Körpererweiterung, Grad < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:01 Mi 29.03.2006 | | Autor: | Imkeje |
| Aufgabe | | Bestimme [ [mm] \IQ( \wurzel[2]{2}, \wurzel[2]{3}):\IQ]
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Hallo zusammen!
Also mir ist klar, dass ich hier den Gradsatz verwenden muss, also:
[ [mm] \IQ( \wurzel[2]{2}, \wurzel[2]{3}):\IQ]=[ \IQ( \wurzel[2]{2}, \wurzel[2]{3}):\IQ( \wurzel[2]{2} ][\IQ( \wurzel[2]{2}):\IQ]
[/mm]
Es ist [mm] [\IQ( \wurzel[2]{2}):\IQ]= [/mm] 2 .
Bleibt also noch [ [mm] \IQ( \wurzel[2]{2}, \wurzel[2]{3}):\IQ( \wurzel[2]{2}) [/mm] ]zubestimmen.
Ich könnte das Minimalpolynom bestimmen,dessen grad dann gleich [ [mm] \IQ( \wurzel[2]{2}, \wurzel[2]{3}):\IQ( \wurzel[2]{2}) [/mm] ] wäre, oder?
Aber wie finde ich das Minimalpolynom???
Ich verstehe nicht so ganz wie ich an diese Aufgabe rangehen gehen soll?
Kann mir jemand helfen?
Imke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:48 Mi 29.03.2006 | | Autor: | statler |
> Bestimme [ [mm]\IQ( \wurzel[2]{2}, \wurzel[2]{3}):\IQ]
Hallo Imke und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
>
> Hallo zusammen!
> Also mir ist klar, dass ich hier den Gradsatz verwenden
> muss, also:
> [ [mm]\IQ( \wurzel[2]{2}, \wurzel[2]{3}):\IQ]=[ \IQ( \wurzel[2]{2}, \wurzel[2]{3}):\IQ( \wurzel[2]{2} ][\IQ( \wurzel[2]{2}):\IQ][/mm]
>
Das ist doch schon mal was.
> Es ist [mm][\IQ( \wurzel[2]{2}):\IQ]=[/mm] 2 .
> Bleibt also noch [ [mm]\IQ( \wurzel[2]{2}, \wurzel[2]{3}):\IQ( \wurzel[2]{2})[/mm]
> ]zubestimmen.
> Ich könnte das Minimalpolynom bestimmen,dessen grad dann
> gleich [ [mm]\IQ( \wurzel[2]{2}, \wurzel[2]{3}):\IQ( \wurzel[2]{2})[/mm]
> ] wäre, oder?
> Aber wie finde ich das Minimalpolynom???
Du kennst doch ein Polynom über [mm] \IQ, [/mm] das [mm] \wurzel[2]{3} [/mm] als Nullstelle hat. Also kennst du auch das MP (= Minimalpolynom). Dieses Polynom hat Koeffizienten in [mm] \IQ, [/mm] also auch in [mm] \IQ(\wurzel[2]{2}). [/mm] Das zugehörige MP über diesem Körper muß also ein Teiler davon sein. Geht das? Dann müßten beide Faktoren linear sein ...
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:55 Do 30.03.2006 | | Autor: | Imkeje |
Hallo Dieter, vielen Dank ersteinmal!
Dann wäre also , dass MP von ( [mm] \IQ( \wurzel[2]{2}, \wurzel[2]{3}), \IQ( \wurzel[2]{2}): x^{2}-3, [/mm] x [mm] \in \IQ(\wurzel[2]{2}) [/mm]
Also folglich ist dann [mm] [\IQ( \wurzel[2]{2}, \wurzel[2]{3}):\IQ]= [/mm] 2*2=4
Kann ich das auch ohne das Minimalpolynom bestimmen?
VG Imke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:08 Do 30.03.2006 | | Autor: | cycilia |
In der Regel bestimmt man den Grad einerKörpererweiterung wirklich über den Grad des minimalpoynoms. Eine andere Möglichkeit ist mir nicht bekannt. Aber es gibt Vefahren, um Minimalpolynome bestimmter Elemente zu bestimmen. Mit Hilfe dieser Verfahren lässt sich dementsprechend auch der Grad oft berechnen.
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