Körperkonstruktion < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:44 So 01.07.2007 | | Autor: | biler |
Hallo Forumsmitglieder, Ich bin neu hier und hoffe, dass ich nichts falsch mache. Ich bin an Mathematikinteressierter Laie und habe einige Fragen, die sicher viele beantworten können.
Es geht darum: Kann in einem unendlichen Körper Folgendes gelten: e(m)*e(m)=e(a) Mit e(m) meine ich das neutrale Element der Addition, mit e(a) das neutrale Element der Addition. Wenn ja, gibt es einen bekannten Körper, der diese Bedingungen erfüllt.
Vielen Dank im Voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:01 So 01.07.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hallo Forumsmitglieder, Ich bin neu hier und hoffe, dass
> ich nichts falsch mache. Ich bin an
> Mathematikinteressierter Laie und habe einige Fragen, die
> sicher viele beantworten können.
Zuerst einmal: ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Es geht darum: Kann in einem unendlichen Körper Folgendes
> gelten: e(m)*e(m)=e(a) Mit e(m) meine ich das neutrale
> Element der Addition,
Du meinst hier wohl `neutrales Element der Multiplikation', oder? :)
> mit e(a) das neutrale Element der
> Addition. Wenn ja, gibt es einen bekannten Körper, der
> diese Bedingungen erfüllt.
Die Gleichung $e(m) * e(m) = e(a)$ kann in keinem Koerper gelten, da per Definition $(K [mm] \setminus \{ e(a) \}, \cdot)$ [/mm] eine Gruppe ist und $e(m) [mm] \neq [/mm] e(a)$ ist: da Gruppen bzgl. der Operation abgeschlossen ist, folgt aus $e(m) [mm] \in [/mm] K [mm] \setminus \{ e(a) \}$, [/mm] das $e(m) [mm] \cdot [/mm] e(m) [mm] \neq [/mm] e(a)$ ist.
Dies gilt fuer beliebige Koerper, also insbesondere auch fuer unendliche Koerper.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 So 01.07.2007 | | Autor: | biler |
Hallo felixf,
danke für die schnelle Antwort.
Leider sind mir trotz Mühe zwei Fehler unterlaufen: Du hast recht mit e(m) meine ich das neutrale Elment der Multiplikation und die korrigierte Gleichung lautet: e(m)+e(m) = e(a). Kann also e(m) bezüglich der Addition invers zu sich sein?
Noch einmal Danke für deine Mühe
biler
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:59 So 01.07.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo biler!
> danke für die schnelle Antwort.
> Leider sind mir trotz Mühe zwei Fehler unterlaufen: Du hast
> recht mit e(m) meine ich das neutrale Elment der
> Multiplikation und die korrigierte Gleichung lautet:
> e(m)+e(m) = e(a). Kann also e(m) bezüglich der Addition
> invers zu sich sein?
Ja, das kann passieren! Und zwar genau dann, wenn der Koerper von Charakteristik 2 ist.
Ein Beispiel: Ist $K$ der Koerper mit 2 Elementen, so nimm $L = K(x) = [mm] \{ \frac{f}{g} \mid f, g \in K[x], \; g \neq 0 \}$ [/mm] den Koerper der rationalen Funktionen mit Koeffizienten in $K$. (Wenn du $K[x]$ nicht kennst: das ist der Ring der Polynome in einer Unbestimmten mit Koeffizienten in $K$; und $K(x)$ ist der Quotientenkoerper von $K[x]$.)
Dieser Koerper $L$ hat unendlich viele Elemente und enthaelt als Teilkoerper $K$. Und da in $K$ die Gleichung $1 + 1 = 0$ gilt, gilt sie auch in $L$.
(Normalerweise schreibt man $0$ anstelle $e(a)$ und $1$ anstelle $e(m)$, ganz egal um welchen Koerper oder Ring es gerade geht.)
LG Felix
|
|
|
|
