Kolmogorov-Smirnov-Test < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:54 Fr 29.06.2012 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Gegeben seien die folgenden zwei unabhängig voneinander erzeugten Beobachtungsreihen, wobei die erste aus einer Standardnormalverteilung und die zweite aus einer [mm] $\chi^2$-Verteilung [/mm] mit 18 Freiheitsgraden stammt:
Standardnormalverteilung:
-1.91 -1.22 -0.96 -0.72 0.14 0.82 1.45 1.86
[mm] $\chi^2$-Verteilung:
[/mm]
4.90 7.25 8.04 14.10 18.30 21.21 23.10 28.12
Es ist bekannt, dass die Verteilung einer standardisierten [mm] $\chi^2$-verteilten [/mm] Zufallsvariable für große Freiheitsgrade durch eine Standardnormalverteilung approximiert werden kann. Überprüfen Sie anhand des Kolmogorov-Smirnov-Tests zum Niveau [mm] $\alpha=0.05$, [/mm] ob aufgrund der obigen Realisationen von einer Gleichheit der beiden Verteilungen ausgegangen werden kann. |
Hallo! Also eigentlich ist diese Aufgabe ja nicht so schwer. Aber ich würde trotzdem gerne von jemandem kontrollieren lassen, ob mein Testergebnis korrekt ist.
Testproblem: [mm] $H_0: F(z)=G(z)~\forall~z\in\mathbb{R}$ [/mm] vs. [mm] $H_1: F(z)\neq [/mm] G(z)$ für mindestens ein [mm] $z\in\mathbb{R}$
[/mm]
(Wobe ich mit $F$ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung und mit $G$ die der oben vorausgesetzten [mm] $\Chi^2$-Verteilung [/mm] meine.)
Die Teststatistik lautet [mm] $K_{8,8}=\max\limits_{z}\vert F_8(z)-G_8(z)\vert$
[/mm]
Wobei die empirischen Verteilungsfunktionen lauten:
[mm] $F_8(z)=\begin{cases}0, &\mbox{ falls }z<-1.91\\i/8, &\mbox{ falls }x_{(i)}\leq z
[mm] $G_8(z)=\begin{cases}0, &\mbox{ falls }z<4.90\\j/8, &\mbox{ falls }x_{(j)}\leq z
Lange Rede, kurzer Sinn.
Ich komme darauf, daß
[mm] $K_{8,8}=\max\limits_{z}\vert F_8(z)-G_8(z)\vert [/mm] =1$
Und [mm] $1>k_{1-\alpha}=k_{0.95}=5/8$
[/mm]
Damit wird die Nullhypothese abgelehnt, d.h. es kann [mm] \textbf{nicht} [/mm] von einer Gleichheit der beiden Verteilungen ausgegangen werden.
Ist das alles so korrekt?
Viele Grüße!
Dennis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:42 Fr 29.06.2012 | | Autor: | luis52 |
>
> Ist das alles so korrekt?
>
Moin, das kommt mir nicht koscher vor. Hast du den zweiten Datensatz standardisiert?
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 Fr 29.06.2012 | | Autor: | dennis2 |
Mir kommt das auch seltsam vor.
Die Daten stehen so auf dem Aufgabenblatt drauf.
Es kann ja aber sein, daß die Daten des zweiten Datensatzes standardisierte Daten sind, weil es ja in der Aufgabe heißt, daß eine standardisierte Chi-Quadrat-Verteilung approximativ gegen eine Standardnormalverteilung gehe und man soll ja für diese Daten die Gleicvhheit testen...
Weißt Du Rat?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:53 Fr 29.06.2012 | | Autor: | luis52 |
> Weißt Du Rat?
Ja. Der Erwartungswert der Chi-Quadrat(18)-Verteilung ist 18, die Varianz 36, die Standardabweichung ist 6. Transformiere die Daten $y_$ zu $z=(y-18)/6$ und fuehre den KS-Test mit dem ersten Datensatz und den z-Werten.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Fr 29.06.2012 | | Autor: | dennis2 |
Dann komme ich auf folgende Daten für den zweiten Datensatz (erster Datensatz unverändert):
-2.18 -1.79 -1.66 -0.65 0.05 0.54 0.85 1.69
Hiermit komme ich für die Teststatistik dann auf:
[mm] $\max\limits_{z}\vert F_8(z)-G_8(z)\vert=\frac{1}{4}$
[/mm]
Und da [mm] $\frac{1}{4}<\frac{5}{8}$, [/mm] kann die Nullhypothese [mm] ($H_0: F(z)=G(z)~\forall~z\in\mathbb{R}$) [/mm] nicht abgelehnt werden.
(Bedeutet das, daß man also von der Gleichheit der beiden Verteilungen ausgehen kann?)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Fr 29.06.2012 | | Autor: | dennis2 |
Danke !
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Ich habe nochmal zwei Fragen:
1.) Woran hast Du erkannt, daß die Daten des zweiten Datensatzes standardisiert waren?
2.) Warum geht der test mit den standardisierten nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:35 Fr 29.06.2012 | | Autor: | luis52 |
> Ich habe nochmal zwei Fragen:
>
> 1.) Woran hast Du erkannt, daß die Daten des zweiten
> Datensatzes standardisiert waren?
Waren sie ja nicht, die Transformation lieferte die standardisierten Werte.
>
> 2.) Warum geht der test mit den standardisierten nicht?
Ich modiziere mal deine Frage:
Warum geht der test mit den Originalwerten nicht?
Die Aufgabenstellung lautet:
Es ist bekannt, dass die Verteilung einer standardisierten $ [mm] \chi^2 [/mm] $-verteilten Zufallsvariable für große Freiheitsgrade durch eine Standardnormalverteilung approximiert werden kann.
Deswegen musst die Daten zu den z-Werten standardisieren, damit du sie mit den Daten der Standardnormalverteilung vergleichen kannst.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:24 Fr 29.06.2012 | | Autor: | dennis2 |
...da hatte ich wohl ein Brett vor dem Kopf!
Jetzt habe ich's verstanden.
Vielen Dank!
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