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Körpererweiterung, Nullstelle: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:46 Sa 08.10.2016
Autor: impliziteFunktion

Aufgabe
Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung:

a) Es sei $[L:K]=p$ eine Primzahl. Man zeige, dass es ein [mm] $\alpha\in [/mm] L$ gibt, sodass [mm] $L=K(\alpha)$ [/mm]

b) Es sei [mm] $k\in\mathbb{N}$ [/mm] und [mm] $[L:K]=2^k$. [/mm] Zudem sei [mm] $f\in [/mm] K[X]$ ein Polynom vom Grad 3 und [mm] $\alpha\in [/mm] L$ eine Nullstelle von $f$. Man zeige, dass $f$ eine Nullstelle in $K$ besitzt.

Hallo,

ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
Erstmal nur die a)

Es ist [mm] $K\subseteq K(\alpha)\subseteq [/mm] L$.

Also ist [mm] $[L:K]=[L:K(\alpha)]\cdot[K(\alpha):K]=p$. [/mm]

Dann ist [mm] $[L:K(\alpha)]\in\{1,p\}$ [/mm] und [mm] $[K(\alpha):K]\in\{1,p\}$ [/mm]

Wenn [mm] $\alpha\in [/mm] K$, dann ist [mm] $[K(\alpha):K]=1$, [/mm] denn das Minimalpolynom hätte Grad 1.
Wenn [mm] $\alpha\in [/mm] L-K$, dann ist [mm] $[K(\alpha):K]=p$ [/mm] und somit [mm] $[L:K(\alpha)]=1$, [/mm] also [mm] $L=K(\alpha)$. [/mm]

Ich bin mir nicht sicher, ob aus [mm] $[L:K(\alpha)]=1$ [/mm] bereits [mm] $L=K(\alpha)$ [/mm] folgt.
Naja, das Minimalpolynom von [mm] $\alpha$ [/mm] sieht dann so aus: [mm] $X-\alpha$ [/mm]


Vielen Dank im voraus.

        
Bezug
Körpererweiterung, Nullstelle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:09 So 09.10.2016
Autor: hippias


> Es sei [mm]L/K[/mm] eine Körpererweiterung:
>  
> a) Es sei [mm][L:K]=p[/mm] eine Primzahl. Man zeige, dass es ein
> [mm]\alpha\in L[/mm] gibt, sodass [mm]L=K(\alpha)[/mm]
>  
> b) Es sei [mm]k\in\mathbb{N}[/mm] und [mm][L:K]=2^k[/mm]. Zudem sei [mm]f\in K[X][/mm]
> ein Polynom vom Grad 3 und [mm]\alpha\in L[/mm] eine Nullstelle von
> [mm]f[/mm]. Man zeige, dass [mm]f[/mm] eine Nullstelle in [mm]K[/mm] besitzt.
>  Hallo,
>  
> ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
> Erstmal nur die a)
>  
> Es ist [mm]K\subseteq K(\alpha)\subseteq L[/mm].
>  
> Also ist [mm][L:K]=[L:K(\alpha)]\cdot[K(\alpha):K]=p[/mm].
>  
> Dann ist [mm][L:K(\alpha)]\in\{1,p\}[/mm] und
> [mm][K(\alpha):K]\in\{1,p\}[/mm]
>  
> Wenn [mm]\alpha\in K[/mm], dann ist [mm][K(\alpha):K]=1[/mm], denn das
> Minimalpolynom hätte Grad 1.
>  Wenn [mm]\alpha\in L-K[/mm], dann ist [mm][K(\alpha):K]=p[/mm] und somit
> [mm][L:K(\alpha)]=1[/mm], also [mm]L=K(\alpha)[/mm].

Eine Frage zwischendurch: warum gibt es ein [mm] $\alpha\in [/mm] L-K$?

>  
> Ich bin mir nicht sicher, ob aus [mm][L:K(\alpha)]=1[/mm] bereits
> [mm]L=K(\alpha)[/mm] folgt.

Ja, aus [mm] $[L:K(\alpha)]=1$ [/mm] folgt $ [mm] L=K(\alpha)$. [/mm]

> Naja, das Minimalpolynom von [mm]\alpha[/mm] sieht dann so aus:
> [mm]X-\alpha[/mm]
>  
>
> Vielen Dank im voraus.


Bezug
                
Bezug
Körpererweiterung, Nullstelle: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:47 So 09.10.2016
Autor: impliziteFunktion


> Eine Frage zwischendurch: warum gibt es ein $ [mm] \alpha\in [/mm] L-K $?

Wenn [mm] $\alpha\in [/mm] L$, und [mm] $\alpha\notin [/mm] K$, dann muss [mm] $\alpha\in [/mm] L-K$ sein.
Oder etwa nicht?

> Ja, aus $ [mm] [L:K(\alpha)]=1 [/mm] $ folgt $ [mm] L=K(\alpha) [/mm] $.

Wie kann man das begründen?
Da [mm] $[L:K(\alpha)]=1$ [/mm] ist die Dimension [mm] $dim_{K(\alpha)}(L)=1$, [/mm] man benötigt die Basis von $L$ stimmt also mit der Basis von $K$ überein, wodurch auch die Körper gleich sind?

