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| Aufgabe | (a) Bestimmen Sie [mm] [\IQ(\wurzel{5}+\wurzel{7}):\IQ]
[/mm]
(b) Folgern Sie aus (a): Das Polynom [mm] x^4-24x²+4 [/mm] ist irreduzibel in [mm] \IQ[x] [/mm] |
Guten Abend zusammen.
Ich wollte das Minimalpolynom m(x) zu [mm] a=\wurzel{5}+\wurzel{7} [/mm] bestimmen, weil ja dann gilt [mm] [\IQ(\wurzel{5}+\wurzel{7}):\IQ]=grad(m(x))
[/mm]
Also:
[mm] a^2=12+ \wurzel{140} \Rightarrow (a^2-12)^2-140=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] a ist Nullstelle von [mm] f(x)=x^4-24x^2+4 [/mm]
Aber ist das jetzt automatisch das Minimalpolynom? Zufälligerweise ist es ja das Polynom aus (b). Wenn es das Minimalpolynom ist, muss es ja irreduzibel sein, aber das soll ich ja erst in (b) folgern. Versucht habe ich das auch schon, Eisenstein funktioniert nicht, auch nicht wenn ich substituiere. Und auf Koeffizientenvergleich habe ich absolut keine Lust.
Sollte ich vielleicht anders ran gehen? Vielleicht einen Zwischenkörper finden und dann mit der Gradformel (a) lösen?
Grüße, kulli
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:05 Sa 01.12.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
wie du ja schon festgestellt hast sollst du b) mit a) zeigen und nicht umgekehrt. Das angegebene $a$ ist hier ein primitives Element einer Körpererweiterung vom Grad 4. Bevor du aber mit dem Minimalpolynom anfängst, müsstest du erstmal zeigen das [mm] $\IQ(\sqrt{5}+\sqrt{7})|\IQ$ [/mm] überhaupt eine Körperweiterung ist. Also das schonmal [mm] [\IQ(\sqrt{5}+\sqrt{7}):\IQ] [/mm] > 1 gilt.
Ich würde zeigen, dass [mm] $\IQ(\sqrt{5},\sqrt{7}) [/mm] = [mm] \IQ(\sqrt{5}+\sqrt{7})$ [/mm] gilt und dann damit entsprechend erstmal den Index ausrechnen.
Dann hast du ohne das Polynom aus b) zu benutzen a) gezeigt. Dann folgt aus a) eigentlich sofort b).
Grüße
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> Hallo,
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> wie du ja schon festgestellt hast sollst du b) mit a)
> zeigen und nicht umgekehrt. Das angegebene [mm]a[/mm] ist hier ein
> primitives Element einer Körpererweiterung vom Grad 4.
> Bevor du aber mit dem Minimalpolynom anfängst, müsstest
> du erstmal zeigen das [mm]\IQ(\sqrt{5}+\sqrt{7})|\IQ[/mm] überhaupt
> eine Körperweiterung ist. Also das schonmal
> [mm][\IQ(\sqrt{5}+\sqrt{7}):\IQ][/mm] > 1 gilt.
>
> Ich würde zeigen, dass [mm]\IQ(\sqrt{5},\sqrt{7}) = \IQ(\sqrt{5}+\sqrt{7})[/mm]
Ja das habe ich auch gemacht. Fälschlicherweise habe ich aber daraus nur Index kleiner gleich 4 gefolgert. Richtig ist natürlich 4, wenn ich das nochmal überdenke.
> gilt und dann damit entsprechend erstmal den Index
> ausrechnen.
>
> Dann hast du ohne das Polynom aus b) zu benutzen a)
> gezeigt. Dann folgt aus a) eigentlich sofort b).
Und wieso folgt das sofort? Ich kenne dann den Grad des Minimalpolynoms (nämlich 4). Aber wieso sollte es genau das sein, welches ich oben konstruiert habe? Das würde ja bedeuten, dass ich generell immer das Minimalpolynom zu einem algebraischen Element berechnen kann, wenn ich nur den Grad kenne. Und ich müsste nicht mehr die Irreduzibilität nachweisen?! Das wäre natürlich ein Segen!
Grüße, kulli
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:48 Sa 01.12.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
ja so direkt folgt es nicht, da hast du recht. Hatte leider was falsches im Kopf, hab gerade nochmal nachgeschaut. Also musst du die irreduzibilität zeigen.
Du kannst nachweisen, dass das [mm] \mu [/mm] keine einfachen Nullstellen in [mm] \IZ [/mm] hat, indem du die Teiler von 4 betrachtest und in [mm] \mu [/mm] einsetzt. ( kennst du diesen Satz?) Dann musst du mit Koeffizientenvergleich noch ausschließen, dass [mm] \mu [/mm] Produkt zweier quadratischer irreduzibler Polynome ist. (Koeffizientenreduktion modulo 3 hast du schon ausprobiert?) Und dann Gauß..
