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| Aufgabe | [mm] \mathbb{A}_4=\mathbb{R}^4 [/mm] affiner Raum
Beweisen Sie, dass die Punkte
A=(1,-1,2,1), B=(2,1,-1,-1), C=(0,-3,5,3), D=(3,3,-4,-3)
kollinear sind und bestimmen Sie das Teilverhältnis (B, D|C). |
Hallo,
kollinear heißt doch, dass die Punkte linear abhängig sind?
Beim Nachlesen habe ich folgende Berechnung gefunden:
Zwei Punkte:
A=r*B
Drei Punkte:
A=r*B+s*C
Also die ''normale'' Abhängigkeit mittels Linearkombination.
Bei dieser Aufgabe habe ich das porbiert mit
A=r*B+s*C+t*D
konnte aber keine r,s,t finden, für die das gestimmt hätte. (Kann natürlich sein, dass ich mich verrechnet habe).
Dann hatte ich noch eine andere Berechnung für drei Punkte gefunden:
B-A=r*(C-A)
Also von einem Punkt, zum Beispiel A, wurden jeweils die anderen Punkte subtrahiert und dann die Ergebnisse mittels Linearkombination wie oben gelöst.
Diesen Weg habe ich hier auch probiert, da bekam ich eine Lösung.
r=-s, t=2r, also
r=1
s=-1
t=2
Kann man das immer mittels der Subtraktion und anschließender Linearkombination lösen?
Müsste bei dem ersten Weg nicht auch eine Lösung rauskommen?
Dann habe ich noch eine allgemeine Frage zur Kollinearität:
Wenn A und B kollinear sind und B und C kollinear, dann kann man doch schließen, dass A und C kollinear sind, oder?
Und dann wolte ich noch fragen, ob ich das Teilverhältnis richtig bestimmt habe, bzw. falls es falsch ist wie es sonst berechnet wird oder ob man es anders schreiben muss?
TV(B, D|C)= |B|:|D|C|
|B|= [mm] \wurzel{2^2+1^2+(-1)^2+(-1)^2}=\wurzel{7}
[/mm]
|D|= [mm] \wurzel{3^2+3^2+(-4)^2+(-3)^2}=\wurzel{43}
[/mm]
|C|= [mm] \wurzel{0^2+(-3)^2+5^2+3^2}=\wurzel{43}
[/mm]
|D|C|= [mm] \bruch{\wurzel{43}}{\wurzel{43}}
[/mm]
TV(B, D|C)= [mm] |B|:|D|C|=\wurzel{7}:1
[/mm]
Wäre sehr nett, wenn mich da mal wer aufklären könnte.
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:41 So 06.10.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> [mm]\mathbb{A}_4=\mathbb{R}^4[/mm] affiner Raum
> Beweisen Sie, dass die Punkte
>
> A=(1,-1,2,1), B=(2,1,-1,-1), C=(0,-3,5,3), D=(3,3,-4,-3)
>
> kollinear sind und bestimmen Sie das Teilverhältnis (B,
> D|C).
Steht da wirklich Punkte und nicht Vektoren?
>
>
> Hallo,
>
> kollinear heißt doch, dass die Punkte linear abhängig
> sind?
> Beim Nachlesen habe ich folgende Berechnung gefunden:
>
> Zwei Punkte:
> A=r*B
>
> Drei Punkte:
> A=r*B+s*C
>
> Also die ''normale'' Abhängigkeit mittels
> Linearkombination.
>
> Bei dieser Aufgabe habe ich das porbiert mit
> A=r*B+s*C+t*D
> konnte aber keine r,s,t finden, für die das gestimmt
> hätte. (Kann natürlich sein, dass ich mich verrechnet
> habe).
>
> Dann hatte ich noch eine andere Berechnung für drei Punkte
> gefunden:
> B-A=r*(C-A)
> Also von einem Punkt, zum Beispiel A, wurden jeweils die
> anderen Punkte subtrahiert und dann die Ergebnisse mittels
> Linearkombination wie oben gelöst.
>
> Diesen Weg habe ich hier auch probiert, da bekam ich eine
> Lösung.
> r=-s, t=2r, also
> r=1
> s=-1
> t=2
>
> Kann man das immer mittels der Subtraktion und
> anschließender Linearkombination lösen?
> Müsste bei dem ersten Weg nicht auch eine Lösung
> rauskommen?
>
> Dann habe ich noch eine allgemeine Frage zur
> Kollinearität:
> Wenn A und B kollinear sind und B und C kollinear, dann
> kann man doch schließen, dass A und C kollinear sind,
> oder?
