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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:09 Mo 07.01.2008 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | a) Gibt es einen Körper K mit unendlich vielen Elementen der einen Körperhomomorphismus K [mm] \to \IF_{7} [/mm] = [mm] \IZ/7\IZ [/mm] zulässt ?
b) Sei K ein Körper mit 243 Elementen und L ein Körper mit 343 Elementen.
Gibt es einen Körperhomomorphismus K [mm] \to [/mm] L ? |
Hallo !
Stehe bei diesen Aufgaben total auf dem Schlauch. Hätte jemand Tipps / Lösungshinweise für mich ? Wir hatten Sylow-Sätze noch nicht in der Vorlesung.
VG
Fry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:31 Mo 07.01.2008 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> a) Gibt es einen Körper K mit unendlich vielen Elementen
> der einen Körperhomomorphismus K [mm]\to \IF_{7}[/mm] = [mm]\IZ/7\IZ[/mm]
> zulässt ?
>
> b) Sei K ein Körper mit 243 Elementen und L ein Körper mit
> 343 Elementen.
> Gibt es einen Körperhomomorphismus K [mm]\to[/mm] L ?
> Stehe bei diesen Aufgaben total auf dem Schlauch. Hätte
> jemand Tipps / Lösungshinweise für mich ? Wir hatten
> Sylow-Sätze noch nicht in der Vorlesung.
Die Sylow-Sätze spielen hier auch keine Rolle. Zu a) solltest du dir Gedanken machen, daß in Körper-Homom. immer auch ein Ring-Homom. ist. Was ist der Kern eines ring-Homom.? Und was folgt daraus bei Körpern?
Um b) zu attackieren, solltest du zusätzlich noch mal repetieren, was die Charakteristik ist.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:26 Mo 07.01.2008 | | Autor: | Fry |
Hallo,
danke erstmal für deine Hilfe :).
zu a) Also es gilt für einen Körperhomom. f ker f = {0} und damit ist jeder Körperhomom. injektiv. Momentan sehe ich noch nicht, wie mir das weiterhelfen könnte.
zu b) Charakteristik ist sozusagen die Ordnung der 1 bzg. Addition und stets Primzahl oder 0. Die Körper können schon mal auf jeden Fall existieren, da 243 = [mm] 3^{5} [/mm] und 343 = [mm] 7^{3} [/mm] ist, damit ist char K = 3 und char L = 7. Mmmm...
VG, Mahlzeit : )
Fry
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:45 Mo 07.01.2008 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> zu a) Also es gilt für einen Körperhomom. f ker f = {0}
> und damit ist jeder Körperhomom. injektiv. Momentan sehe
> ich noch nicht, wie mir das weiterhelfen könnte.
Aber [mm] \IZ/7\IZ [/mm] hat nur 7 Elemente!
> zu b) Charakteristik ist sozusagen die Ordnung der 1 bzg.
> Addition und stets Primzahl oder 0. Die Körper können schon
> mal auf jeden Fall existieren, da 243 = [mm]3^{5}[/mm] und 343 =
> [mm]7^{3}[/mm] ist, damit ist char K = 3 und char L = 7. Mmmm...
Ganz genau, und du weißt, daß die Abbildung injektiv ist. Wie verhält sich die Ordnung der 1 unter einer injektiven Abbildung?
Frohes Schaffen weiterhin
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 Mo 07.01.2008 | | Autor: | Fry |
Hallo,
ja, manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht. Klar, wenn die Mächtigkeit der Zielmenge kleiner als die der Definitionsmenge ist, kann die Abbildung nicht injektiv sein.
Zu b) Also unter Isomorphismen werden die Ordnung von Elementen übertragen. Ich weiß jetzt nicht, ob das auch für Monomorphismen gilt (bzw. wie man drauf kommt). Wenn das so wäre, dann hätten wir einen Widerspruch.
LG
Fry
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:12 Mo 07.01.2008 | | Autor: | statler |
> Hallo,
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> ja, manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht.
> Klar, wenn die Mächtigkeit der Zielmenge kleiner als die
> der Definitionsmenge ist, kann die Abbildung nicht injektiv
> sein.
>
> Zu b) Also unter Isomorphismen werden die Ordnung von
> Elementen übertragen. Ich weiß jetzt nicht, ob das auch für
> Monomorphismen gilt (bzw. wie man drauf kommt). Wenn das so
> wäre, dann hätten wir einen Widerspruch.
Zumindest ist doch das Bild von K ein zu K isomorpher Unterkörper K' von L und hat die gleiche Anzahl von Elementen wie K. Das kann schon mal nicht sein, weil die Unterkörper von L bekannt sind (Gradsatz!). Und da die 1 auf die 1 abgebildet wird, hätte sie im Unterkörper K' die Ordnung 3 und in L die Ordnung 7, was auch nicht so richtig geht.
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Mo 07.01.2008 | | Autor: | Fry |
Hi.
Vielen Dank nochmal für alles.
Aber woher weiß ich denn, dass das Bild unter K wieder ein Körper ist ?
VG
Fry
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 Mo 07.01.2008 | | Autor: | statler |
Hhallo!
> Aber woher weiß ich denn, dass das Bild unter K wieder ein
> Körper ist ?
Es ist bei Gruppen/Ringen/Moduln [mm] K/ker(\phi) \cong im(\phi).
[/mm]
Ciao
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Mo 07.01.2008 | | Autor: | Fry |
Und K/ker f = K / 0 = K ? Richtig ? Tut mir leid, bin etwas begriffsstutzig : )
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:16 Mo 07.01.2008 | | Autor: | SEcki |
> Und K/ker f = K / 0 = K ? Richtig ? Tut mir leid, bin
> etwas begriffsstutzig : )
Ja.
SEcki
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