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| Aufgabe | Sei K ein Körper mit char(K) = p > 0.
a) Seien x,y [mm] \in [/mm] K. Zeigen Sie:
i) [mm] (x+y)^p [/mm] = [mm] x^p [/mm] + [mm] y^p [/mm] (beachte, dass die binomische Formel über jedem kommutativen Ring gilt und dass jeder Binomialkoeffizient [mm] \vektor{p \\ i} [/mm] mit 1 < i < p durch p teilbar ist)
ii) [mm] (x\*y)^p [/mm] = [mm] x^p \* y^p
[/mm]
c) Zeigen Sie, dass [mm] x^p [/mm] - x = 0 für alle x [mm] \in \IZ_{p} [/mm] gilt. |
Zu a):
Gegeben ist: K Körper und char(K) = p > 0
Wegen char(K) = p > 0 wissen wir, dass [mm] p*1_{K} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}1_{K} [/mm] = 0 ist. Desweiteren kann ich folgern, dass wenn K Körper ist und char(K) = p > 0 ist, dass p eine Primzahl ist (Folgerung aus Lemma).
Und weiter weiß ich nicht. Könnt ihr mir vielleicht einen Ansatz geben?
Zu c):
Ich denke, dass ich die Aufgabe fast gelöst habe, hänge aber an einem Schritt fest, und weiß nicht, wie ich diesen zeigen soll.
Wie zeige ich, dass [mm] x^p-1 [/mm] = 1 ist? Ich hatte schonmal bei Wikipedia nachgeguckt und da steht was vom kleinen Satz von Fermat, aber den hatten wir noch nicht, nämlich [mm] x^p-1 \equiv [/mm] 1 (mod p).
Ich wäre für jede Hilfe dankbar. :)
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> Sei K ein Körper mit char(K) = p > 0.
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> a) Seien x,y [mm]\in[/mm] K. Zeigen Sie:
>
> i) [mm](x+y)^p[/mm] = [mm]x^p[/mm] + [mm]y^p[/mm] (beachte, dass die binomische Formel
> über jedem kommutativen Ring gilt und dass jeder
> Binomialkoeffizient [mm]\vektor{p \\
i}[/mm] mit 1 < i < p durch p
eher [mm]1\blue{\leq} i
> teilbar ist)
>
> ii) [mm](x\*y)^p[/mm] = [mm]x^p \* y^p[/mm]
>
> c) Zeigen Sie, dass [mm]x^p[/mm] - x = 0 für alle x [mm]\in \IZ_{p}[/mm]
> gilt.
> Zu a):
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> Gegeben ist: K Körper und char(K) = p > 0
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> Wegen char(K) = p > 0 wissen wir, dass [mm]p*1_{K}[/mm] =
> [mm]\summe_{i=1}^{n}1_{K}[/mm] = 0 ist. Desweiteren kann ich
Es gilt auch [mm]pa=0[/mm] für [mm]a\in K[/mm] das hilft dir bei [mm]\vektor{p\\
i}[/mm]
> folgern, dass wenn K Körper ist und char(K) = p > 0 ist,
> dass p eine Primzahl ist (Folgerung aus Lemma).
>
> Und weiter weiß ich nicht. Könnt ihr mir vielleicht einen
> Ansatz geben?
>
Es gilt übrigens auch [mm](a\pm b)^{p^n}=a^{p^n}\pm b^{p^n}[/mm] für [mm] $n\in \IN$
[/mm]
> Zu c):
>
> Ich denke, dass ich die Aufgabe fast gelöst habe, hänge
> aber an einem Schritt fest, und weiß nicht, wie ich diesen
> zeigen soll.
>
> Wie zeige ich, dass [mm]x^p-1[/mm] = 1 ist? Ich hatte schonmal bei
> Wikipedia nachgeguckt und da steht was vom kleinen Satz von
> Fermat, aber den hatten wir noch nicht, nämlich [mm]x^p-1 \equiv[/mm]
> 1 (mod p).
Tipp+Ansatz: Die multiplikative Gruppe [mm]K^\times[/mm] hat p-1 Elemente. Die Ordnung eines jeden Elementes aus [mm]K^\times[/mm] teilt die Gruppenordnung.
>
> Ich wäre für jede Hilfe dankbar. :)
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