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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass es einen Körper mit vier Elementen gibt. |
Hallo!
Nach ein wenig Probieren habe ich folgenden Körper gefunden (K,+,*) mit K={0,1,a,b}:
+ | 0 | 1 | a | b | * | 0 | 1 | a | b |
------------------- -------------------
0 | 0 | 1 | a | b | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
------------------- -------------------
1 | 1 | 0 | b | a | 1 | 0 | 1 | a | b |
------------------- -------------------
a | a | b | 0 | 1 | a | 0 | a | b | 1 |
------------------- -------------------
b | b | a | 1 | 0 | b | 0 | b | 1 | a |
Das funktioniert so auch. Nun muss ich aber nachweisen, dass das ein Körper ist. Zum "Glück" darf ich benutzen, dass beides oben schon abelsche Gruppen sind (Multiplikation natürlich ohne 0).
Ich muss nun ja noch die Distributivgesetze nachweisen - gibt es da einen schönen Weg, wie ich das vielleicht auch begründen könnte oder so, weil ich will nicht Zehntausend sinnlose Rechnungen durchführen...
Vielen Dank für Eure Hilfe,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:13 Sa 21.11.2009 | | Autor: | abakus |
> Zeigen Sie, dass es einen Körper mit vier Elementen gibt.
> Hallo!
>
> Nach ein wenig Probieren habe ich folgenden Körper
> gefunden (K,+,*) mit K={0,1,a,b}:
>
> + | 0 | 1 | a | b | * | 0 | 1 | a | b |
> ------------------- -------------------
> 0 | 0 | 1 | a | b | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
> ------------------- -------------------
> 1 | 1 | 0 | b | a | 1 | 0 | 1 | a | b |
> ------------------- -------------------
> a | a | b | 0 | 1 | a | 0 | a | b | 1 |
> ------------------- -------------------
> b | b | a | 1 | 0 | b | 0 | b | 1 | a |
>
> Das funktioniert so auch. Nun muss ich aber nachweisen,
> dass das ein Körper ist. Zum "Glück" darf ich benutzen,
> dass beides oben schon abelsche Gruppen sind
> (Multiplikation natürlich ohne 0).
>
> Ich muss nun ja noch die Distributivgesetze nachweisen -
> gibt es da einen schönen Weg, wie ich das vielleicht auch
> begründen könnte oder so, weil ich will nicht Zehntausend
Übertreib nicht. Wegen der Kommutativität ist a*(b+c)=(b+c)*a
und a*(b+c)=a*(c+b).
Die Anzahl der Fälle hält sich in Grenzen...
Gruß Abakus
> sinnlose Rechnungen durchführen...
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe,
> Stefan
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Hallo abakus,
da hast du recht, ich hab' ein wenig übertrieben. Okay,
dann könnte ich das doch so schreiben:
> > K={0,1,a,b}:
> >
> > + | 0 | 1 | a | b | * | 0 | 1 | a | b |
> > ------------------- -------------------
> > 0 | 0 | 1 | a | b | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
> > ------------------- -------------------
> > 1 | 1 | 0 | b | a | 1 | 0 | 1 | a | b |
> > ------------------- -------------------
> > a | a | b | 0 | 1 | a | 0 | a | b | 1 |
> > ------------------- -------------------
> > b | b | a | 1 | 0 | b | 0 | b | 1 | a |
Distributivgesetze:
Zu zeigen a*(b+c) = a*b+a*c für alle [mm] a,b,c\in [/mm] K,
das andere Distributivgesetz folgt dann direkt aus der Kommutativität der Multiplikation.
Falls a = 0, folgt sofort 0*(b+c) = 0 = 0+0 = 0*b+0*c für alle [mm] b,c\in [/mm] K.
Falls a = 1, folgt 1*(b+c) = (b+c) = 1*b+1*c für alle [mm] b,c\in [/mm] K.
Wegen dem Kommutativgesetz der Addition folgt a*(b+c) = a*(c+b).
Außerdem folgt im Fall b = 0: a*(b+0) = a*(b) = a*b + 0 = a*b+a*0 für alle [mm] a,c\in [/mm] K; für den Fall c analog für alle [mm] a,b\in [/mm] K.
Der Fall b oder c gleich Null muss also im Folgenden nicht mehr mit aufgenommen werden.
Falls a = "a":
a*(1+1) = a*(0) = 0 = a + a = a*1 + a*1
a*(1+a) = a*(b) = 1 = a + b = a*1 + a*a
a*(1+b) = a*(a) = b = a + 1 = a*1 + a*b
a*(a+1) folgt aus Komm.
a*(a+a) = a*(0) = 0 = b + b = a*a + a*a
a*(a+b) = a*(1) = a = b + 1 = a*a + a*b
a*(b+1) folgt aus Komm.
a*(b+a) folgt aus Komm.
a*(b+b) = a*(0) = 0 = 1 + 1 = a*b + a*b
Und nun würde ich das ganze noch für den Fall a = "b" machen.
Ist das so okay (ihr müsst nicht nachrechnen, es geht mir nur um den Blick von "außen", also ob es der kürzeste Weg ist und schlüssig) ?
Danke für Eure Hilfe,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Di 24.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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