Körper und Vektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei K ein Körper. Wir bezeichnen mit
[mm] K[X]_d [/mm] = { f [mm] \in [/mm] K[X] | f=0 oder deg(f) [mm] \le [/mm] d }
die Menge der Polynome vom Grad höchstens d.
i) Zeigen sie, dass V= [mm] \IR [X]_3 [/mm] ein vierdimensionaler [mm] \IR [/mm] - Vektorraum ist.
ii) Zeigen sie, dass W= { f [mm] \in \IR [X]_3 [/mm] | f(-1)=f(1) und f(2)=0 } ein Untervektorraum von V ist.
iii) Geben sie eine Basis von W an.
iv) Geben sie die Dimension von W an. |
Hallo,
ich verstehe die i) leider gar nicht. Was ist denn ein [mm] \IR [/mm] -Vektorraum von Polynomen. kann mir jemand mal ein Bsp. liefern oder gerne auch einen Link mit entsprecehenden Infos...sind damit alle Funktionen der Form:
[mm] ax^3 [/mm] + [mm] bx^2 [/mm] + [mm] cx^1 [/mm] + [mm] dx^0 [/mm] gemeint?
Aber wie zeige ich dann, dass es sich hier um einen vierdimensionalen [mm] \IR [/mm] - Vektorraum ist?
Über Hinweise und Hilfe freue ich mich natürlich wieder sehr.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:51 Mo 25.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei K ein Körper. Wir bezeichnen mit
>
> [mm]K[X]_d[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { f [mm]\in[/mm] K[X] | f=0 oder deg(f) [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
d }
>
> die Menge der Polynome vom Grad höchstens d.
>
>
> i) Zeigen sie, dass V= [mm]\IR [X]_3[/mm] ein vierdimensionaler [mm]\IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> - Vektorraum ist.
> ii) Zeigen sie, dass W= { f [mm]\in \IR [X]_3[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| f(-1)=f(1) und
> f(2)=0 } ein Untervektorraum von V ist.
> iii) Geben sie eine Basis von W an.
> iv) Geben sie die Dimension von W an.
> Hallo,
>
> ich verstehe die i) leider gar nicht. Was ist denn ein [mm]\IR[/mm]
> -Vektorraum von Polynomen. kann mir jemand mal ein Bsp.
> liefern oder gerne auch einen Link mit entsprecehenden
> Infos...sind damit alle Funktionen der Form:
>
> [mm]ax^3[/mm] + [mm]bx^2[/mm] + [mm]cx^1[/mm] + [mm]dx^0[/mm] gemeint?
Ja, wobei a,b,c,d [mm] \in \IR.
[/mm]
Die Addition f+g ist so def.: (f+g)(x)=f(x)+g(x)
Die Skalarmultiplikation [mm] \alpha*f [/mm] so: [mm] (\alpha*f )(x)=\alpha*f(x)
[/mm]
> Aber wie zeige ich dann, dass es sich hier um einen
> vierdimensionalen [mm]\IR[/mm] - Vektorraum ist?
Indem Du eine Basis mit 4 Elementen angibst.
FREDE
>
> Über Hinweise und Hilfe freue ich mich natürlich wieder
> sehr.
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Ok, ist eine Basis dann z.B. gegeben durch
{ [mm] x^3; x^2; x^1; x^0 [/mm] }
Richtig?
die habe ich aus dem Polynom ja jetzt "einfach abgelesen", reicht das so? Was mache ich denn, wenn ich die nicht so einfach sehe, also ablesen kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 Mo 25.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
gesucht ist ja nicht eine Basis von V sondern von W, erstmal zeigen, dass es ein UVR ist, und dann eine Basis suchen.
wenn du die dim d deines UR kennst suchst du darin d lin unabh. Polynome.
auch von deiner basis müsstest du ja zeigen, dass das 4 lin unabh. Vektoren in V sind.
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:29 Mo 25.06.2012 | | Autor: | Big_Head78 |
Meine frage galt dem Punkt i) Zeige, dass V= [mm] \IR [X]_3 [/mm] ein vierdimensionaler [mm] \IR [/mm] -Vektorraum ist. Da bin ich mirauch immer noch unsicher.
Das was du/leduart geschrieben hast/hat, das bezieht sich doch auf die Teilaufg. iii), oder?
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Ok, ist eine Basis dann z.B. gegeben durch
>
> { [mm]x^3; x^2; x^1; x^0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> Richtig?
Hallo,
ja.
>
> die habe ich aus dem Polynom ja jetzt "einfach abgelesen",
> reicht das so?
Du müßtest auf jeden Fall noch begründen, warum das eine Basis.
Bzgl des Erzeugendensystems reicht es sicher zu sagen, daß es "offensichtlich" ein Erzeugendensystem ist.
Dann müßtest Du noch die lineare Unabhängigkeit zeigen.
Hierbei hilft Dir das, was Ihr in der Vorlesung über die Gleichheit von Polynomen notiert habt.
> Was mache ich denn, wenn ich die nicht so
> einfach sehe, also ablesen kann?
Ein Patentrezept zu liefern ohne konkretes Beispiel finde ich schwer.
Man sucht halt eine Menge und beweist, daß es eine Basis ist. Je nach Lage der Dinge kann man die Suche gezielt angehen.
LG Angela
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Gut dann mal die lineare Unabh.:
{ [mm] x^3, x^2, x^1, x^0 [/mm] }
sei n<m: z.z.: [mm] a*x^n \not= x^m [/mm] für alle [mm] a\in\IR
[/mm]
Durch Multiplikation mit einer Konstanten lässt sich der Grad eines Polynomes weder erhöhen noch verkleinern. Also sind Polynome unterschiedlichen Grades immer lin. Unabh., oder?
Ich habe auch schon mal etwas zu ii) versucht:
z.z.: W ist UVR
1.) [mm] W\not=\emptyset
[/mm]
sei f(-1)=f(1)=t
[mm] \Rightarrow [/mm] f(-1)=-a+b-c+d=t
f(1)=a+b+c+d=t
f(2)=8a+4b+2c+d=0
also [mm] A=\pmat{ -1&1&-1&1 \\1&1&1&1 \\8&4&2&1 }
[/mm]
und (A|c)= [mm] \pmat{ -1&1&-1&1 &t \\1&1&1&1&t \\8&4&2&1&0 } [/mm] (erweiterte Koeff.matrix)
Ich stelle fest: Rg(A)=Rg(A|c)=3
3<4 [mm] \Rightarrow [/mm] unendl. viele Lsg. mit einem (4-3=1) Parameter
[mm] \Rightarrow W\not=\emptyset
[/mm]
Richtig?
2.) z.z.: für alle [mm] x,y\in [/mm] U gilt [mm] x+y\in [/mm] U
Jetzt habe ich mir überlegt, wie denn die Lsg. des LGS aussehen:
[mm] \vektor{a \\ b\\c\\d} \rightarrow \vektor{v_1 \\ v_2\\v_3 \\v_4 } [/mm] + [mm] t*\vektor{w_1 \\ w_2\\w_3 \\w_4 }
[/mm]
Sehen die wirklich so aus?
Wenn ich jetzt zwei lösungen nehme und die addiere, dann steht dort aber doch:
x+y= [mm] \vektor{v_1 \\ v_2\\v_3 \\v_4 } [/mm] + [mm] t_1*\vektor{w_1 \\ w_2\\w_3 \\w_4 }+ \vektor{v_1 \\ v_2\\v_3 \\v_4 } [/mm] + [mm] t_2*\vektor{w_1 \\ w_2\\w_3 \\w_4 }= 2*\vektor{v_1 \\ v_2\\v_3 \\v_4 } [/mm] + [mm] t*\vektor{w_1 \\ w_2\\w_3 \\w_4 }
[/mm]
Aber das passt leider nicht...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:40 Mo 25.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. um zu zeigen dass das ein VR ist, genügt es nicht eine basis anzugeben. du musst zeigen, wenn p1,p2 aus V dann auch p1+p2 mit p1 auch r*p1
und es muss einen 0 Vekor geben.
2. du hast nur gezeigt, dass je 2 deiner Basisvektoren lin unabh. sind.
bsp (1,0), (1,1) (0,1) sind paarweise lin unabh. die 3 sind aber nicht lin. unabh.
also musst du zeigen für die 4 polynome gilt a_1b1+a-2b2+a_3b3+a_4b4=0 nur falls alle [mm] a_i=0 [/mm] sind.
zu ii
[mm] W\ne [/mm] 0
richtig, allerdings hätte auch ein polynom, das die bed erfüllt also etwa [mm] 4-x^2 [/mm] das getan.
auch p1+p2 wieder in W ist einfacher
P1(-1)=P1(1)
P2(-1)=P2(1)
addieren was gilt direkt ? entsprechend mit [mm] P_i(2)=0
[/mm]
und mit r*P
Gruss leduart
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Also ganz klar ist mir das mit dem VR noch nicht.
Um zu zeigen, dass es sich bei einem Körper K (hier: [mm] \IR [/mm] ) und einer Menge M (hier: die polynome 3. Grades) um einen [mm] \IR [/mm] -VR handelt muss man zeigen, dass:
1. (V,+) ist abelsche Grp (hier: die Menge der Polynome 3. Grades ist abelsche Grp.)
Das bekomme ich hin.
2. für k,l [mm] \in \IR [/mm] und [mm] p_1, p_2 \in [X]_3 [/mm] gilt:
i) [mm] (k+l)*p_1 [/mm] = [mm] k*p_1 [/mm] + [mm] l*p_1
[/mm]
[mm] ii)k*(p_1 [/mm] + [mm] p_2)=k*p_1 [/mm] + [mm] k*p_2
[/mm]
iii) [mm] (k*l)*p_1 =k*(l*p_1)
[/mm]
iv) [mm] 1*p_1 [/mm] = [mm] p_1 [/mm]
Das sollte ich auch schaffen.
Damit hätte ich dann gezeigt, dass es ein [mm] \IR [/mm] -VR ist, oder?
Dann hätte ich also noch zu zeigen, dass die vier Vektoren { [mm] x^3, x^2, x^1, x^0 [/mm] } lin. unabh. sind. Damit hätte ich dann doch gezeigt, dass das Ganze vierdimensional ist, oder?
Und insgesamt wäre Teil i) dann gelöst, oder?
Leider bekomme ich das mit der lin. Unabh. nicht hin, kann man mir dabei bitte etwas helfen oder ein gutes Bsp. nennen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:38 Di 26.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
irgendwie zeigst du was falsches.
du zeigst weitgehend die Körpereigenschaft, aber dass R ein K ist ist klar. du musst wirklich nur zeigen:
a) es gibt einen Nullvektor hier das polynom mit allen Koeef, 0
b) mit p1 und p2 aus v ist auch p1+p2 aus V nachrechnen
c) mit p aus V ist auch r*p aus V r aus K
b) und c) kann man mit r*p1+s*p2 aus V zusammen zeigen.
Gruss leduart
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Ok, nachdem ich jetzt i) und ii) in den Griff bekommen habe, versuche ich mich gerade an iii). Doch leider habe ich gar keinen Plan wie das jetzt gehen soll, habe auch schon etwas gesucht, aber nichts gefunden, das mir wirklich hilft. Kann mir hier jemand den Ansatz verraten oder einen guten Link.
Was ich mir bislang überlegt habe: da f(-1)=f(1) muss das ganze ja irgendwie symmetrisch sein, also würde ich sagen, dass [mm] x^3 [/mm] und [mm] x^1 [/mm] nicht zur Basis gehören, blieben also nur [mm] x^2 [/mm] und [mm] x^0 [/mm] übrig. Aber das ist nur eine Vermututng und kein Beweis. Über Hilfe freue ich mich natürlich sehr.
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Hallo,
der Grundraum in dieser Aufgabe ist der VR der Polynome vom Höchstgrad 3.