Grüße
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> Hallo,
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> ja so direkt folgt es nicht, da hast du recht. Hatte leider
> was falsches im Kopf, hab gerade nochmal nachgeschaut. Also
> musst du die irreduzibilität zeigen.
>
> Du kannst nachweisen, dass das [mm]\mu[/mm] keine einfachen
> Nullstellen in [mm]\IZ[/mm] hat, indem du die Teiler von 4
> betrachtest und in [mm]\mu[/mm] einsetzt. ( kennst du diesen Satz?)
leider nein
> Dann musst du mit Koeffizientenvergleich noch
> ausschließen, dass [mm]\mu[/mm] Produkt zweier quadratischer
> irreduzibler Polynome ist. (Koeffizientenreduktion modulo 3
> hast du schon ausprobiert?)
ja habe ich, aber den Koeffizientenvergleich habe ich noch nicht bis zum Ende gemacht. Würg..
Und dann Gauß..
>
> Grüße
Na gut, ich danke dir!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:07 Sa 01.12.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > ja so direkt folgt es nicht, da hast du recht. Hatte leider
> > was falsches im Kopf, hab gerade nochmal nachgeschaut. Also
> > musst du die irreduzibilität zeigen.
> >
> > Du kannst nachweisen, dass das [mm]\mu[/mm] keine einfachen
> > Nullstellen in [mm]\IZ[/mm] hat, indem du die Teiler von 4
> > betrachtest und in [mm]\mu[/mm] einsetzt. ( kennst du diesen Satz?)
>
> leider nein
Der ist ganz einfach und auch leicht zu beweisen.
Sei $f = [mm] a_0 [/mm] + a_1X + ... + [mm] anX^n \in \IZ[X]$ [/mm] mit [mm] $a_n \neq [/mm] 0$. Ist [mm] \frac{p}{q} [/mm] eine rationale Nullstelle von f mit $p,q [mm] \in \IZ$ [/mm] und $ggT(p,q)=1$, so gilt $q | [mm] a_n$ [/mm] und $p | [mm] a_0$.
[/mm]
>
> > Dann musst du mit Koeffizientenvergleich noch
> > ausschließen, dass [mm]\mu[/mm] Produkt zweier quadratischer
> > irreduzibler Polynome ist. (Koeffizientenreduktion modulo 3
> > hast du schon ausprobiert?)
> ja habe ich, aber den Koeffizientenvergleich habe ich noch
> nicht bis zum Ende gemacht. Würg..
So schlimm ist das auch nicht 
> Und dann Gauß..
> >
> > Grüße
>
> Na gut, ich danke dir!
Grüße
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moin,
> Das würde ja bedeuten, dass ich generell immer das Minimalpolynom zu
> einem algebraischen Element berechnen kann, wenn ich nur
> den Grad kenne. Und ich müsste nicht mehr die
> Irreduzibilität nachweisen?! Das wäre natürlich ein
> Segen!
Ja, tatsächlich gilt das und ist eine der schönen Dinge, die man beim Bearbeiten dieser Aufgabe bemerken kann.
Bei Körpererweiterungen hat das Minimalpolynom die freundliche Eigenschaft eindeutig zu sein, oder genauer:
Ist $L|K$ eine Körpererweiterung und [mm] $\alpha \in [/mm] L$ algebraisch über $K$, so bezeichnet [mm] $\mu_{\alpha} \in [/mm] K[x]$ das eindeutige irreduzible, normierte Polynom mit [mm] $\mu_\alpha(\alpha) [/mm] = 0$.
Alternativ kann auch folgende Erkenntnis sehr nützlich sein:
Ist $L|K$ eine Körpererweiterung, [mm] $\alpha \in [/mm] L$ und $f [mm] \in [/mm] K[x]$ mit [mm] $f(\alpha) [/mm] = 0$ so ist $f$ ein Vielfaches vom Minimalpolynom [mm] $\mu_\alpha$, [/mm] soll heißen [mm] $\mu_\alpha \mid [/mm] f$.
Nun hast du hier ein Polynom vom Grad 4, das Vielfaches deines Minimalpolynoms ist.
Überdies weißt du auch, dass dein Minimalpolynom ebenfalls Grad 4 hat.
Somit müssen die beiden bereits assoziiert sein und damit (da beide normiert) bereits gleich.
Also langer Rede kurzer Sinn:
Ja, allein dadurch, dass du den Grad kennst, kannst du manchmal (wie in diesem Fall) das Minimalpolynom bestimmen.
Es mag nicht die schönste Art sein, aber es ist in seltenen Fällen eine Möglichkeit, Irreduziblität eines Polynoms zu zeigen.
lg
Schadow
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Sehr schön, genau diese Argumentation habe ich auch bei b verwendet.
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