Kombination von cos- & e-Fkt. < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Erstelle eine vollständige Kurvendiskussion für folgende Abbildung:
[mm] f(x)=2*cos(x)+4*e^x [/mm] |
Bei der Nullstellenberechnung komme ich irgendwie auf Folgendes:
[mm] -1/2*cos(x)=e^x
[/mm]
mit ln sieht das dann so aus: ln(-1/2*cos(x))=x
Hat jemand eine Idee, wie ich das x isolieren (oder, wie ich den ln eines cos lösen) kann?
Freue mich auf eure Antworten :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo mathefreund09,
> Erstelle eine vollständige Kurvendiskussion für folgende
> Abbildung:
> [mm]f(x)=2*cos(x)+4*e^x[/mm]
> Bei der Nullstellenberechnung komme ich irgendwie auf
> Folgendes:
> [mm]-1/2*cos(x)=e^x[/mm]
> mit ln sieht das dann so aus: ln(-1/2*cos(x))=x
> Hat jemand eine Idee, wie ich das x isolieren (oder, wie
> ich den ln eines cos lösen) kann?
Hmm, da sehe ich schwarz; dieses Biest [mm] $2\cos(x)+4e^x=0$ [/mm] lässt sich nicht algebraisch schön nach x auflösen.
Du musst wohl oder übel ein Näherungsverfahren zu Hilfe nehmen, etwa das Newtonverfahren ...
>
> Freue mich auf eure Antworten :)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Das ist keine schöne Kurvendiskussion, die du da machen musst. Vllt. lässt du dir den Graphen mal zeichnen, etwa von dem kostenlosen sehr guten Programm ![[]](/images/popup.gif) Funkyplot
LG
schachuzipus
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hallo schachuzipus :)
vielen dank für die bemühungen! gut zu wissen, dass ich nicht die einzige bin, die da keine lösung findet...bin mal gespannt, was mein lehrer morgen so vorschlägt :D
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:26 Fr 28.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo,
> vielen dank für die bemühungen! gut zu wissen, dass ich
> nicht die einzige bin, die da keine lösung findet...bin
> mal gespannt, was mein lehrer morgen so vorschlägt :D
da bin ich auch gespannt. Teil uns das doch bitte mit!
(Durch's Ableiten wird die Gleichung ja auch kein Stueck besser, sprich Extrem- und Wendestellen bestimmen ist ebenso gut moeglich wie Nullstellen bestimmen...)
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:22 Do 27.08.2009 | | Autor: | Manatu |
| Aufgabe | | Ist beweisbar, dass $ [mm] 2\cdot{}cos(x)+4\cdot{}e^x=0 [/mm] $ nicht algebraisch zu lösen ist? |
Hallo zusammen,
ich finde auch keine Lösung zum ursprünglichen Problem.
Nun frage ich mich, Schachuzipus:
> Hmm, da sehe ich schwarz; dieses Biest [mm]2\cos(x)+4e^x=0[/mm]
> lässt sich nicht algebraisch schön nach x auflösen.
War das mal so daher gesagt, dass es nicht algebraisch lösbar ist, oder kann man das wenigstens beweisen?
Mal unabhängig von dem, was man in der Schule an Mathematik schon kann ...
Viele Grüße,
Manatu
P.S.: Herzlich Willkommen, mathefreund-09, und bis morgen ... 
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Hallo Manatu,
> Ist beweisbar, dass [mm]2\cdot{}cos(x)+4\cdot{}e^x=0[/mm] nicht
> algebraisch zu lösen ist?
Ja, aber ich kann's nicht
Das kann aber bestimmt der Felix, der ist ein Algebrafuchs!
> Hallo zusammen,
>
> ich finde auch keine Lösung zum ursprünglichen Problem.
>
> Nun frage ich mich, Schachuzipus:
>
> > Hmm, da sehe ich schwarz; dieses Biest [mm]2\cos(x)+4e^x=0[/mm]
> > lässt sich nicht algebraisch schön nach x auflösen.
>
> War das mal so daher gesagt, dass es nicht algebraisch
> lösbar ist, oder kann man das wenigstens beweisen?
Das war in der Tat relativ schnell dahergesagt, ich hatte mir den Graphen angeschaut und im Kopf, dass schon solch einfache Gleichungen wie [mm] $x+e^x=0$ [/mm] nicht algebraisch nach x aufzulösen sind.
Beweisen kann man das sicher mit einer guten Portion Verständnis in Gruppentheorie und Algebra, die ich nicht habe.
Nur soviel: für eine algebraische Zahl [mm] $\alpha\neq [/mm] 0$ ist [mm] $e^{\alpha}$ [/mm] und auch [mm] $\cos(\alpha)$ [/mm] nicht algebraisch, also transzendent und damit irrational.
