Körpererweiterung < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimmen Sie den Grad der Körpererweiterung [mm] Z/\IQ, [/mm] wobei der Körper Z durch Adjunktion der Nullstellen (in [mm] \IC) [/mm] des Polynoms f:= [mm] x^{4}+8x^{2}+15 \in \IQ[X] [/mm] zu [mm] \IQ [/mm] entsteht. |
Hallo,
mein erster Gedanke bei dieser Altklausuraufgabe wäre zu prüfen, ob f nicht einfach das Minimalpolynom wäre, womit dann der Grad der Körpererweiterung 4 betragen würde. Jedoch hapert es hier an der Irreduzibelitäts-Prüfung. Eisenstein ist nicht anwendbar, Substitution ist genauso erfolglos, mit Reduktionsmethode kommt man auch nicht weiter..
War schon am überlegen, ob f vllt sogar reduzibel sein könnte. Ist man hier in der Klausursituation gezwungen die Nullstellen per Hand auszurechnen? Oder gibt es in diesem Fall einen besonderen zeitsparenden Trick?
Würde mich über Antworten freuen 
LG
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Hallo,
> Bestimmen Sie den Grad der Körpererweiterung [mm]Z/\IQ,[/mm] wobei
> der Körper Z durch Adjunktion der Nullstellen (in [mm]\IC)[/mm] des
> Polynoms f:= [mm]x^{4}+8x^{2}+15 \in \IQ[X][/mm] zu [mm]\IQ[/mm] entsteht.
> Hallo,
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> mein erster Gedanke bei dieser Altklausuraufgabe wäre zu
> prüfen, ob f nicht einfach das Minimalpolynom wäre,
Das Minimalpolyom von was denn? Dazu müsstest du erst einmal ein primitives Element der Körpererweiterung finden.
> womit
> dann der Grad der Körpererweiterung 4 betragen würde.
> Jedoch hapert es hier an der Irreduzibelitäts-Prüfung.
Nicht erstaunlich, da das Polynom reduzibel ist.
> Eisenstein ist nicht anwendbar, Substitution ist genauso
> erfolglos, mit Reduktionsmethode kommt man auch nicht
> weiter..
>
> War schon am überlegen, ob f vllt sogar reduzibel sein
> könnte.
Und was hat dich von den Gedanken abgehalten?
> Ist man hier in der Klausursituation gezwungen die
> Nullstellen per Hand auszurechnen? Oder gibt es in diesem
> Fall einen besonderen zeitsparenden Trick?
Bei solchen biquadratischen Termen kann man die NST sehr schnell und einfach ausrechnen, lernt man eigentlich auch in der Schule.
> Würde mich über Antworten freuen
>
> LG
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Hm, stimmt. Also ich habe die Nullstellen: [mm] \pm i\wurzel{3}, \pm i\wurzel{5}
[/mm]
Also [mm] \IQ(i\wurzel{3},i\wurzel{5}) [/mm] Zerfällungskörper.
[mm] [\IQ(i\wurzel{3},i\wurzel{5}):\IQ]=[\IQ(i\wurzel{3},i\wurzel{5}):\IQ(i\wurzel{3})]*[\IQ(i\wurzel{3}):\IQ]=2*2=4
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:41 Mi 12.02.2014 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hm, stimmt. Also ich habe die Nullstellen: [mm]\pm i\wurzel{3}, \pm i\wurzel{5}[/mm]
Genau.
> Also [mm]\IQ(i\wurzel{3},i\wurzel{5})[/mm] Zerfällungskörper.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm][\IQ(i\wurzel{3},i\wurzel{5}):\IQ]=[\IQ(i\wurzel{3},i\wurzel{5}):\IQ(i\wurzel{3})]*[\IQ(i\wurzel{3}):\IQ]=2*2=4[/mm]
Genau, wobei du das vorletzte Gleichheitszeichen eventuell noch besser begruenden musst.
LG Felix
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Hm, und woran kann man direkt sehen, dass dieses Polynom reduzibel ist? Gibt es da vllt eine Art Trick, Faustregel?
In diesem Fall gab es ja nur nicht die Möglichkeit, mit den uns zur Verfügung stehenden Mitteln die Irreduzibelität nachzuweisen...
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:33 Do 13.02.2014 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hm, und woran kann man direkt sehen, dass dieses Polynom
> reduzibel ist? Gibt es da vllt eine Art Trick, Faustregel?
Im Allgemeinen? Nein.
Bei biquadratischen Polynomen? Erstmal schauen ob die zugehoerige quadratische Gleichung (hier [mm] $y^2 [/mm] + 8 y + 15$) reduzibel ist. Dazu schaust du einfach nach Nullstellen. Wir haben hier ein normiertes Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten: jede Nullstelle in [mm] $\IQ$ [/mm] liegt bereits in [mm] $\IZ$ [/mm] und teilt 15, womit es nur die Moeglichkeiten [mm] $\pm [/mm] 1, [mm] \pm [/mm] 3, [mm] \pm [/mm] 5, [mm] \pm [/mm] 15$ gibt. Man sieht schnell, dass -3 eine Nullstelle ist, womit das Polynom [mm] $y^2 [/mm] + 8 y + 15$ den Faktor $y + 3$ hat. Aber damit hat [mm] $x^4 [/mm] + 8 [mm] x^2 [/mm] + 15$ auch den Faktor [mm] $x^2 [/mm] + 3$ und ist nicht irreduzibel.
Ansonsten (falls ihr den Satz ueber normierte Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten nicht hattet): einfach mit der pq-Formel die Nullstellen von [mm] $y^2 [/mm] + 8 y + 15$ berechnen und feststellen, dass diese in [mm] $\IQ$ [/mm] liegen.
LG Felix
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