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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:43 Di 19.06.2012 | | Autor: | teo |
| Aufgabe | Sei k [mm] \subset [/mm] K eine Körpererweiterung und 0 [mm] \neq \alpha \in [/mm] K mit K = [mm] k[\alpha]. [/mm] Weiter sei eine Potenz [mm] \alpha^e [/mm] (e eine positive ganze Zahl) von [mm] \alpha [/mm] in k enthalten. Sei n die minimale positive ganze Zahl, so dass [mm] \alpha^n \in [/mm] k ist. Zeigen Sie:
a) Ist [mm] \alpha^m \in [/mm] k für ein m > 0, so ist m ein Vielfaches von n.
b) Ist K/k eine separable Erweiterung, so ist die Charakteristik von k kein Teiler von n. |
Hallo,
leider tue ich mich bei dieser Aufgabe ziemlich schwer. Vlt. hat ja jemand eine Idee.
zur a) Irgendwie ist mir das schon klar, wenn ich mir das an einem Beispiel anschaue:
[mm] \alpha [/mm] = [mm] \wurzel[3]{2}. [/mm] Dann ist [mm] \IQ \subset \IQ[\wurzel[3]{2}] [/mm] eine solche Körpererweiterung und für n=3 gilt [mm] (\wurzel[3]{2})^3 \in \IQ [/mm] und nur für Vielfache m von n ist [mm] (\wurzel[3]{2})^m \in \IQ. [/mm] Nur wie ich das allgemein beweisen kann weiß ich überhaupt nicht.
b) hier ist zumindest klar dass man den Fall char(k)= 0 schnell abgeschlossen hat. Aber für char(k)= p mit p prim habe ich keine Ahnung..
Vielen Dank
Grüße
teo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:44 Di 19.06.2012 | | Autor: | SEcki |
> zur a) Irgendwie ist mir das schon klar, wenn ich mir das
> an einem Beispiel anschaue:
>
> [mm]\alpha[/mm] = [mm]\wurzel[3]{2}.[/mm] Dann ist [mm]\IQ \subset \IQ[\wurzel[3]{2}][/mm]
> eine solche Körpererweiterung und für n=3 gilt
> [mm](\wurzel[3]{2})^3 \in \IQ[/mm] und nur für Vielfache m von n
> ist [mm](\wurzel[3]{2})^m \in \IQ.[/mm] Nur wie ich das allgemein
> beweisen kann weiß ich überhaupt nicht.
Teilen mit Rest, dann Widerspruch.
> b) hier ist zumindest klar dass man den Fall char(k)= 0
> schnell abgeschlossen hat. Aber für char(k)= p mit p prim
> habe ich keine Ahnung..
[m]x\mapsto x^p[/m] ist ein Körperhomomorphismus. Bringe das mit seperabler Erweiterung in Verbindung.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:55 Mi 20.06.2012 | | Autor: | teo |
haklo, danke für die antwort. teil a) habe ich soweit hinbekommen. bei teil b) komme ich nicht weiter stimmt es, dass wenn K|k separabel ist die erweiterung galoissch und x [mm] \to x^p [/mm] die galoisgruppe erzeugt.. aber ich sehe nicht wie ich p teilt nicht n unterbringen soll?
danke für die hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:57 Mi 20.06.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> haklo, danke für die antwort. teil a) habe ich soweit
> hinbekommen. bei teil b) komme ich nicht weiter stimmt es,
> dass wenn K|k separabel ist die erweiterung galoissch und x
> [mm]\to x^p[/mm] die galoisgruppe erzeugt..
Nein, das stimmt nicht. Erstens haelt $x [mm] \mapsto x^p$ [/mm] im allg. nicht $k$ fest. Und zweitens ist $K|k$ genau dann galoissch, wenn $k$ die $n$-ten Einheitswurzeln enthaelt.
> aber ich sehe nicht wie
> ich p teilt nicht n unterbringen soll?
> danke für die hilfe!
Das Minimalpolynom von [mm] $\alpha$ [/mm] ueber $k$ ist ein Teiler von [mm] $X^n [/mm] - [mm] \alpha^n \in [/mm] k[X]$. Die Erweiterung $K|k$ ist genau dann separabel, wenn das Minimalpolynom quadratfrei ist.
Sei $L$ ein Zerfaellungskoerper von [mm] $X^n [/mm] - [mm] \beta$ [/mm] mit [mm] $\beta [/mm] := [mm] \alpha^n$ [/mm] ueber $K$. Angenommen $p [mm] \mid [/mm] n$. Zeige, dass [mm] $X^n [/mm] - [mm] \beta$ [/mm] dann nur (mind.) $p$-fache Nullstellen hat.
(Genauer: sei [mm] $p^k$ [/mm] die hoechste Potenz von $p$ mit [mm] $p^k \mid [/mm] n$. Dann hat [mm] $X^n [/mm] - [mm] \beta$ [/mm] genau [mm] $\frac{n}{p^k}$ [/mm] Nullstellen, die alle die Vielfachheit [mm] $p^k$ [/mm] haben. Du kannst die sogar explizit hinschreiben, falls du dir eine [mm] $\frac{n}{p^k}$-te [/mm] Einheitswurzel nimmst. Eine solche muss es in $L$ geben.)
Hierueber kannst du jetzt vielleicht eine Aussage ueber das Minimalpolynom von [mm] $\alpha$ [/mm] ueber $k$ machen.
LG Felix
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