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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:42 Di 17.11.2009 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | | Wie viele Elemente hat der Körper [mm] \IZ/2[X]/(X^3+X+1)? [/mm] |
Dies ist eigentlich keine Aufgabe von einem Übungsblatt. Wir hatten diese Beispiel kurz in der Vorlesung.
Dieser Körper besteht aus 8 Elementen. Doch ich weiss nicht genau, wie man darauf kommt.
Ein Element aus diesem Köper hat doch die Form
[mm] a_0 [/mm] + [mm] a_1*x [/mm] + [mm] a_2*x^2 [/mm] + [mm] a_3*x^3 [/mm] + [mm] ...+a_n*x^n [/mm] + [mm] (x^3+x+1)*k
[/mm]
mit [mm] a_i \in \IZ/2 [/mm] und k [mm] \in \IZ/2[X].
[/mm]
Stimmt das? Oder wie genau?
Und wie komme ich dann auf die 8 Elemente?
Ich hoffe, es kann mir jemand weiterhelfen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:07 Di 17.11.2009 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Wie viele Elemente hat der Körper [mm]\IZ/2[X]/(X^3+X+1)?[/mm]
> Dies ist eigentlich keine Aufgabe von einem Übungsblatt.
> Wir hatten diese Beispiel kurz in der Vorlesung.
> Dieser Körper besteht aus 8 Elementen. Doch ich weiss
> nicht genau, wie man darauf kommt.
>
> Ein Element aus diesem Köper hat doch die Form
>
> [mm]a_0[/mm] + [mm]a_1*x[/mm] + [mm]a_2*x^2[/mm] + [mm]a_3*x^3[/mm] + [mm]...+a_n*x^n[/mm] +
> [mm](x^3+x+1)*k[/mm]
> mit [mm]a_i \in \IZ/2[/mm] und k [mm]\in \IZ/2[X].[/mm]
> Stimmt das? Oder
> wie genau?
> Und wie komme ich dann auf die 8 Elemente?
Das Polynom ist im Restklassenring äquivalent zu einem Polynom
[mm]a_{0}'[/mm] + [mm]a_{1}'*x[/mm] + [mm]a_{2}'*x^2[/mm] + [mm](x^3+x+1)*k'[/mm].
Für jedes [mm] a_{i}' [/mm] hast du jetzt 2 Möglichkeiten (0 und 1, genauer [mm] \overline{0} [/mm] und [mm] \overline{1}), [/mm] das gibt 8 Elemente.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:09 Di 17.11.2009 | | Autor: | jokerose |
Hallo,
> Das Polynom ist im Restklassenring äquivalent zu einem
> Polynom
> [mm]a_{0}'[/mm] + [mm]a_{1}'*x[/mm] + [mm]a_{2}'*x^2[/mm] + [mm](x^3+x+1)*k'[/mm].
> Für jedes [mm][mm] a_{i}' [/mm] hast du jetzt 2 Möglichkeiten (0 und 1,
> genauer [mm]\overline{0}[/mm] und [mm]\overline{1}),[/mm] das gibt 8
> Elemente.
Also mir ist noch nicht ganz klar, weshalb das Polynom äquivalent zu [mm] a_{0}' [/mm] + [mm] a_{1}'*x [/mm] + [mm] a_{2}'*x^2 [/mm] + [mm] (x^3+x+1)*k' [/mm] ist. Wie kann ich mir das überlegen?
Und liegt eigentlich k' in [mm] \IZ/2[X]?
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Di 17.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hallo,
>
> > Das Polynom ist im Restklassenring äquivalent zu einem
> > Polynom
> > [mm]a_{0}'[/mm] + [mm]a_{1}'*x[/mm] + [mm]a_{2}'*x^2[/mm] + [mm](x^3+x+1)*k'[/mm].
> > Für jedes [mm][mm]a_{i}'[/mm] hast du jetzt 2 Möglichkeiten (0 und 1,
> > genauer [mm]\overline{0}[/mm] und [mm]\overline{1}),[/mm] das gibt 8
> > Elemente.
> Also mir ist noch nicht ganz klar, weshalb das Polynom äquivalent zu
> [mm]a_{0}'[/mm] + [mm]a_{1}'*x[/mm] + [mm]a_{2}'*x^2[/mm] + [mm](x^3+x+1)*k'[/mm] ist.
> Wie kann ich mir das überlegen?
Stichwort: Division mit Rest mit [mm] $x^3 [/mm] + x + 1$.
> Und liegt eigentlich k' in [mm]\IZ/2[X]?[/mm]
Ja.
LG Felix
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