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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:39 Sa 10.01.2009 | | Autor: | Lati |
| Aufgabe | | Es sei R ein kommutativer Ring mit 1. Zeige, R ist genau dann ein Körper, wenn R genau 2 Ideale hat. |
Hallo zusammen,
ich hab ehrlich gesagt nicht gerade viel Ahnung wie ich an die Aufgabe gehen soll.
[mm] \Rightarrow: [/mm] Hier hab ich als Vor., dass R ein Körper ist, d.h., dass die Menge der Einheiten genau R [mm] \setminus [/mm] 0 ist. Aber wie komm ich jetzt aus dieser Voraussetzung darauf, dass R nur 2 Ideale hat? Wo liegt denn hier der Zusammenhang? Oder muss ich hier was anderes machen?
[mm] \Leftarrow [/mm] : Vor: R hat genau 2 Ideale.
Hier muss ja dann meiner Meinung nach gelten, dass diese Ideale die trivialen Ideale 0 und R sind, oder? Jetzt könnte ich hier vielleicht etwas über das Erzeugnis von a, welches ja genau als [mm] ()_{R} [/mm] = [mm] \{ x*a | x \in R\} [/mm] definiert ist, machen. Aber dann hörts auch schon auf.
Hättet ihr ein paar Tipps für mich?
Vielen Dank und viele Grüße!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:09 Sa 10.01.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Es sei R ein kommutativer Ring mit 1. Zeige, R ist genau
> dann ein Körper, wenn R genau 2 Ideale hat.
> [mm]\Rightarrow:[/mm] Hier hab ich als Vor., dass R ein Körper
> ist, d.h., dass die Menge der Einheiten genau R [mm]\setminus[/mm] 0
> ist. Aber wie komm ich jetzt aus dieser Voraussetzung
> darauf, dass R nur 2 Ideale hat? Wo liegt denn hier der
> Zusammenhang? Oder muss ich hier was anderes machen?
Nimm dir ein Ideal [mm] \mathcal{I}, [/mm] welches ein [mm]a \not= 0[/mm] enthält.
Zeige dann, dass [mm]\mathcal{I} = R[/mm] ist.
> [mm]\Leftarrow[/mm] : Vor: R hat genau 2 Ideale.
> Hier muss ja dann meiner Meinung nach gelten, dass diese
> Ideale die trivialen Ideale 0 und R sind, oder?
Ja, dies sind immer Ideale.
> Jetzt könnte ich hier vielleicht etwas über das Erzeugnis von a,
> welches ja genau als [mm]()_{R}[/mm] = [mm]\{ x*a | x \in R\}[/mm]
> definiert ist, machen. Aber dann hörts auch schon auf.
Das ist eine gute Idee.
Es kann ja [mm]()_{R}[/mm] entweder nur das Null-Ideal oder ganz R sein, per Vorrausetzung.
Kann es das Null-Ideal sein? Wann und Wieso?
Da du einen kommutativen Ring mit Eins hast, bleibt dir ja nur noch die Existenz von multiplikativ Inversen zu zeigen. Dies folgt aber aus [mm]()_{R}=R, \forall a \not= 0[/mm]. Wieso?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:50 Sa 10.01.2009 | | Autor: | Lati |
Hi Merle,
vielen Dank für deine Hilfe.
Also bei der Hinrichtung zeig ich jetzt einfach, dass es außer dem Nullideal nur noch das Ideal R gibt. Dazu nehm ich mir ein Ideal a [mm] \not= [/mm] 0 und nehme an, dass es nicht R ist und führe das zum Widerspruch. Aber wie genau mach ich das denn? Kannst du mir hier noch einen Ansatz geben?
Und bei der Rückrichtung: Meiner Meinung nach kann [mm] ()_R [/mm] das Null_ideal nur sein wenn x = o oder?
Den Rest deiner Antwort versteh ich aber nicht so wirklich. Warum gilt denn:
> Dies folgt aber aus [mm]()_{R}=R, \forall a \not= 0[/mm].<
Versteh ich nicht, was du hiermit meinst?
Und wenn ich das dann aber gezeigt haben sollte, dann folgt daraus, dass es sich um einen Körper handelt? Kannst du mir viieleicht hier auch noch kurz erklären, warum es reicht das zu zeigen?
Vielen, vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:13 So 11.01.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Hi Merle,
> vielen Dank für deine Hilfe.
> Also bei der Hinrichtung zeig ich jetzt einfach, dass es
> außer dem Nullideal nur noch das Ideal R gibt. Dazu nehm
> ich mir ein Ideal a [mm]\not=[/mm] 0 und nehme an, dass es nicht R
> ist und führe das zum Widerspruch. Aber wie genau mach ich
> das denn? Kannst du mir hier noch einen Ansatz geben?
Wenn a im Ideal [mm] \mathcal{I} [/mm] ist, dann ist [mm]()_{R}[/mm] ja eine Teilmenge von [mm] \mathcal{I}.
[/mm]
Es ist aber [mm]()_{R}=R[/mm], da R ein Körper ist. Wieso?
> Und bei der Rückrichtung: Meiner Meinung nach kann [mm]()_R[/mm]
> das Null_ideal nur sein wenn [mm] \red{a} [/mm] = o oder?
Ja.
> Den Rest deiner Antwort versteh ich aber nicht so
> wirklich. Warum gilt denn:
> > Dies folgt aber aus [mm]()_{R}=R, \forall a \not= 0[/mm].<
>
> Versteh ich nicht, was du hiermit meinst?
Es gibt per Voraussetzung nur zwei Ideale in R.
Es gibt in einem Ring immer mindestens zwei Ideale, nämlich 0 und R.
Da [mm]a \not= 0[/mm] ist, muss also [mm]()_{R}=R[/mm] sein. Und das für jedes bel. [mm]a \not= 0[/mm].
> Und wenn ich das dann aber gezeigt haben sollte, dann folgt
> daraus, dass es sich um einen Körper handelt? Kannst du mir
> viieleicht hier auch noch kurz erklären, warum es reicht
> das zu zeigen?
Du brauchst für jedes [mm]a \not= 0[/mm] ein multiplikativ Inverses.
Schau dir das Ideal [mm]()_{R}[/mm] an. Es ist ja ganz R. Wieso folgt daraus, dass a ein multiplikativ Inverses hat?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:18 So 11.01.2009 | | Autor: | Lati |
Hi,
euch allen vielen Dank für eure Hilfe!
Ich denk ich hab's jetzt!
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:14 So 11.01.2009 | | Autor: | gwh |
Bei der "Hinrichtung" ist zu zeigen: Jedes Ideal a (außer 0) ist identisch mit R. Dazu genügt es zu zeigen, dass 1 ein Element von a ist.
Für die Gegenrichtung ist zu zeigen: Jedes a [mm] \in [/mm] R (außer 0) hat ein multiplikatives Inverses. Dazu kann man, wie du schon vorgeschlagen hast, das von a erzeugte Ideal (a) betrachten. Dieses muss aber ja R sein...
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