>
> Und dann wolte ich noch fragen, ob ich das Teilverhältnis
> richtig bestimmt habe, bzw. falls es falsch ist wie es
> sonst berechnet wird oder ob man es anders schreiben muss?
>
> TV(B, D|C)= |B|:|D|C|
>
> |B|= [mm]\wurzel{2^2+1^2+(-1)^2+(-1)^2}=\wurzel{7}[/mm]
>
> |D|= [mm]\wurzel{3^2+3^2+(-4)^2+(-3)^2}=\wurzel{43}[/mm]
>
> |C|= [mm]\wurzel{0^2+(-3)^2+5^2+3^2}=\wurzel{43}[/mm]
>
> |D|C|= [mm]\bruch{\wurzel{43}}{\wurzel{43}}[/mm]
>
> TV(B, D|C)= [mm]|B|:|D|C|=\wurzel{7}:1[/mm]
>
>
>
> Wäre sehr nett, wenn mich da mal wer aufklären könnte.
> Danke
Das wäre korrekt, wenn du die gegebenen Größen als Vektoren auffasst.
Wenn es aber Punkte sind, und vermultich ist das gemeint, musst du die Gerade durch die Punkte A, B und C aufstellen, und dann zeigen, dass der Punkt D ebenfalls auf dieser Geraden liegt.
Für das Verhältnis B; D|C musst du dann über die Beträge der Vektoren argumentieren:
Hier also:
[mm] \frac{\overrightarrow{BD}}{\overrightarrow{CD}}
[/mm]
Marius
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Hallo,
danke für die schnelle Antwort.
> Hallo
>
> > [mm]\mathbb{A}_4=\mathbb{R}^4[/mm] affiner Raum
> > Beweisen Sie, dass die Punkte
> >
> > A=(1,-1,2,1), B=(2,1,-1,-1), C=(0,-3,5,3),
> D=(3,3,-4,-3)
> >
> > kollinear sind und bestimmen Sie das Teilverhältnis
> (B,
> > D|C).
>
> Steht da wirklich Punkte und nicht Vektoren?
>
>
Ja da steht Punkte.
> >
> >
> > Hallo,
> >
> > kollinear heißt doch, dass die Punkte linear abhängig
> > sind?
> > Beim Nachlesen habe ich folgende Berechnung gefunden:
> >
> > Zwei Punkte:
> > A=r*B
> >
> > Drei Punkte:
> > A=r*B+s*C
> >
> > Also die ''normale'' Abhängigkeit mittels
> > Linearkombination.
> >
> > Bei dieser Aufgabe habe ich das porbiert mit
> > A=r*B+s*C+t*D
> > konnte aber keine r,s,t finden, für die das gestimmt
> > hätte. (Kann natürlich sein, dass ich mich verrechnet
> > habe).
> >
> > Dann hatte ich noch eine andere Berechnung für drei
> Punkte
> > gefunden:
> > B-A=r*(C-A)
> > Also von einem Punkt, zum Beispiel A, wurden jeweils
> die
> > anderen Punkte subtrahiert und dann die Ergebnisse
> mittels
> > Linearkombination wie oben gelöst.
> >
> > Diesen Weg habe ich hier auch probiert, da bekam ich
> eine
> > Lösung.
> > r=-s, t=2r, also
> > r=1
> > s=-1
> > t=2
> >
> > Kann man das immer mittels der Subtraktion und
> > anschließender Linearkombination lösen?
> > Müsste bei dem ersten Weg nicht auch eine Lösung
> > rauskommen?
> >
> > Dann habe ich noch eine allgemeine Frage zur
> > Kollinearität:
> > Wenn A und B kollinear sind und B und C kollinear, dann
> > kann man doch schließen, dass A und C kollinear sind,
> > oder?
> >
> > Und dann wolte ich noch fragen, ob ich das
> Teilverhältnis
> > richtig bestimmt habe, bzw. falls es falsch ist wie es
> > sonst berechnet wird oder ob man es anders schreiben
> muss?
> >
> > TV(B, D|C)= |B|:|D|C|
> >
> > |B|= [mm]\wurzel{2^2+1^2+(-1)^2+(-1)^2}=\wurzel{7}[/mm]
> >
> > |D|= [mm]\wurzel{3^2+3^2+(-4)^2+(-3)^2}=\wurzel{43}[/mm]
> >
> > |C|= [mm]\wurzel{0^2+(-3)^2+5^2+3^2}=\wurzel{43}[/mm]
> >
> > |D|C|= [mm]\bruch{\wurzel{43}}{\wurzel{43}}[/mm]
> >
> > TV(B, D|C)= [mm]|B|:|D|C|=\wurzel{7}:1[/mm]
> >
> >
> >
> > Wäre sehr nett, wenn mich da mal wer aufklären
> könnte.
