Körper mit vier Elementen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:36 Mi 20.10.2010 | | Autor: | hansmuff |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass es keinen Körper mit genau vier Elementen gibt in dem die Elemente 0,1,1+1 und 1+1+1 verschieden sind. |
Könnt ihr mir helfen?
Danke.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:49 Mi 20.10.2010 | | Autor: | statler |
Hi, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Zeigen Sie, dass es keinen Körper mit genau vier Elementen
> gibt in dem die Elemente 0,1,1+1 und 1+1+1 verschieden
> sind.
Die multiplikative Gruppe des Körpers hätte dann 3 Elemente: 1, 1+1 und 1+1+1 und wäre zyklisch, weil Gruppen von Primzahlordnung zyklisch sind. Damit wäre 1+1 ein erzeugendes Element. Also wäre 1+1+1+1 = [mm] (1+1)^2 [/mm] = 1+1+1, und das kann nicht sein, weil die beiden wirklich verschieden sind.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 Mi 20.10.2010 | | Autor: | hansmuff |
Kannst du mir das bitte ohne zyklisch, Gruppe und Primzahlordnung erklären. Die Begriffe hatten wir alle noch nicht.
Also ich kann ja dazu die Addition- und Multiplikationstabellen aufschreiben:
+ 1 1+1 1+1+1
1 1+1 1+1+1 1
1+1 1+1+1 1 1+1
1+1+1 1 1+1 1+1+1
* 1 1+1 1+1+1
1 1 1+1 1+1+1
1+1 1+1 1+1+1 1
1+1+1 1+1+1 1 1+1
Sind die so richtig?
Wie kann ich das damit zeigen?
lg, hansmuff
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:06 Mi 20.10.2010 | | Autor: | statler |
> Kannst du mir das bitte ohne zyklisch, Gruppe und
> Primzahlordnung erklären. Die Begriffe hatten wir alle
> noch nicht.
Ich versuch's.
> Also ich kann ja dazu die Addition- und
> Multiplikationstabellen aufschreiben:
>
> + 1 1+1
> 1+1+1
> 1 1+1 1+1+1 1
> 1+1 1+1+1 1 1+1
> 1+1+1 1 1+1
> 1+1+1
>
>
> * 1 1+1
> 1+1+1
> 1 1 1+1
> 1+1+1
> 1+1 1+1 1+1+1 1
> 1+1+1 1+1+1 1
> 1+1
Es fehlt die 0. Aber woher willst du ohne Gruppentheorie wissen, daß (1+1)(1+1) = 1+1+1 ist? Da der Körper nur 4 Elemente hat, muß 1+1+1+1 eines dieser Elemente sein. Es kommt nur die 0 in Frage, warum? Aber dann ist [mm] (1+1)^2 [/mm] = 0. Wann kann das in einem Körper nur sein?
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:27 Mi 20.10.2010 | | Autor: | hansmuff |
Ich glaub' ich versteh's so langsam.
(Dass die Tabellen zyklisch sind bedeutet, also, dass man die Zeilen nach links verschieben kann...)
Auf jeden Fall muss ich jetzt also um die Aufgabe zu beantworten, schreiben:
Annahme: Es gibt diesen Körper mit den vier verschiedenen Elementen 0,1,1+1,1+1+1
Dann können wir die Multiplikationstabelle so weit aufstellen - weil ja die Axiome für das neutrale und für das inverse Element gelten sollen (es ist ja ein Körper):
* 0 1 1+1 1+1+1
0 0 0 0 0
1 0 1 1+1 1+1+1
1+1 0 1+1
1+1+1 0 1+1+1
Jetzt kommen wir zu der Frage, was (1+1)*(1+1) ist. Das können wir nach dem Distributivgesetz schreiben als: (1*1)+(1*1)+(1*1)+(1*1)=1+1+1 +1
Das ist laut der Additionstabelle =0. Diese Tatsache widerspricht aber der zyklischen Multiplikationstabelle, denn in dieser müsste (1+1)*(1+1)=1+1+1 sein.
=> 1+1+1 = 0 Damit haben wir keine vier verschiedenen Elemente mehr.
Meinst du das kann ich so schreiben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:53 Mi 20.10.2010 | | Autor: | statler |
Hi!
> Annahme: Es gibt diesen Körper mit den vier verschiedenen
> Elementen 0,1,1+1,1+1+1
>
> Dann können wir die Multiplikationstabelle so weit
> aufstellen - weil ja die Axiome für das neutrale und für
> das inverse Element gelten sollen (es ist ja ein Körper):
>
> * 0 1 1+1
> 1+1+1
> 0 0 0 0
> 0
> 1 0 1 1+1
> 1+1+1
> 1+1 0 1+1
> 1+1+1 0 1+1+1
>
> Jetzt kommen wir zu der Frage, was (1+1)*(1+1) ist. Das
> können wir nach dem Distributivgesetz schreiben als:
> (1*1)+(1*1)+(1*1)+(1*1)=1+1+1 +1
> Das ist laut der Additionstabelle =0.
> Diese Tatsache
> widerspricht aber der zyklischen Multiplikationstabelle,
> denn in dieser müsste (1+1)*(1+1)=1+1+1 sein.
Aber warum? Nimm lieber meinen Weg.
> Meinst du das kann ich so schreiben?
Diesen Widerspruch mußt du aus den dir bekannten Axiomen und Sätzen begründen. Nur dann ist es ein stringenter Beweis.
Dieter
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