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| Aufgabe 1 | | bei der diesjährigen Mailänder Modemesse wurden im Finale 9 Modellkleider präsentiert, darunter 3 vom Designer "Prunkgewand". Wie viele mögliche Reihenfolgen gibt es hierfür, wenn zwischen den Modellen von "Prunkgewand" kein anderes Kleid präsentiert werden soll? |
| Aufgabe 2 | | Aus einer Kiste mit 40 Glühbirnen, von denen 6 defekt sind, werden 4 gleichzeitig gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich in der Stichprobe maximal eine defekte Leuchte befindet? |
Liebes matheraum.de-Team,
Ich bereite mich gerade vor und würde gerne eure Vorgehensweise zu den beiden Aufgaben hören. Welches Modell (Binominalkoeffizient, ...) liegt den Aufgaben zu Grunde? Ich habe mich folgendermaßen damit beschäftigt:
Aufgabe 1:
Da die Kleider von Prunkgewand nicht getrennt werden dürfen, habe ich diese 3 auf eine "Kugel" reduziert. Das heißt es bleiben 7 unterschiedliche Kugeln in meiner Urne übrig, die Reihenfolge ist von Bedeutung, es wird nicht zurückgelegt.
Kombinationsmöglichkeiten: P = 7! = 5040
Aufgabe 2:
Es handelt sich meiner Meinung nach um eine ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen, Reihenfolge spielt keine Rolle.
Die günstigen Ereignisse sind hierbei p(x=0) und p(x=1), d.h. keine oder eine defekte Glühbirne.
Hier fehlt mir leider eine Idee zur grundlegenden Heransgehensweise, meinen Ansatz halte ich für falsch:
p(x=0) = [mm] \bruch{43*42*41*40*39}{50*50*50*50*50} [/mm] und p(x=1) = [mm] \bruch{43*42*41*40*7}{50*50*50*50*50}
[/mm]
Summe wäre dann die Wahrscheinlichkeit, maximal eine defekte Glühbirne zu ziehen.
Hoffe auf nette Hilfe,
fackelschein
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Hallo,
> bei der diesjährigen Mailänder Modemesse wurden im Finale
> 9 Modellkleider präsentiert, darunter 3 vom Designer
> "Prunkgewand". Wie viele mögliche Reihenfolgen gibt es
> hierfür, wenn zwischen den Modellen von "Prunkgewand" kein
> anderes Kleid präsentiert werden soll?
> Aus einer Kiste mit 40 Glühbirnen, von denen 6 defekt
> sind, werden 4 gleichzeitig gezogen. Wie hoch ist die
> Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich in der Stichprobe
> maximal eine defekte Leuchte befindet?
> Liebes matheraum.de-Team,
>
> Ich bereite mich gerade vor und würde gerne eure
> Vorgehensweise zu den beiden Aufgaben hören. Welches
> Modell (Binominalkoeffizient, ...) liegt den Aufgaben zu
> Grunde? Ich habe mich folgendermaßen damit beschäftigt:
>
> Aufgabe 1:
>
> Da die Kleider von Prunkgewand nicht getrennt werden
> dürfen, habe ich diese 3 auf eine "Kugel" reduziert.
Ich glaube, das verstehe ich bis dahin, und wenn die Gesamtzahl der Reihenfolgen (auch der anderen Kleider) beachtet werden soll, dann hättest du damit:
> Dass heißt es bleiben 7 unterschiedliche Kugeln in meiner Urne
> übrig, die Reihenfolge ist von Bedeutung, es wird nicht
> zurückgelegt.
>
> Kombinationsmöglichkeiten: P = 7! = 5040
aber erst die Anzahl der Möglichkeiten, so dass die Präsentationen von Prunkgewand noch in beliebiger Reihenfolge stattfinden dürfen. Konkret muss hier noch mit 3!=6 multipilziert werden.
>
> Aufgabe 2:
>
> Es handelt sich meiner Meinung nach um eine ungeordnete
> Stichprobe ohne Zurücklegen, Reihenfolge spielt keine
> Rolle.
Das ist richtig aufgelöst, will sagen: Ziehen mit einem Griff sowie Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge sind äquivalent.
> Die günstigen Ereignisse sind hierbei p(x=0) und p(x=1),
> d.h. keine oder eine defekte Glühbirne.
>
> Hier fehlt mir leider eine Idee zur grundlegenden
> Heransgehensweise, meinen Ansatz halte ich für falsch:
>
> p(x=0) = [mm]\bruch{43*42*41*40*39}{50*50*50*50*50}[/mm] und p(x=1)
> = [mm]\bruch{43*42*41*40*7}{50*50*50*50*50}[/mm]
>
> Summe wäre dann die Wahrscheinlichkeit, maximal eine
> defekte Glühbirne zu ziehen.
