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Kombinationen: Binomialkoeffizient
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:25 Mi 24.01.2018
Autor: sancho1980

Hallo

ich habe hier bzgl. des Binomialkoeffizienten Formeln stehen: Symmetrieeigenschaft, Additionseigenschaft und Rekursionseigenschaft. Dazu den Satz, man könne sie mit Hilfe der Formel für den Binomialkoeffizienten "nachrechnen".
Symmetrieeigenschaft leuchtet mir ein. Jetzt versuche ich die anderen nachzurechnen. Komme aber schon bei Additionseigenschaft nicht sonderlich weit. Es gälte ja zu zeigen:

[mm] \pmat{ n \\ k } [/mm] = [mm] \pmat{ n - 1 \\ k - 1 } [/mm] + [mm] \pmat{ n - 1 \\ k } [/mm]

Ich gehe aus von

[mm] \pmat{ n - 1 \\ k - 1 } [/mm] + [mm] \pmat{ n - 1 \\ k } [/mm] = [mm] \bruch{(n-1)!}{(k - 1)!(n - k)!} [/mm] + [mm] \bruch{(n-1)!}{k!(n - k - 1)!} [/mm] = [mm] \bruch{(n - 1)!k!(n - k - 1)! + (n - 1)!(k - 1)!(n - k)}{(k - 1)!(n - k)!k!(n - k - 1)!} [/mm]

Und jetzt weiß ich eigentlich nicht mehr weiter, wie ich jetzt kommen soll auf

[mm] \bruch{n!}{k!(n - k)!} [/mm]

PS: Für eine Herleitung zu den Rekursionseigenschaften (bzw. eine Hilfestellung) wäre ich auch sehr dankbar :-D

Martin

        
Bezug
Kombinationen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:59 Mi 24.01.2018
Autor: chrisno

Das wird sich so auch auflösen lassen, doch rate ich zu einem einfacheren Weg.

>> Ich gehe aus von

$ [mm] \pmat{ n - 1 \\ k - 1 } [/mm] $ + $ [mm] \pmat{ n - 1 \\ k } [/mm] $ = $ [mm] \bruch{(n-1)!}{(k - 1)!(n - k)!} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{(n-1)!}{k!(n - k - 1)!} [/mm] $
Nun erweitere jeden der beiden Brüche so, dass k!(n - k)! im Nenner steht.
Hinweis dazu: k(k - 1)! = k!


Bezug
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