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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:02 Di 12.02.2013 | | Autor: | Klerk91 |
| Aufgabe | Hallo: Ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe, deren Lösung mitgegeben ist. Leider verstehe ich nicht, was dort gemacht wurde:
Aufgabe 8.3. K := F3[x]/(x² + 1) und L := F3[y]/(y² + y − 1) sind beides Körper
mit 9 Elementen Wieviele Isomorphismen gibt es zwischen K und L?
(Tip: Benutzen Sie den Homomorphiesatz f¨ur Ringe, um Ringhomomorphismen K ! L oder L ! K zu konstruieren.)
Lösung: Die Gleichung ( a+b y)² +1 = 0 in L hat als L¨osung b= −a = ±1. Damit
sind die beiden einzigen Isomorphismen K !
L durch x |-> ±(1 − y) gegeben. |
was ist das für ein seltsamer ansatz der dort gemacht wird mit (a+by)² und wo geht dort der homomorphiesatz ein? blicke hier leider absolut nicht durch!
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moin,
Zuerst ein wenig Vorüberlegung:
Jedes Element aus $K$ lässt sich als endliche Summe von $1$ und $x$ schreiben.
Ist nun $f : K [mm] \to [/mm] L$ ein Körperisomorphismus, so muss insbesondere $f(1) = 1$ gelten.
Also ist $f$ bereits durch die Angabe von $f(x)$ eindeutig festgelegt.
Mach dir erst einmal klar, wieso $f(x)$ wirklich reicht, um $f$ eindeutig zu bestimmen und wieso nicht alle Elemente aus $L$ für $f(x)$ in Frage kommen.
Dann bedenke folgendes:
Sei $z [mm] \in [/mm] L$ mit $z=f(x)$. Da [mm] $x^2+1=0$ [/mm] gilt und da $f(0) = 0$ für den Isomorphismus $f$ gelten muss, folgt [mm] $0=f(0)=f(x^2+1) [/mm] = [mm] z^2+1$.
[/mm]
Für $z$ kommen also nur die Elemente in Frage, die [mm] $z^2+1=0$ [/mm] erfüllen.
Nun wissen wir weiter, dass die Elemente von $L$ alle die Form $a+by$ haben mit $a,b [mm] \in \IF_3$; [/mm] denn höhere Potenzen von $y$ können modulo [mm] $y^2+y-1$ [/mm] reduziert werden.
Nehmen wir also $z=a+by$ an und setzen dies in die Gleichung [mm] $z^2+1=0$ [/mm] ein, so erhalten wir die beiden angegebenen Lösungen.
Da $f$ wie bereits festgestellt durch $z=f(x)$ eindeutig bestimmt ist, gibt es also höchstens zwei Körperisomorphismen zwischen $K$ und $L$.
Dass nun beide Wahlen von $z$ wirklich solche Isomorphismen liefern, muss natürlich noch gezeigt oder durch geeignete Sätze aus Vorlesung etc. begründet werden.
Als Hinweis dazu: Es reicht die Homomorphismuseigenschaft und die Wohldefiniertheit (die ist der kompilziertere Teil^^) zu zeigen, die Bijektivität folgt dann direkt - Injektivität, weil $K$ ein Körper ist, Surjektivität, weil $|K|=9=|L|$.
Wenn du es alternativ lieber mit dem Homomorphiesatz machen möchtest:
Definiere dir die Abbildung $f : [mm] \IF_3[x] \to [/mm] L$ so, dass der Kern von $f$ gerade von [mm] $x^2+1$ [/mm] erzeugt wird und $f$ surjektiv ist.
Mit dem Homomorphiesatz folgt dann, dass [mm] $\overline{f} [/mm] : K [mm] \to [/mm] L$ ein Isomorphismus ist.
Die Argumentation und Überlegung ist aber die Selbe wie oben.
lg
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:39 Mi 13.02.2013 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Da [mm]f[/mm] wie bereits festgestellt durch [mm]z=f(x)[/mm] eindeutig
> bestimmt ist, gibt es also höchstens zwei
> Körperisomorphismen zwischen [mm]K[/mm] und [mm]L[/mm].
> Dass nun beide Wahlen von [mm]z[/mm] wirklich solche Isomorphismen
> liefern, muss natürlich noch gezeigt oder durch geeignete
> Sätze aus Vorlesung etc. begründet werden.
Genau dafuer kann man wunderbar den Homomorphiesatz verwenden (und tut es normalerweise auch), wie du es etwas weiter unten dann ausgefuehrt hast :)
LG Felix
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