Jetzt hast du das aber völlig falsch umgesetzt, nämlich bei dir wird die Reihenfolge beachtet (der Zähler liefert jeweils eine definierte Reihenfolge) und zurückgelegt (die Faktoren im Nenner bleiben gleich groß.
Das kannst du jetzt reparieren, indem du per Zählformel mit der Anzahl möglicher Reihenfolgen multiplizierst und im Nenner berücksichtigst, dass mit jeder Glühbirne, die gezogen wird, eine weniger in der Grundgesamtheit liegt.
Gruß, Diophant
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Aufgabe 1:
Wieso wird mit 3! multipliziert?
Mit 7! habe ich doch bereits die Anzahl der Möglichkeiten, oder? Für was steht in diesem Fall die Multiplikation mit 6?
Aufgabe 2:
Das heißt der Zähler und der Nenner müssen variieren? Ich denke ich verstehe deine Antwort einfach nicht.
Dann wäre es in meinen Augen:
p(x=0) = [mm] \bruch{43*42*41*40*39}{50*49*48*47*46}
[/mm]
Wenn ich die Zählformel - ich denke du meinst damit den Binominalkoeffizienten? - ergänze, müsste ich dann mit [mm] \pmat{ 1 \\ 2 } [/mm] multiplizieren, oder?
Vielleicht erklärst du mir an dieser Stelle besser mal die grundlegende Vorgehensweise...
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Hallo,
> Aufgabe 1:
>
> Wieso wird mit 3! multipliziert?
> Mit 7! habe ich doch bereits die Anzahl der
> Möglichkeiten, oder? Für was steht in diesem Fall die
> Multiplikation mit 6?
Für die KLeider von Prunkgewand gibt es innerhalb dieser 'Kugel', wie du das abstrahiert hast, noch 3!=6 mögliche Reihenfolgen. Und die hast du eben nicht berücksichtigt.
> Aufgabe 2:
>
> Das heißt der Zähler und der Nenner müssen variieren?
> Ich denke ich verstehe deine Antwort einfach nicht.
> Dann wäre es in meinen Augen:
>
> p(x=0) = [mm]\bruch{43*42*41*40*39}{50*49*48*47*46}[/mm]
>
> Wenn ich die Zählformel - ich denke du meinst damit den
> Binominalkoeffizienten? - ergänze, müsste ich dann mit
> [mm]\pmat{ 1 \\ 2 }[/mm] multiplizieren, oder?
>
Bis auf den Binomialkoeffizienten ist es richtig. IN disem Fall ist er aber unnötig, hier gibt es ja nur lauter Birnen, die in Ordnung sind.
> Vielleicht erklärst du mir an dieser Stelle besser mal die
> grundlegende Vorgehensweise...
Im zweiten Fall musst du im Nenner das gleiche machen und dann mal nachlesen, was genau man mit dem Binomialkoeffizienten zählt und wie er definiert ist.
Gruß, Diophant
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Natürlich, die Kleider können ja auch noch untereinander rotieren - das habe ich völlig vergessen.
Dann macht es auch keinen Sinn, sie auf eine Kugel zu abstrahieren. Dankeschön!
Unter dem Binominalkoeffizienten versteht man doch die Berechnung der Möglichkeiten, oder?
[mm] \pmat{ 1 \\ 2 } [/mm] war an dieser Stelle natürlich falsch, es müsste [mm] \pmat{ 50 \\ 5 } [/mm] heißen, da wir aus 50 Glühbirnen 5 ziehen.
In dem Zusammenhang hat sich mir aber eine neue Frage gestellt, ich versuch dies mal zu formulieren.
Beispiel:
Ein Hersteller von Kaffee aus Südamerika bezieht unterschiedliche Sorten, z.B. 2 aus Brasilien, 2 aus Uruguay und 4 aus Chile.
Während der Herstellung sollen 4 Sorten gemischt werden, aber es soll aus jedem Land mindestens eine Sorte vorhanden sein.
Meine Idee: [mm] \vektor{2 \\ 1}*\vektor{2 \\ 1}*\vektor{4 \\ 1}\vektor{5 \\ 1}
[/mm]
Dies würde meiner Meinung nach die Anzahl der Mischungen ergeben, zuerst die Auswahl der Sorten aus Brasilien, dann Uruguay, dann Chile und zum Schluss die Auswahl aus den 5 übrigen Sorten. Ist da ein Denkfehler dabei?
Vielen Dank für deine Hilfe! :)
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Hallo,
> Natürlich, die Kleider können ja auch noch untereinander
> rotieren - das habe ich völlig vergessen.
> Dann macht es auch keinen Sinn, sie auf eine Kugel zu
> abstrahieren. Dankeschön!
Doch, das mit der Kugel war eine geniale Idee, behalte dir das unbedingt! