Körperautomorphismus < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:34 Do 20.11.2008 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | a) Beh.: Sei K ein Körper, L [mm] \supset [/mm] K und [mm] \phi: [/mm] K [mm] \rightarrow [/mm] K ein Körperautomorphismus, so ist [mm] \phi_{|\mathbb{Q}} [/mm] = id.
b) Beh.: [mm] \mbox{Aut}_{\mbox{Körper}}(\mathbb{R}) [/mm] = [mm] \{id\} [/mm] |
Hallo,
könnt ihr mir bitte zu diesen Behauptungen einen Hinweis geben, wie man sie beweisen kann? Was für Eigenschaften (außer K Körper und [mm] \phi [/mm] Körperautomorphismus) brauch ich noch um zu zeigen dass [mm] \phi [/mm] eingeschränkt auf [mm] \mathbb{Q} [/mm] dann die Identität sein muss?
Was bedeutet bei der b) [mm] Aut_{Koerper} [/mm] ?
Hier soll noch folgende Aussage nutzen:
a < b [mm] \gdw [/mm] b - a > 0 [mm] \gdw [/mm] b-a ist ein Quadrat einer reellen Zahl.
Viele Grüße,
Riley
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Grüße!
Das $L$ in der Aufgabenstellung verwirrt mich etwas, das braucht man nämlich nicht... wichtig ist nur, dass der Körper die Charakteristik 0 hat.
Zunächst hält jeder Automorphismus die ganzen Zahlen fest, da ja [mm] $\phi(1) [/mm] = 1$ und jede ganze Zahl als Summe von 1en (bzw. (-1)en) geschrieben werden kann.
Da [mm] $\phi$ [/mm] aber auch mit Quotienten verträglich ist, kann sich auch [mm] $\IQ$ [/mm] nicht viel bewegen...
Und was Teil b) angeht: Zu zeigen ist, dass es nur einen einzigen Körperautomorphismus von [mm] $\IR$ [/mm] gibt, nämlich die Identität. Dass [mm] $\IQ$ [/mm] festbleibt folgt aus Teil a), für irrationale Zahlen braucht man ein Argument. Da sollte helfen, dass [mm] $\IQ$ [/mm] dicht in [mm] $\IR$ [/mm] liegt...
Viel Erfolg!
Lars
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 Fr 21.11.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo Lars,
danke für deine Hinweise!
Ahh, d.h. [mm] \psi [/mm] eingeschräkt auf [mm] \mathbb{Z} [/mm] ist die Identität wegen dem was du geschrieben hast und wegen der Eigenschaft [mm] \psi(a^{-1}) [/mm] = [mm] (\psi(a))^{-1} [/mm] folgt daraus dann auch, dass [mm] \psi [/mm] auf [mm] \mathbb{Q} [/mm] die Identität ist ?
Oh, sorry, das mit dem L sollte eigentlich heißen K [mm] \supset \mathbb{Q}.
[/mm]
Hm, mit den irrationalen Zahlen... da ist mir noch kein Argument eingefallen. Aber vielleicht könnte man auch mit dem Hinweis aus der Aufgabenstellung zeigen, dass [mm] \psi [/mm] strikt monoton ist und dann über einen Widerspruch weiterkommen...??
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:05 Di 25.11.2008 | | Autor: | statler |
> Aber vielleicht könnte man auch mit
> dem Hinweis aus der Aufgabenstellung zeigen, dass [mm]\psi[/mm]
> strikt monoton ist
Genau, siehe unten.
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 Mo 24.11.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo Lars,
könntest du mir vielleicht doch noch schreiben wie du das mit den irrationalen Zahlen gemeint hast?
Über den andren Weg bin ich leider noch nicht weitergekommen ;-(
Wäre super, wenn du mir damit noch weiterhelfen würdest!
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:03 Di 25.11.2008 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> könntest du mir vielleicht doch noch schreiben wie du das
> mit den irrationalen Zahlen gemeint hast?
Aus der Hilfe in der Aufgabe kannst du folgern, daß der Automorphismus die Anordnung erhält, also wenn a > b, dann auch [mm] \phi(a) [/mm] > [mm] \phi(b), [/mm] weil nämlich das Bild eines Quadrates wieder ein Quadrat ist. Aber dann ist [mm] \phi [/mm] stetig, weil ja [mm] \IQ [/mm] fest bleibt. Und jede irrationale Zahl ist ja von [mm] \IQ [/mm] umzingelt, muß also auch fest bleiben.