Schreib jetzt mal auf, wie in aller Allgemeinheit ein Vektor dieses Raumes aussieht.
Danach notiere die Bedingungen, die sich aus der besonderen Machart von W ergeben.
Wenn du das hast, bist Du einer Basis schon ein Stück näher.
LG Angela
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Also:
[mm] ax^3+bx^2+cx^1+dx^0 [/mm] ist ein allg. Vektor dieses Raumes
f(-1)=-a+b-c+d
f(1)=a+b+c+d
f(-1)=-a+b-c+d=f(1)=a+b+c+d
f(2)=8a+4b+2c+d=0
Jetzt sehe ich aber leider noch nicht, wie ich mich der Basis nähere...
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> Also:
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> [mm]ax^3+bx^2+cx^1+dx^0[/mm] ist ein allg. Vektor dieses Raumes
>
> f(-1)=-a+b-c+d
>
> f(1)=a+b+c+d
>
>
> f(-1)=-a+b-c+d=f(1)=a+b+c+d
>
> f(2)=8a+4b+2c+d=0
>
> Jetzt sehe ich aber leider noch nicht, wie ich mich der
> Basis nähere...
Naja,
Du weißt nun, daß gelten muß
a+c=0
8a+4b+2c+d=0.
Du kannst nun (LGS lösen),z.B. a und b in Abhängigkeit von c und d ausdrücken und weißt dann ziemlich genau, wie die Vektoren (=Polynome) in W gemacht sind.
LG Angela
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ok a+c=0 ergibt sich durch f(-1)-f(1)=0
> Du kannst nun (LGS lösen),z.B. a und b in Abhängigkeit
> von c und d ausdrücken und weißt dann ziemlich genau, wie
> die Vektoren (=Polynome) in W gemacht sind.
>
> LG Angela
das verstehe ich leider nicht, was genau soll ich machen und was genau kann ich dann sehen?
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Hallo,
Du hast aus den Bedingungen für die vektoren in W ein Gleichungssystem bekommen, welches aus zwei Gleichungen mit 4 Variablen besteht.
Dieses solltest Du, wie bereits gesagt, mal lösen.
Das Ergebnis dann in [mm] f(x)=ax^3+bx^2+cx+d [/mm] einsetzen.
LG Angela
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Gut dann mal das LGS:
[mm] \pmat{ 1 & 0&1&0 \\ 8&4&2&1 }\vektor{ a\\ b\\c\\d}=\vektor{0 \\ 0}
[/mm]
dann habe ich:
4b=6c-d [mm] \gdw b=\bruch{1}{4}(6c-d) [/mm] und a=-c
einsetzen in f(x):
[mm] f(x)=ax^3+bx^2+cx^1+dx^0=...=c(-x^3+\bruch{3}{2}x^2+x)+d(-\bruch{x^2}{4}+1)
[/mm]
Und dann hat man mit span { [mm] (-x^3+\bruch{3}{2}x^2+x) [/mm] ; [mm] (-\bruch{x^2}{4}+1) [/mm] } eine Basis für W.
Und dim(W)=2
Richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:32 Fr 29.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, nur dass man als basis nicht span angibt, sondern die 2 Vektoren, die eine mögliche Basis sind. (eigentlich musst du noch zeigen, dass sie wirklich lin unabh. sind)
gruss leduart
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Das mit der lin. Unabh. dachte ich mir schon. Gut sie sind ja lin. unabh., bekomme ich auch hin z.z.. Kannst du mir bitte mal kurz aufschreiben, wie man die Basis richtig angibt?
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> Kannst du mir
> bitte mal kurz aufschreiben, wie man die Basis richtig
> angibt?
Hallo,
so:
[mm] \{(-x^3+\bruch{3}{2}x^2+x) ; (-\bruch{x^2}{4}+1) \} [/mm] ist eine Basis von W.
Wenn Du den span davon nimmst, hast Du ja ganz W und nicht nur die Basis.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:32 Fr 29.06.2012 | | Autor: | Big_Head78 |
Danke!
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