Körpererweiterung, Primzahl < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:07 So 24.01.2016 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Es sei p eine Primzahl und L/K eine Körpererweiterung mit [L:K]=p. Beweisen Sie, dass L=K(a) für a [mm] \in L\setminus [/mm] K. |
Hallo,
Ich habe heute erst begonnen mich bezüglich Körpererweiterung einzulesen und bin erst ganz am Anfang bezüglich des Themas!
K(a) ist definiert als der kleinste Zwischenkörper von L/K der a enthält. K(A) [mm] \subseteq [/mm] L ist also trivial.
Für jeden Zwischenkörper M der Körpererweiterung L/K gilt:
p=[L:K]=[L:M][M:K]
[mm] \rightarrow [/mm] ([L:M]=1 [mm] \wedge [/mm] [M:K]=p) [mm] \vee [/mm] ([L:M]=p [mm] \wedge [/mm] [M:K]=1)
Was bedeutet es nun z.B. wenn die Dimension von L als M-Vektorraum 1 ist? Was kann ich daraus schließen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:26 So 24.01.2016 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es sei p eine Primzahl und L/K eine Körpererweiterung mit
> [L:K]=p. Beweisen Sie, dass L=K(a) für a [mm]\in L\setminus[/mm]
> K.
> Hallo,
> Ich habe heute erst begonnen mich bezüglich
> Körpererweiterung einzulesen und bin erst ganz am Anfang
> bezüglich des Themas!
>
> K(a) ist definiert als der kleinste Zwischenkörper von L/K
> der a enthält. K(A) [mm]\subseteq[/mm] L ist also trivial.
> Für jeden Zwischenkörper M der Körpererweiterung L/K
> gilt:
> p=[L:K]=[L:M][M:K]
> [mm]\rightarrow[/mm] ([L:M]=1 [mm]\wedge[/mm] [M:K]=p) [mm]\vee[/mm] ([L:M]=p [mm]\wedge[/mm]
> [M:K]=1)
>
> Was bedeutet es nun z.B. wenn die Dimension von L als
> M-Vektorraum 1 ist? Was kann ich daraus schließen?
Da $M$ in $L$ liegt, ist dann $L = M$ (da $1 [mm] \in [/mm] L$ eine $M$-Basis von $L$ ist).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 So 24.01.2016 | | Autor: | sissile |
Wahrscheinlich eine ziemlich triviale Frage, aber woher weiß du, dass 1 immer eine Basis ist?
Also mir gehts konkret um die Frage wie man aus [L:M]=1 [mm] \Rightarrow [/mm] L=M schließt.
[mm] M\subseteq [/mm] L gilt laut Voraussetzung. Wenn 1 eine Basis von L als M-Vektorraum ist: [mm] \forall [/mm] l [mm] \in [/mm] L: l=1*m mit m [mm] \in [/mm] M [mm] \Rightarrow [/mm] l [mm] \in [/mm] M.
Aber warum ist 1 eine Basis von L als M-Vektorraum?Nach [L:M]=1 wissen wir doch nur, dass jede Basis von L als M-Vektorraum die Mächtigkeit 1 hat.
LG,
Sissi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:11 So 24.01.2016 | | Autor: | felixf |
Moin Sissi!
> Wahrscheinlich eine ziemlich triviale Frage, aber woher
> weiß du, dass 1 immer eine Basis ist?
Wenn du einen $n$-dimensionalen $K$-Vektorraum $V$ hast und $n$ linear unabhängige Elemente, dann sind diese immer eine Basis.
Da $1$ linear unabhängig ist (da es nicht 0 ist, jedes Element ungleich 0 tut es) und der Vektorraum eindimensional ist, muss 1 also eine Basis sein.
LG Felix
> Also mir gehts konkret um die Frage wie man aus [L:M]=1
> [mm]\Rightarrow[/mm] L=M schließt.
> [mm]M\subseteq[/mm] L gilt laut Voraussetzung. Wenn 1 eine Basis
> von L als M-Vektorraum ist: [mm]\forall[/mm] l [mm]\in[/mm] L: l=1*m mit m
> [mm]\in[/mm] M [mm]\Rightarrow[/mm] l [mm]\in[/mm] M.
> Aber warum ist 1 eine Basis von L als M-Vektorraum?Nach
> [L:M]=1 wissen wir doch nur, dass jede Basis von L als
> M-Vektorraum die Mächtigkeit 1 hat.
>
> LG,
> Sissi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 So 24.01.2016 | | Autor: | sissile |
Ah na klar...
1.Fall: [L:M]=1 [mm] \wedge [/mm] [M:K]=p
Es folgt L=M. (Erklärungen wie in deinen Post)
2.Fall [L:M]=p [mm] \wedge [/mm] [M:K]=1
Es folgt M=K.(Erklärungen wie in deinen Post)
Dies gilt für jeden Zwischenkörper M der Körpererweiterung L/K.
Insbesondere für K(a).
Da K(a), das Element a [mm] \in L\setminus [/mm] K enthält kann K(a) nicht gleich K sein. Daher folgt K(a)=L
Ist das so in Ordnung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 So 24.01.2016 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ah na klar...
>
> 1.Fall: [L:M]=1 [mm]\wedge[/mm] [M:K]=p
> Es folgt L=M. (Erklärungen wie in deinen Post)
> 2.Fall [L:M]=p [mm]\wedge[/mm] [M:K]=1
> Es folgt M=K.(Erklärungen wie in deinen Post)
>
> Dies gilt für jeden Zwischenkörper M der
> Körpererweiterung L/K.
> Insbesondere für K(a).
> Da K(a), das Element a [mm]\in L\setminus[/mm] K enthält kann K(a)
> nicht gleich K sein. Daher folgt K(a)=L
Genau :)
>
> Ist das so in Ordnung?
Ja, ist es!
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:43 Di 26.01.2016 | | Autor: | sissile |
Danke**
LG
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