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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:28 Do 13.03.2014 | | Autor: | elmanuel |
| Aufgabe | | Ist M= [mm] \{a+b*\sqrt{2}+c*\sqrt{3} | a,b,c \in\IQ\} [/mm] ein Körper? |
Hallo liebe Gemeinde!
also ich habe Probleme beim Inversen Element bzgl. *
also ich müsste zeigen dass [mm] \frac{1}{a+b*\sqrt{2}+c*\sqrt{3}} [/mm] ein element aus M ist. Mir scheint aber dass dies nicht so einfach möglich ist... oder wie könnte man das zeigen?
Kann es sein dass man kein allgemeines inverses bzgl * angeben kann aber trotzdem eines existiert?
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Hallo,
> Ist M= [mm]\{a+b*\sqrt{2}+c*\sqrt{3} | a,b,c \in\IQ\}[/mm] ein
> Körper?
Nein, es ist nur eine Menge. Zu einem Körper gehören zwingend eine Addition und Multiplikation.
> Hallo liebe Gemeinde!
>
> also ich habe Probleme beim Inversen Element bzgl. *
>
> also ich müsste zeigen dass
> [mm]\frac{1}{a+b*\sqrt{2}+c*\sqrt{3}}[/mm] ein element aus M ist.
> Mir scheint aber dass dies nicht so einfach möglich ist...
> oder wie könnte man das zeigen?
>
> Kann es sein dass man kein allgemeines inverses bzgl *
> angeben kann aber trotzdem eines existiert?
Unter der Annahme, dass hier die +,* der komplexen Zahlen gemeint ist, hast du das Problem bereits viel früher. M ist bzgl. * nicht abgeschlossen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:56 Do 13.03.2014 | | Autor: | elmanuel |
Danke!
Ich hab nochmal in der Def. von Körper nachgesehen, dort steht eigentlich nicht dass die Menge abgeschlossen sein muss... warum muss sie das sein?
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> Danke!
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> Ich hab nochmal in der Def. von Körper nachgesehen, dort
> steht eigentlich nicht dass die Menge abgeschlossen sein
> muss... warum muss sie das sein?
Das steht da, wenn auch nicht explizit ausgeschrieben.
* ist eine Verknüpfung, d.h. eine Abb. [mm] $K^\times \times K^\times \to K^\times \quad (a,b)\mapsto [/mm] ab $. Also muss $ab [mm] \in K^\times$ [/mm] gelten.
Und gewöhne dir bitte eine genauere Sprache an.
Die Menge muss bzgl. der Multiplikation abgeschlossen sein. Es gibt sehr viele andere Möglichkeiten wie eine Menge abgeschlossen sein kann (hier z.B. auch bzgl. + oder evtl. topologisch oder...)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:22 Do 13.03.2014 | | Autor: | elmanuel |
oha, stimmt! danke :)
also ich müsste a,b,c,d,e,f [mm] \in \IQ [/mm] finden sodass
a+ [mm] b*\sqrt{2}+c*\sqrt{3} (\in [/mm] M) * [mm] d+e*\sqrt{2}+f*\sqrt{3} (\in [/mm] M) [mm] \not\in [/mm] M
richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:25 Do 13.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> oha, stimmt! danke :)
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> also ich müsste a,b,c,d,e,f [mm]\in \IQ[/mm] finden sodass
>
> a+ [mm]b*\sqrt{2}+c*\sqrt{3} (\in[/mm] M) * [mm]d+e*\sqrt{2}+f*\sqrt{3} (\in[/mm]
> M) [mm]\not\in[/mm] M
>
> richtig?
>
Ja
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:27 Do 13.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> oha, stimmt! danke :)
>
> also ich müsste a,b,c,d,e,f [mm]\in \IQ[/mm] finden sodass
>
> a+ [mm]b*\sqrt{2}+c*\sqrt{3} (\in[/mm] M) * [mm]d+e*\sqrt{2}+f*\sqrt{3} (\in[/mm]
> M) [mm]\not\in[/mm] M
>
> richtig?
Du meinst zwar das richtige, aber Du schreibst es falsch:
[mm] $\red{(}a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}\red{)}*\red{(}d+e*\sqrt{2}+f*\sqrt{3}\red{)}$
[/mm]
sollte da stehen!
P.S. Und anstatt sowas wie "$x [mm] \in [/mm] M$ [mm] $\cdot$ [/mm] $y [mm] \in [/mm] M$" kannst Du das
so schreiben (klick auf die Formel oder halte den Mauszeiger drüber):
[mm] $\underbrace{x}_{\in M}*\underbrace{y}_{\in M}$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:45 Do 13.03.2014 | | Autor: | elmanuel |
Danke Fred, Marcel und MaslanyFanclub! :)
das sollte dafür reichen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:36 Do 13.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Danke!
> >
> > Ich hab nochmal in der Def. von Körper nachgesehen, dort
> > steht eigentlich nicht dass die Menge abgeschlossen sein
> > muss... warum muss sie das sein?
> Das steht da, wenn auch nicht explizit ausgeschrieben.
> * ist eine Verknüpfung, d.h. eine Abb. [mm]K^\times \times K^\times \to K^\times \quad (a,b)\mapsto ab [/mm].
> Also muss [mm]ab \in K^\times[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
gelten.
ich schreibe mal das, was ich eigentlich kenne, rein zur Ergänzung (bei
MaslanyFanclubs Definition müsste man ergänzen, was mit $0 \cdot k$ und $k \cdot 0$
"passiert" bzw. "passieren darf/kann" bzw. man müsste irgendwann die
Multiplikation auf $K\,$ 'erweitern'):
Es ist
$\cdot \colon K \times K \ni (a,b) \mapsto a*b:=\cdot(a,b):=\cdot(\,(a,b)\,) \in K$
so, dass
$(K^\times, \cdot)$ (wobei hier eigentlich $(K^\times, \left.\cdot\right|_{K^\times \times K^\times})$ stehen sollte - warum?)
eine abelsche Gruppe ist.
Der Unterschied ist: Hier wird bei der Multiplikation die Null keineswegs
"herausgenommen"!
P.S. $K^\times:=K \setminus \{0\}$
P.P.S. Zur Notation:
1. Die Notation $a \cdot b$ wird definiert durch den Wert $\cdot (\,(a,b)\,)\,.$ ($(a,b) \in A \times B\,.$)
2. Für $f \colon A \times B \to C$ schreibt man halt bekanntlich
$f(a,b):=f(\,(a,b)\,)$ für $(a,b) \in A \times B\,.$
3. Das $a \cdot b$ für uns vertrauter wirkt, ist reine erfahrungssache. Würde ich
anstatt $\cdot$ die Multiplikation einfach als
$f \colon K \times K \to K$
schreiben, so würden wir uns vielleicht über die Notation
$a\,$ $f\,$ $b\,$
wundern - dabei steht $f\,$ hier für nichts anderes als für $\cdot\,.$ Aber bei
$a\,$ $\cdot\,$ $b\,$
wundern wir uns (eigentlich) nicht (mehr)...
Gruß,
Marcel
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