> > Danke
>
> Das wäre korrekt, wenn du die gegebenen Größen als
> Vektoren auffasst.
>
> Wenn es aber Punkte sind, und vermultich ist das gemeint,
> musst du die Gerade durch die Punkte A, B und C aufstellen,
> und dann zeigen, dass der Punkt D ebenfalls auf dieser
> Geraden liegt.
>
> Für das Verhältnis B; D|C musst du dann über die
> Beträge der Vektoren argumentieren:
>
> Hier also:
> [mm]\frac{\overrightarrow{BD}}{\overrightarrow{CD}}[/mm]
>
Also wäre das Teilverhältnis:
[mm] TV(\overrightarrow{BD},\overrightarrow{CD})=|\overrightarrow{BD}|:|\overrightarrow{CD}|
[/mm]
[mm] \overrightarrow{BD}=\vektor{3-1 \\ 3+1 \\ -4-2 \\ -3-1 }=\vektor{2 \\ 4 \\ -6 \\ -4}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{CD}=\vektor{3-0 \\ 3+3 \\ -4-5 \\ -3-3 }=\vektor{3 \\ 3 \\ -9 \\ -6}
[/mm]
[mm] |\overrightarrow{BD}|=\wurzel{2^2+4^2+(-6)^2+(-4)^2}=\wurzel{72}
[/mm]
[mm] |\overrightarrow{CD}|=\wurzel{3^2+6^2+(-9)^2+(-6)^2}=\wurzel{162}
[/mm]
[mm] TV(\overrightarrow{BD},\overrightarrow{CD})=\wurzel{72}:\wurzel{162}
[/mm]
Stimmt das jetzt so?
> Marius
Danke,
Grüße Kasperkopf
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 So 06.10.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo,
>
> danke für die schnelle Antwort.
>
>
>
> Ja da steht Punkte.
Dann klopf dem Aufgabensteller mal auf die Finger, Punkte können nich kollinear sein.
> > >[...]
> >
> > Das wäre korrekt, wenn du die gegebenen Größen als
> > Vektoren auffasst.
> >
> > Wenn es aber Punkte sind, und vermultich ist das gemeint,
> > musst du die Gerade durch die Punkte A, B und C aufstellen,
> > und dann zeigen, dass der Punkt D ebenfalls auf dieser
> > Geraden liegt.
> >
> > Für das Verhältnis B; D|C musst du dann über die
> > Beträge der Vektoren argumentieren:
> >
> > Hier also:
> > [mm]\frac{\overrightarrow{BD}}{\overrightarrow{CD}}[/mm]
> >
>
> Also wäre das Teilverhältnis:
>
> [mm]TV(\overrightarrow{BD},\overrightarrow{CD})=|\overrightarrow{BD}|:|\overrightarrow{CD}|[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{BD}=\vektor{3-1 \\ 3+1 \\ -4-2 \\ -3-1 }=\vektor{2 \\ 4 \\ -6 \\ -4}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{CD}=\vektor{3-0 \\ 3+3 \\ -4-5 \\ -3-3 }=\vektor{3 \\ 3 \\ -9 \\ -6}[/mm]
>
> [mm]|\overrightarrow{BD}|=\wurzel{2^2+4^2+(-6)^2+(-4)^2}=\wurzel{72}[/mm]
>
> [mm]|\overrightarrow{CD}|=\wurzel{3^2+6^2+(-9)^2+(-6)^2}=\wurzel{162}[/mm]
>
>
> [mm]TV(\overrightarrow{BD},\overrightarrow{CD})=\wurzel{72}:\wurzel{162}[/mm]
>
> Stimmt das jetzt so?
Das ist korrekt, aaaaber
[mm] \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{162}}=\sqrt{\frac{72}{162}}=\ldots
[/mm]
Das wird nachher ein richtig schön glattes Verhältnis.
Marius
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> Dann klopf dem Aufgabensteller mal auf die Finger, Punkte
> können nich kollinear sein.
???
Wie kommst Du darauf?
Wenn Punkte kollinear sind, liegen sie auf einer gemeinsamen Geraden.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:18 So 06.10.2013 | | Autor: | M.Rex |
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> > Dann klopf dem Aufgabensteller mal auf die Finger, Punkte
> > können nich kollinear sein.
>
> ???
> Wie kommst Du darauf?
> Wenn Punkte kollinear sind, liegen sie auf einer
> gemeinsamen Geraden.
>
> LG Angela
Ok, die Formulierung war mir bisher noch nicht bekannt. Aber ich bin ja durchaus bereit, neue mathematische Formulierungen kennenzulernen.
Marius
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