Körpertheorie < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 Sa 17.06.2006 | | Autor: | Manuela |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle Zwischenkörper der Erweiterung [mm] \IQ (\wurzel[4]{5}) [/mm] von [mm] \IQ. [/mm] |
Ich habe den Grand der Körpererweiteung von [mm] \IQ (\wurzel[4]{5}) [/mm] über [mm] \IQ [/mm] bestimmt. Der Grand ist 4. Damit weiß ich, dass es noch Zwischenkörper geben kann deren Grad über [mm] \IQ [/mm] 2 ist. Ich habe weiter gezeigt, dass [mm] \IQ (\wurzel{5}) [/mm] ein Teilkörper von [mm] \IQ (\wurzel[4]{5}) [/mm] ist. Damit habe ich eine Körpererweiterung vom Grad 2 gefunden. Wie kann ich nun zeigen, dass dies die einzige Körpererweitung vom Grad 2 ist bzw. dass allen anderen dazu isomorph sein müssen? Kann ich mit den Basiselementen 1, [mm] (\wurzel[4]{5}) [/mm] , [mm] (\wurzel[4]{5})^2, (\wurzel[4]{5})^3 [/mm] der Körpererweiterung irgendwas machen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:11 So 18.06.2006 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Bestimmen Sie alle Zwischenkörper der Erweiterung [mm]\IQ (\wurzel[4]{5})[/mm]
> von [mm]\IQ.[/mm]
> Ich habe den Grand der Körpererweiteung von [mm]\IQ (\wurzel[4]{5})[/mm]
> über [mm]\IQ[/mm] bestimmt. Der Grand ist 4. Damit weiß ich, dass es
> noch Zwischenkörper geben kann deren Grad über [mm]\IQ[/mm] 2 ist.
> Ich habe weiter gezeigt, dass [mm]\IQ (\wurzel{5})[/mm] ein
> Teilkörper von [mm]\IQ (\wurzel[4]{5})[/mm] ist. Damit habe ich
> eine Körpererweiterung vom Grad 2 gefunden. Wie kann ich
> nun zeigen, dass dies die einzige Körpererweitung vom Grad
> 2 ist bzw. dass allen anderen dazu isomorph sein müssen?
> Kann ich mit den Basiselementen 1, [mm](\wurzel[4]{5})[/mm] ,
> [mm](\wurzel[4]{5})^2, (\wurzel[4]{5})^3[/mm] der Körpererweiterung
> irgendwas machen?
Du bist schon auf einem guten Weg. Zunächst wissen wir, dass der Grad der gesuchten Zwischenkörper 2 sein muss, weil das der einzige (nicht-triviale) Teiler von 4 ist. Wir wissen, dass [mm] $\IQ (\sqrt{5})$ [/mm] ein Körper vom Grad zwei ist, der in [mm] $\IQ (\sqrt[4]{5})$ [/mm] enthalten ist. Nun nehmen wir an, es gäbe einen zweiten Körper [mm] $\IQ (\sqrt{a})$ [/mm] mit
[mm] $[\IQ (\sqrt[4]{5}): \IQ (\sqrt{a})]= [/mm] 2$ und $[ [mm] \IQ (\sqrt{a}) [/mm] : [mm] \IQ [/mm] ] = 2$ .
Dann gäbe es nach der ersten Bedingung ein Polynom vom Grad 2 aus [mm] $\IQ (\sqrt{a})$[/mm] [t], dass einem die Erweiterung [mm]\IQ (\sqrt[4]{5})[/mm] liefert. Dann muss aber schon [mm] $\sqrt{a}$ [/mm] in [mm] $\IQ (\sqrt[4]{5})$ [/mm] liegen, da sonst jede Erweiterung
[mm] $\IQ (\sqrt[4]{5}, \sqrt{a})$ [/mm] wäre, wenn sie linear disjunkt sind, im Widerspruch dazu, dass [mm] $\IQ (\sqrt{a})$ [/mm] ein Zwischenkörper sein soll. Wäre nun [mm] $\sqrt{a}$ [/mm] in [mm] $\IQ$, [/mm] so ist $[ [mm] \IQ (\sqrt{a}) [/mm] : [mm] \IQ [/mm] ] = 1$ im Widerspruch zu obiger Behauptung.
Also kann nur [mm] $\sqrt{a} [/mm] = [mm] \sqrt{5}$ [/mm] gelten.
Gruß Micha 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:26 So 18.06.2006 | | Autor: | Manuela |
Danke für deine schnelle Antwort.
Das Polynom aus aus [mm] \IQ (\wurzel{a})\left[ t \right] [/mm] musste doch [mm] t^2-\wurzel{a} [/mm] sein oder?
Wie kann man zeigen , das [mm] \wurzel{a} [/mm] nicht in [mm] \IQ (\wurzel[4]{5}) [/mm] liegt?
[mm] \wurzel{a} [/mm] = a + b [mm] (\wurzel[4]{5}) [/mm] +c [mm] (\wurzel[4]{5})^2 [/mm] + d [mm] (\wurzel[4]{5})^3
[/mm]
daraus folgt dass a, b, d = 0 sein müssen da ich eine 2-te Wurzel brauche.
Somit gilt: [mm] \wurzel{a} [/mm] = c [mm] (\wurzel{5}) [/mm] und dies ist eine Wiederspruch zu c Element aus [mm] \IQ
[/mm]
Somit ist [mm] \wurzel{a} [/mm] nicht in [mm] \IQ [/mm] und damit ist [mm] \IQ (\wurzel{a}) [/mm] kein Zwischenkörper
Gruß Manuela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:05 So 18.06.2006 | | Autor: | Manuela |
Oder ist es besser mit dem Polynom zu arbeiten ? [mm] \wurzel[4]{5} [/mm] müsste ja Nullstelle des Polynoms aus [mm] \IQ (\wurzel{a}) \left[ t \right] [/mm] vom Grad 2 sein. Da ja dieses Polynom die Erweiterung erzeugt. Das Minimalpolynom von [mm] \wurzel[4]{5} [/mm] in [mm] \IQ (\wurzel{a}) \left[ t \right] [/mm] wäre damit [mm] x^2-\wurzel{a}. [/mm] Damit aber [mm] \wurzel[4]{5} [/mm] Nullstelle ist muss das Polynom [mm] x^2-\wurzel{5} [/mm] sein. Damit muss aber [mm] \wurzel{a} [/mm] = [mm] \wurzel{5} [/mm] sein.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Di 20.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
