Körpererweiterungen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:23 Fr 11.06.2010 | | Autor: | icarus89 |
| Aufgabe | Sei [mm] \IK/k [/mm] eine endliche Körpererweiterung und sei [mm] \IF/f [/mm] eine transzendete Körpererweiterung.
z.z.:
a) Es existiert eine (bis auf Isomorphie) eindeutig bestimmte endliche Körpererweiterung [mm] \IL/\IK, [/mm] sodass [mm] \IL [/mm] minimal ist derart, dass [mm] \IL/k [/mm] normal ist.
b) Für [mm] x\in\IF [/mm] transzendent über f und [mm] n\in\IN [/mm] ist auch [mm] x^{n} [/mm] transzendent über f, ferner gilt, dass der Körper f(x) als [mm] f(x^{n}) [/mm] Vektorraum die Dimension n hat. |
Haidiho!
Bei a) hab ich noch nicht so wirklich ne Idee... Man muss irgendwie ja zeigen, dass es genau einen Oberkörper von [mm] \IK [/mm] als endlich erzeugtem und minimalen [mm] \IK-VR [/mm] gibt, von dem jedes Minimalpolynom in Linearfaktoren zerfällt...
Bei b): Der erste Teil ist ja einfach, wenn man mit dem zweiten Teil arbeitet. Der zweite kann doch auch nicht so schwer sein...
Der Grad einer Körpererweiterung entspricht dem Grad des Minimalpolynoms, das heißt es ist lediglich zu zeigen, dass [mm] X^{n}-x^{n} [/mm] irreduzibel über [mm] f(x^{n}) [/mm] ist...
Doch wie stelle ich das an?
Grüße
icarus89
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:25 Fr 11.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]\IK/k[/mm] eine endliche Körpererweiterung und sei [mm]\IF/f[/mm]
> eine transzendete Körpererweiterung.
>
> z.z.:
>
> a) Es existiert eine (bis auf Isomorphie) eindeutig
> bestimmte endliche Körpererweiterung [mm]\IL/\IK,[/mm] sodass [mm]\IL[/mm]
> minimal ist derart, dass [mm]\IL/k[/mm] normal ist.
>
> b) Für [mm]x\in\IF[/mm] transzendent über f und [mm]n\in\IN[/mm] ist auch
> [mm]x^{n}[/mm] transzendent über f, ferner gilt, dass der Körper
> f(x) als [mm]f(x^{n})[/mm] Vektorraum die Dimension n hat.
> Haidiho!
>
> Bei a) hab ich noch nicht so wirklich ne Idee... Man muss
> irgendwie ja zeigen, dass es genau einen Oberkörper von
> [mm]\IK[/mm] als endlich erzeugtem und minimalen [mm]\IK-VR[/mm] gibt, von
> dem jedes Minimalpolynom in Linearfaktoren zerfällt...
Hattet ihr schon, dass endliche normale Erweiterungen gerade Zerfaellungskoerper sind? Dann nimm doch [mm] $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ [/mm] mit [mm] $\mathbb{K} [/mm] = [mm] k(\alpha_1, \dots, \alpha_n)$, [/mm] Minimalpolynome [mm] $g_1, \dots, g_n \in [/mm] k[X]$ von [mm] $\alpha_1, \dots, \alpha_n$, [/mm] und setze $g := [mm] g_1 \cdots g_n$. [/mm] Waehle [mm] $\mathbb{L}$ [/mm] als einen Zerfaellungskoerper von $g$ ueber [mm] $\mathbb{K}$. [/mm] Zeige, dass dieser Koerper die geforderten Eigenschaften besitzt.
> Bei b): Der erste Teil ist ja einfach, wenn man mit dem
> zweiten Teil arbeitet. Der zweite kann doch auch nicht so
> schwer sein...
Ist er auch nicht.
> Der Grad einer Körpererweiterung entspricht dem Grad des
> Minimalpolynoms, das heißt es ist lediglich zu zeigen,
> dass [mm]X^{n}-x^{n}[/mm] irreduzibel über [mm]f(x^{n})[/mm] ist...
> Doch wie stelle ich das an?
Angenommen, es ist nicht irreduzibel. Dann gibt es ein Polynom $g [mm] \in f(x^n)[X]$ [/mm] mit $g [mm] \neq [/mm] 0$, [mm] $\deg [/mm] g < n$, welches [mm] $X^n [/mm] - [mm] x^n$ [/mm] teilt, fuer welches $g(x) = 0$ gilt. Ohne Einschraenkung kannst du $g [mm] \in f[x^n, [/mm] X]$ annehmen (warum?). Schreibe $g = [mm] \sum_{i=0}^{n-1} a_i X^i$ [/mm] mit [mm] $a_i [/mm] = [mm] \sum_{j=0}^\infty a_{ij} x^{n j}$; [/mm] dann ist $g(x) = [mm] \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=0}^\infty a_{ij} x^{n j + i}$. [/mm] Wann ist $n j + i = n j' + i'$ mit $i, j, i', j' [mm] \in \IN$, [/mm] $i, i' < n$? Was kannst du daraus folgern?
LG Felix
|
|
|
|
