/mm] ergibt.
> > (Vergleiche das mal mit der Definition, die Dir für
> > "Charakteristik" vorliegt.)
>
> ja.... die Definition hab ich auch nur, dass ich anstelle
> von k ein p hab. Wir hatten in der Vorlesungen auch gesagt,
> dass p eine Primzahl sein muss oder auch 0 sein kann.
> ICh bin mir nicht sicher, ob ich die Def richtig
> verstehe...
>
> In dem Körper gilt:
> 1+1=0
> Also ist die charakteristik 2,
Hallo,
ja.
> ISt 2 eine primzahl? Mir wurde das mal in der Klausur angestrichen
Klar ist 2 eine Primzahl. Die wird doch nur von 1 und sich selbst geteilt.
In einer Klausur angestrichen? Vielleicht war eine ungerade Primzahl gefordert...
Aber egal , ob zwei eine primzahl ist oder nicht - die Charakteristik hier IST 2.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Fr 02.11.2007 | | Autor: | froggie |
wie hast du denn die assoziativität und die Kommutativität gezeigt?
Assoz: (0+1)+a=0+(1+a)
Komm: (0+1)=(1+0)
waren doch bestimmt deine Ansätze oder?
und dann?
kann man z.b 0:=2k und 1:= 2m setzen und dann so die beiden Axiome zeigen?
wie sieht es mit der Abgeschloßenheit aus? hast du dann jeweils alle vier Elemente miteinander verknüpft oder kann man hier einfach auf die Tafeln verweisen....?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:20 Fr 02.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> wie hast du denn die assoziativität und die Kommutativität
> gezeigt?
Ich hab sie nicht gezeigt, Du sollst das doch! ich weiss es daher, wie ich den K. hergestellt hab!
> Assoz: (0+1)+a=0+(1+a)
> Komm: (0+1)=(1+0)
Komm kann man an der Additionstabelle und Mult. Tabelle sehen, wenn man sie an der Diagonalen spiegeln kann.
Ass. mit 0 ist immer klar, also nur die anderen.
> waren doch bestimmt deine Ansätze oder?
>
> und dann?
>
> kann man z.b 0:=2k und 1:= 2m setzen und dann so die beiden
> Axiome zeigen?
Versteh nicht, was du damit meinst! warum wirds einfacher, wenn man noch nen neuen Namen einführt und was soll k und m denn sein? was für Gesetze gelten für die?
> wie sieht es mit der Abgeschloßenheit aus? hast du dann
> jeweils alle vier Elemente miteinander verknüpft oder kann
> man hier einfach auf die Tafeln verweisen....?!
Was folgt denn aus den Tafeln? Dass du sie hast zeigt doch die Abg. oder kommt da was anderes als 0,1,a,b vor?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:32 Sa 03.11.2007 | | Autor: | froggie |
ja, ja.... waren dumme fragen, hab beim ins Reine schreiben der Aufgabe bemerkt, dass man die Kommutativiät und die Abgeschlossenheit natürlich aus den Tafeln entnehmen kann, (ich Trottel)!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:40 So 04.11.2007 | | Autor: | froggie |
(1+a)+b=1(1+a)+b=1(1+a+b)=1*1+1(a+b)=1+(a+b)
im ersten schritt eins ausklammern, usw.......
kann man so die assoziativität zeigen?
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> (1+a)+b=1(1+a)+b=1(1+a+b)=1*1+1(a+b)=1+(a+b)
>
> im ersten schritt eins ausklammern, usw.......
>
> kann man so die assoziativität zeigen?
Hallo,
das wird überhaupt nicht klappen, denn mit Ausklammern und Pipapo verwendest Du doch Körpergesetze, deren Gültigkeit Du erst zeigen willst.
Oder hast Du die Distributivität schon gezeigt?
Ich bin mir nicht 100% sicher, ob ich diesen langen Thread noch richtig überblicke, daher fasse ich mal zusammen, was ich glaube, was Stand der Dinge ist:
Du hast jetzt eine Menge M mit 4 Elementen und für diese zwei Verknüpfungstafeln für + und * , und Du möchtest zeigen, daß das ein Körper ist.
Hierzu mußt Du folgendes zeigen:
1. (M,+) ist eine Gruppe
2. (M ohne das neutrale Element bzgl. +, *) ist eine Gruppe
3. Es gilt das Distributivgesetz.
Du möchtest nun offensichtlich gerade das Assoziativgesetz für die Verknüpfung + zeigen:
Wenn Du nicht auf Begriffe wie "Kleinsche Vierergruppe" und "isomorph" zurückgreifen kannst,
bedeutet das, daß Du für sämtliche Kombinationen von drei Elementen x,y,z Deiner Gruppe zeigen mußt, daß
(x+y)+z=x+(y+z) gilt, und zwar anhand der von Dir aufgestellten Verknüpfungstafel.
An einigen Stellen kannst Du sicher aufgrund der offensichtlichen Kommutativität etwas abkürzen
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 So 04.11.2007 | | Autor: | sonne19 |
hallo,
ich hab du obrigem noch eine frage:
ich bin gerade dabei kommuntativität der multiplikation zu beweisen.