Ich glaube, der Satz von Lindemann ist da auch hilfreich.
Aber wie gesagt, das übersteigt meine rudimentären Algebrakenntnisse
>
> Mal unabhängig von dem, was man in der Schule an
> Mathematik schon kann ...
>
> Viele Grüße,
>
> Manatu
Dito
schachuzipus
>
> P.S.: Herzlich Willkommen, mathefreund-09, und bis morgen
> ...
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:15 Fr 28.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen!
> > Ist beweisbar, dass [mm]2\cdot{}cos(x)+4\cdot{}e^x=0[/mm] nicht
> > algebraisch zu lösen ist?
Das kann man umschreiben zu [mm] $e^{i x} [/mm] + [mm] e^{-i x} [/mm] + 4 [mm] e^x [/mm] = 0$.
> [...]
> Ich glaube, der Satz von Lindemann ist da auch hilfreich.
Ja, der hilft hier weiter: fuer algebraisches $x [mm] \neq [/mm] 0$ sind $i x$, $-i x$, $x$ drei paarweise verschiedene algebraische Zahlen, womit nach Lindemann [mm] $e^{i x} [/mm] + [mm] e^{-i x} [/mm] + 4 [mm] e^x \neq [/mm] 0$ gilt. Fuer $x = 0$ steht dort $1 + 1 + 4$, was auch nicht 0 ist. Die Gleichung $2 [mm] \cos [/mm] x + 4 [mm] e^x [/mm] = 0$ hat also in den algebraischen Zahlen keine Loesung!
Das sagt allerdings nichts darueber aus, ob man die Loesung nicht z.B. in der Form [mm] $\ln(\text{algebraischer Ausdruck in } [/mm] x)$ schreiben kann etc.
Genauer: man kann sich fragen, ob sich eine Loesung der Gleichung durch elementare Funktionen und algebraischen Konstanten ausdruecken laesst. Ob das geht weiss ich nicht, und auch nicht ob man das zeigen kann.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:37 Fr 28.08.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo zusammen!
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> > > Ist beweisbar, dass [mm]2\cdot{}cos(x)+4\cdot{}e^x=0[/mm] nicht
> > > algebraisch zu lösen ist?
>
> Das kann man umschreiben zu [mm]e^{i x} + e^{-i x} + 4 e^x = 0[/mm].
>
> > [...]
> > Ich glaube, der Satz von Lindemann ist da auch
> hilfreich.
>
> Ja,
> der
> hilft hier weiter: fuer algebraisches [mm]x \neq 0[/mm] sind [mm]i x[/mm], [mm]-i x[/mm],
> [mm]x[/mm] drei paarweise verschiedene algebraische Zahlen, womit
> nach Lindemann [mm]e^{i x} + e^{-i x} + 4 e^x \neq 0[/mm] gilt. Fuer
> [mm]x = 0[/mm] steht dort [mm]1 + 1 + 4[/mm], was auch nicht 0 ist. Die
> Gleichung [mm]2 \cos x + 4 e^x = 0[/mm] hat also in den
> algebraischen Zahlen
> keine Loesung!
>
> Das sagt allerdings nichts darueber aus, ob man die Loesung
> nicht z.B. in der Form [mm]\ln(\text{algebraischer Ausdruck in } x)[/mm]
> schreiben kann etc.
>
> Genauer: man kann sich fragen, ob sich eine Loesung der
> Gleichung durch
> elementare Funktionen
> und algebraischen Konstanten ausdruecken laesst. Ob das
> geht weiss ich nicht, und auch nicht ob man das zeigen
> kann.
Diese Frage spielt eine große Rolle in der Computeralgebra: wann und wie lässt sich ein Ausdruck vereinfachen, insbesondere, wann ist ein algebraischer Ausdruck gleich 0. Soweit ich weiß, ist diese Frage im Allgemeinen nicht entscheidbar. Im Rahmen der symbolischen Integration sind einige Strukturtheoreme untersucht worden, die ersten Aussagen über Exponentialfunktionen und Logarithmen hat meines Wissens R. Risch gemacht. In diesem Paper wird nachgewiesen, dass die obige Gleichung keine elementare Lösung hat.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo nochmal,
das hatte ich ganz vergessen:
Herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:19 Fr 28.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Vielleicht sollst du die nur qualitativ diskutieren, fuer negative x spielt [mm] e^x [/mm] bald kaum noch ne Rolle und Nst und Maxima etc sind beinahe an den Stellen wo cos Nst und Max hat?
Die ersten 2 Nst koennte man dann mit dem Newtonverfahren bestimmen, wenn du das kennst. fuer pos x kann es keine Nullstellen und Max usw geben, da 2cosx immer <le-2 und [mm] 4e^x [/mm] immer groesser >4
Gruss leduart
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