Bezug
                        
Bezug
Körpererweiterung, Nullstelle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:31 So 09.10.2016
Autor: felixf

Moin!

> > Eine Frage zwischendurch: warum gibt es ein [mm]\alpha\in L-K [/mm]?
>
> Wenn [mm]\alpha\in L[/mm], und [mm]\alpha\notin K[/mm], dann muss [mm]\alpha\in L-K[/mm]
> sein.
>  Oder etwa nicht?
>  
> > Ja, aus [mm][L:K(\alpha)]=1[/mm] folgt [mm]L=K(\alpha) [/mm].
>  
> Wie kann man das begründen?
>  Da [mm][L:K(\alpha)]=1[/mm] ist die Dimension [mm]dim_{K(\alpha)}(L)=1[/mm],

Soweit ist's ok.

> man benötigt die Basis von [mm]L[/mm] stimmt also mit der Basis von
> [mm]K[/mm] überein,

Das ist kein deutscher Satz, und ich weiss nicht genau was du gemeint hast.

Schau dir mal eine [mm] $K(\alpha)$-Basis [/mm] von [mm] $K(\alpha)$ [/mm] an. Du kannst sicher direkt eine hinschreiben. Da [mm] $K(\alpha)$ [/mm] ein [mm] $K(\alpha)$-Untervektorraum [/mm] von $L$ ist kann man diese [mm] $K(\alpha)$-Basis [/mm] von [mm] $K(\alpha)$ [/mm] zu einer [mm] $K(\alpha)$-Basis [/mm] von $L$ fortsetzen. Wegen der Dimension wissen wir, dass man sie durch keinen einzigen Vektor fortsetzen muss -- die Basis, die du hingeschrieben hast, ist also bereits eine [mm] $K(\alpha)$-Basis [/mm] von $L$. Damit muss [mm] $K(\alpha) [/mm] = L$ sein.

> wodurch auch die Körper gleich sind?

LG Felix


Bezug
                                
Bezug
Körpererweiterung, Nullstelle: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:53 So 09.10.2016
Autor: impliziteFunktion

Ja, der Satz ist mir ziemlich misslungen und habe ihn nicht noch mal Korrektur gelesen.

Schreiben wollte ich etwas in der Art, dass wegen $[L:K]=1$ man die Basis von $K$ nicht erweitern muss.

> Schau dir mal eine $ [mm] K(\alpha) [/mm] $-Basis von $ [mm] K(\alpha) [/mm] $ an. Du kannst sicher direkt eine hinschreiben.

Nein, leider nicht.


Bezug
                                        
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Körpererweiterung, Nullstelle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:04 Di 11.10.2016
Autor: tobit09

Hallo impliziteFunktion!


> > Schau dir mal eine [mm]K(\alpha) [/mm]-Basis von [mm]K(\alpha)[/mm] an. Du
> kannst sicher direkt eine hinschreiben.
>  
> Nein, leider nicht.

Sei [mm] $M:=K(\alpha)$. [/mm]
(Für die folgenden Überlegungen ist nur wichtig, dass $M$ irgendein Körper ist.)

Gesucht ist eine Basis von M als M-Vektorraum.
Welche Vektoren dieses Vektorraumes M kennen wir denn?
Mir fallen spontan zwei ein: Die 0 des Körpers M und die 1 des Körpers M.
Die möglicherweise vorhandenen weiteren Vektoren dieses Vektorraumes hängen von der Gestalt von M ab.
Vielleicht können wir ja schon mithilfe der beiden Vektoren 0 und 1 eine Basis basteln...
Wobei der Nullvektor 0 denkbar ungeeignet als ein Basisvektor ist, denn Systeme, die den Nullvektor enthalten, sind bekanntlich linear abhängig.
Vielleicht bildet ja das (1), das nur aus dem Vektor 1 besteht schon eine Basis des M-Vektorraumes M.
Tatsächlich lässt sich jeder Vektor [mm] $v\in [/mm] M$ eindeutig als Linearkombination dieses Systems schreiben, denn zu jedem Vektor [mm] $v\in [/mm] M$ existiert genau ein Skalar [mm] $\lambda\in [/mm] M$ mit [mm] $\lambda*1=v$, [/mm] nämlich [mm] $\lambda=v$. [/mm]

(Eine alternative Herangehensweise ist diese: $M$ als $M$-Vektorraum ist kanonisch isomorph zum Vektorraum [mm] $M^1$ [/mm] als Spezialfall der wohlbekannten Vektorräume der Form [mm] $M^n$ [/mm] mit [mm] $n\in\IN$. [/mm] Die Standardbasis von [mm] $M^1$ [/mm] entspricht unter diesem kanonischen Isomorphismus gerade dem System (1) nur bestehend aus der 1 des Körpers M. Also bildet dieses System eine Basis von $M$ als $M$-Vektorraum.)


(Allgemeiner bildet für jedes Körperelement [mm] $0\not=m\in [/mm] M$ das System (m) nur bestehend aus dem Vektor $m$ eine Basis von $M$ als $M$-Vektorraum.)


Viele Grüße
Tobias

Bezug
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