> > Komm: (0+1)=(1+0)
> Komm kann man an der Additionstabelle und Mult. Tabelle
> sehen, wenn man sie an der Diagonalen spiegeln kann.
also meine multiplikationstabelle sieht so aus:
* 0 1 a b
0 0 0 0 0
1 0 1 a b
a 0 a b 1
b 0 b 1 a
das verwirrt mich jetzt ein bisschen,denn wenn ich es spiegeln kann dann müssta ja b*b =1 sein und nicht a ?
oder habe ich einen fehler gemacht?
danke und liebe grüße
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> also meine multiplikationstabelle sieht so aus:
>
>
> * 0 1 a b
> 0 0 0 0 0
> 1 0 1 a b
> a 0 a b 1
> b 0 b 1 a
>
> das verwirrt mich jetzt ein bisschen,denn wenn ich es
> spiegeln kann dann müssta ja b*b =1 sein und nicht a ?
>
> oder habe ich einen fehler gemacht?
Hallo,
Deine Multiplikationstabelle sieht gut aus, und wenn Du die Null wegläßt, siehst Du, daß die verbleibenden Elemente eine Gruppe der Ordnung 3 bilden.
Die Tabelle ist doch auch ganz herrlich symmetrisch zur Diagonalen, die vom Sternchen zum Element rechts unten geht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Mo 05.11.2007 | | Autor: | sonne19 |
hallo und vielen dank für die antwort!!!
die assoziativität habe ich jetzt so bewiesen:
- assoziativität mit 0, da 0 das neutrale element der addition.
z.z.: (1+a)+b=1+(a+b)
(1+a)+b=b+b=0
1+(a+b)=1+1=0
-> 0=0 w.A.
reicht das oder muss ich jetzt noch alle anderen kombinationen durchrechnen? also:
(1+1)+1=1+(1+1)
(a+a)+a=a+(a+a)
(b+b)+b=b+(b+b)
(1+a)+1=1+(a+1)
(1+b)+1=1+(b+1)
(1+a)+a=1+(a+a)
(1+b)+b=1+(b+b)
(a+b)+a=a+(b+a)
(a+b)+b=a+(b+b)
das müssten doch jetzt alle anderen kombinationen sein, oder irre ich mich?
und noch eine weitere frage:
mein körper entält ja die elemente K={1,2,a,b} und da ich die variablen a und b eingeführt habe, müsste ich diese ja auch irgendwie definieren. ich hab jetzt mal geschreiben a,b [mm] \in \IN \not= [/mm] 0,1
ist das so richtig?
liebe grüße, DANKE
sonne
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> reicht das oder muss ich jetzt noch alle anderen
> kombinationen durchrechnen? also:
>
> (1+1)+1=1+(1+1)
> (a+a)+a=a+(a+a)
> (b+b)+b=b+(b+b)
> (1+a)+1=1+(a+1)
> (1+b)+1=1+(b+1)
> (1+a)+a=1+(a+a)
> (1+b)+b=1+(b+b)
> (a+b)+a=a+(b+a)
> (a+b)+b=a+(b+b)
Hallo,
im Prinzip müßtest Du die alle durchrechnen.
Aber ich würde sagen, daß es reicht, wenn Du schreibst, daß man alle Kombinationen durchrechnen muß und durch Ablesen aus der Tabelle feststellt, daß es stimmt.
Dann ein-drei Beispiele vorrechnen.
>
> das müssten doch jetzt alle anderen kombinationen sein, > oder irre ich mich?
Alle Kombinationen sind es nicht, denn ich sehe nicht (a+a)+b=a+(a+b), aber vielleicht bekommt man das über (a+b)+a=a+(b+a) irgendwie - ich überblicke das im Moment nicht.
Müßten es nicht 27 Kombinationen sein, wenn man die Kommutativität außer Acht läßt? (Aber ich bin in Kombinatorik seeeeehr schwach.)
>
> und noch eine weitere frage:
> mein körper entält ja die elemente K={1,2,a,b} und da ich
> die variablen a und b eingeführt habe, müsste ich diese ja
> auch irgendwie definieren.
Tu das bloß nicht!
Du hast eine Menge [mm] \{0,1,a,b\}, [/mm] hast zwei Verknüpfungen durch Deine Tabellen definiert, fertig. Mehr brauchst Du nicht.
> ich hab jetzt mal geschreiben
> a,b [mm]\in \IN \not=[/mm] 0,1
> ist das so richtig?
Jein. Der Hinweis darauf, daß [mm] a,b\not=0,1, [/mm] ist nicht schädlich, der Hinweis [mm] a\not=b [/mm] sicher ganz angebracht, damit deutlich ist, daß in Deiner Menge M wirklich 4 Elemente sind.
Das mit dem [mm] \IN [/mm] mach lieber wieder weg. Die sind alle aus deiner Menge M, basta.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:55 Mo 05.11.2007 | | Autor: | sonne19 |
hallo, und danke für die antwort!!
>
> Alle Kombinationen sind es nicht, denn ich sehe nicht
> (a+a)+b=a+(a+b), aber vielleicht bekommt man das über
> (a+b)+a=a+(b+a) irgendwie - ich überblicke das im Moment
> nicht.
> Müßten es nicht 27 Kombinationen sein, wenn man die
> Kommutativität außer Acht läßt? (Aber ich bin in
> Kombinatorik seeeeehr schwach.)
ich komme auch auf 27 aber von denen kann man denk ich mal viele weglassen wenn man sich auf die kommuntativität beruft.
liebe grüße und danke für die unterstützung!!!
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aber ich komm nur auf 24 :-(
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