Körper mit 4 Elementen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:15 So 27.06.2010 | | Autor: | ckoehler |
| Aufgabe | | Verständnisproblem: Körper mit 4 Elementen |
Hallo,
ich habe keine Aufgabe zu lösen, möchte aber eine, die schon öfters gestellt worden ist, verstehen. Es geht um die Konstruktion von einem Körper mit 4 Elementen.
Das [mm] \IZ_{4} [/mm] kein Körper ist, da es für die Multiplikation nicht immer ein inverses Element gibt, habe ich verstanden.
Was ich aber nicht verstehe sind die Gruppentafeln / Verknüpfungstabellen.
Kann mir jemand die Verknüpfungstabelle für die Addition erklären. Im Internet werden die Elemente oft mit 0, 1, a, b bezeichnet.
+ 0 1 a b
0 0 1 a b
1 1 0 b a
a a b 0 1
b b a 1 0
Die Zeile mit Null verstehe ich noch. In der Zeile für 1 fangen meine Fragen jedoch an. Wieso ist 1+a=b oder a+a=0?
Vielen Dank für die Hilfe,
Christian
PS.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:23 So 27.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Verständnisproblem: Körper mit 4 Elementen
> Hallo,
> ich habe keine Aufgabe zu lösen, möchte aber eine, die
> schon öfters gestellt worden ist, verstehen. Es geht um
> die Konstruktion von einem Körper mit 4 Elementen.
> Das [mm]\IZ_{4}[/mm] kein Körper ist, da es für die
> Multiplikation nicht immer ein inverses Element gibt, habe
> ich verstanden.
> Was ich aber nicht verstehe sind die Gruppentafeln /
> Verknüpfungstabellen.
>
> Kann mir jemand die Verknüpfungstabelle für die Addition
> erklären. Im Internet werden die Elemente oft mit 0, 1, a,
> b bezeichnet.
>
> + 0 1 a b
> 0 0 1 a b
> 1 1 0 b a
> a a b 0 1
> b b a 1 0
>
> Die Zeile mit Null verstehe ich noch. In der Zeile für 1
> fangen meine Fragen jedoch an. Wieso ist 1+a=b oder a+a=0?
Das "warum" ist eigentlich ganz einfach: weil's anders nicht geht. Nehmen wir mal an, dass $a + a [mm] \neq [/mm] 0$ ist. Dann muss $a + a [mm] \in \{ 1, a, b \}$ [/mm] sein. Wenn es gleich $a$ ist, folgt $a = 0$ (da es eine Gruppe ist), ein Widerspruch. Wenn es gleich $b$ oder $1$ ist, kann man zeigen, dass die Gruppe isomorph zu [mm] $(\IZ_4, [/mm] +)$ ist -- und dann ist $1 + 1 [mm] \neq [/mm] 0$, jedoch $(1 + 1) (1 + 1) = 0$, womit das ganze kein Koerper waer.
Es muss also $a + a = 0$ sein.
Ebenso kann man argumentieren, wenn $1 + a [mm] \neq [/mm] b$ ist.
(Etwas mathematischer praezise; ich weiss nicht ob dir das was sagt: in der additiven Gruppe muessen die Elemente hoechstens Ordnung 2 haben, ansonsten muss es ein Element der Ordnung 4 geben und die Gruppe ist zyklisch, womit der Ring isomorph zu [mm] $\IZ_4$ [/mm] ist, also gar kein Koerper.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:37 Mo 28.06.2010 | | Autor: | ckoehler |
Hallo Felix,
danke für die schnelle Antwort. Ganz klar ist es mir allerdings noch nicht.
>Nehmen wir mal an, dass a + a [mm] \neq [/mm] 0 ist. Dann muss $ a + a [mm] \in \{ 1, a, b \} [/mm] $ sein.
Bis hier hin ist es mir klar.
>Wenn es gleich $ a $ ist, folgt $ a = 0 $ (da es eine Gruppe ist), ein Widerspruch.
Kannst du hier vielleicht etwas weiter ausholen. Warum ist das ein Wiederspruch?
>Wenn es gleich $ b $ oder $ 1 $ ist, kann man zeigen, dass die Gruppe isomorph zu $ [mm] (\IZ_4, [/mm] +) $ ist -- und dann ist $ 1 + 1 [mm] \neq [/mm] 0 $, jedoch $ (1 + 1) (1 + 1) = 0 $, womit das ganze kein Koerper waer.
>Es muss also $ a + a = 0 $ sein.
Kannst du hier auch bitte noch mal etwas weiter ausholen.
Vielen Dank und viele Grüße,
Christian
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:59 Mo 28.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Christian!
> danke für die schnelle Antwort. Ganz klar ist es mir
> allerdings noch nicht.
>
>
> >Nehmen wir mal an, dass a + a [mm]\neq[/mm] 0 ist. Dann muss [mm]a + a \in \{ 1, a, b \}[/mm]
> sein.
>
> Bis hier hin ist es mir klar.
>
>
> >Wenn es gleich [mm]a[/mm] ist, folgt [mm]a = 0[/mm] (da es eine Gruppe ist),
> ein Widerspruch.
>
> Kannst du hier vielleicht etwas weiter ausholen. Warum ist
> das ein Wiederspruch?
Du hast $a + a = a$. Da das ganze bzgl. + eine kommutative Gruppe ist, gibt es ein additiv Inverses $-a$ von $a$ mit $(-a) + a = 0$. Damit erhaelt man $a = (-a) + a + a = (-a) + a = 0$
> >Wenn es gleich [mm]b[/mm] oder [mm]1[/mm] ist, kann man zeigen, dass die
> >Gruppe isomorph zu [mm](\IZ_4, +)[/mm] ist -- und dann ist [mm]1 + 1 \neq 0 [/mm],
> >jedoch [mm](1 + 1) (1 + 1) = 0 [/mm], womit das ganze kein Koerper
> >waer.
> >Es muss also [mm]a + a = 0[/mm] sein.
>
> Kannst du hier auch bitte noch mal etwas weiter ausholen.
Also, nehmen wir an, dass $a + a [mm] \in \{ 1, b \}$ [/mm] ist. Dann sind $0$, $a$, $a + a$ drei verschiedene Elemente. Damit ist die ![[]](/images/popup.gif) Ordnung von $a$ mindestens 3. Da sie nach Lagrange ein Teiler von der Gruppenordnung, also 4, sein muss, folgt dass sie bereits 4 ist. Es ist also [mm] $\{ 0, a, a + a, a + a + a \} [/mm] = [mm] \{ 0, 1, a , b \}$. [/mm] Damit muss die Ordnung von 1 ebenfalls 4 sein, da du $a = 1 [mm] \cdot [/mm] a$, $a + a = (1 + 1) [mm] \cdot [/mm] a$, $a + a + a = (1 + 1 + 1) [mm] \cdot [/mm] a$ schreiben kannst (Distributivgesetz): wenn $1 + 1$ oder $1 + 1 + 1$ gleich 0 waer, so waer auch $a + a$ bzw. $a + a + a$ gleich 0, ein Widerspruch.
Jetzt ist jedoch $0 = 1 + 1 + 1 + 1 = (1 + 1) (1 + 1)$ das Produkt zweier Elemente ungleich 0. Das kann aber in einem Koerper nicht passieren! Also haben wir insgesamt einen Widerspruch.
Damit war die Annahme $a + a [mm] \in \{ 1, b \}$ [/mm] falsch.
LG Felix
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