Das müßte man natürlich noch mal sorgfältig elaborieren.
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Di 25.11.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo Dieter,
danke für deine Antwort. Also gilt die Aussage, dass das Bild eines Quadrates wieder ein Quadrat ist wegen [mm] \phi(a \cdot [/mm] a) = [mm] \phi(a) \cdot \phi(a) [/mm] ?
Allerdings versteh ich das Argument mit der Dichte von [mm] \mathbb{Q} [/mm] in [mm] \mathbb{R} [/mm] noch nicht so ganz...
Achso, dann braucht man dafür die Stetigkeit... Wie kann man das noch genauer herausarbeiten...??
Viele Grüße,
Riley
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Guten Morgen Riley!
Tut mir leid, wenn ich immer nur sporadisch hier reinschaue und mich so kaum um die Threads "kümmern" kann, bei denen ich mal antworte, ich habe leider nicht allzu viel Zeit...
Zum Thema: Ich fasse nochmal zusammen. Gezeigt werden soll, dass es keinen Körperautomorphismus von [mm] n$\IR$ [/mm] gibt, der von der Identität verschieden ist. Als Beweisstrategie wählen wir uns einen beliebigen Automorphismus [mm] $\phi: \IR \to \IR$ [/mm] und zeigen [mm] $\phi(x) [/mm] = x$ für alle $x [mm] \in \IR$.
[/mm]
Schritt 1: Zeige [mm] $\phi(q) [/mm] = q$ für alle $q [mm] \in \IQ$. [/mm] Das ist geschehen und nutzt wesentlich die Eigenschaft von [mm] $\phi$ [/mm] ein Automorphismus zu sein, denn jeden Bruch kann man schreiben als Quotient ganzer Zahlen (per Definition) und diese bleiben fix, weil die 1 auf die 1 abgebildet wird und eine ganze Zahl eine Summe von endlich vielen 1en (oder -1en) ist.
Schritt 2: Zeige, dass [mm] $\phi$ [/mm] monoton ist, also dass für $a,b [mm] \in \IR$ [/mm] mit $a < b$ gilt [mm] $\phi(a) [/mm] < [mm] \phi(b)$. [/mm] Da man diese Relation durch Quadrate ausdrücken kann (vgl. Tipp) und [mm] $\phi$ [/mm] Quadrate erhält (genau wie Du geschrieben hast... [mm] $\phi(a^2) [/mm] = [mm] \phi(a)^2$), [/mm] folgt dies auch recht schnell.
Schritt 3: Zeige nun endlich [mm] $\phi(x) [/mm] = x$ für alle $x [mm] \in \IR$. [/mm] Für $x [mm] \in \IQ$ [/mm] ist nach Schritt 1 nichts mehr zu tun, nehme also an, dass $x [mm] \in \IR \backslash \IQ$, [/mm] also irrational ist.
Nun liegen die rationalen Zahlen dicht in [mm] $\IR$, [/mm] insbesondere findet man rationale Folgen [mm] $(a_n)$ [/mm] und [mm] $(b_n)$, [/mm] die das $x$ von oben und unten approximieren, es gilt also
[mm] $\lim_{n \to \infty} a_n [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty} b_n [/mm] = x$ und [mm] $a_n [/mm] < x < [mm] b_n$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Ist das klar, warum das geht? Dicht zu sein heißt, das in jeder Umgebung eines Punktes unendlich viele Punkte der dichten Menge liegen.
Betrachte nun [mm] $\phi(x)$. [/mm] Wegen der Monotonie folgt sofort [mm] $\phi(a_n) [/mm] < [mm] \phi(x) [/mm] < [mm] \phi(b_n)$ [/mm] und da die [mm] $a_n$ [/mm] und [mm] $b_n$ [/mm] rational sind also [mm] $a_n [/mm] < [mm] \phi(x) [/mm] < [mm] b_n$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Aber aus [mm] $a_n [/mm] < [mm] \phi(x)$ [/mm] folgt $x = [mm] \lim_{n \to \infty} a_n \leq \phi(x)$.
[/mm]
Und ebenso aus [mm] $b_n [/mm] > [mm] \phi(x)$ [/mm] folgt $x = [mm] \lim_{n \to \infty} b_n \geq \phi(x)$.
[/mm]
Insgesamt folgt $x = [mm] \phi(x)$ [/mm] wie gewünscht.
Alles klar? 
Liebe Grüße,
Lars
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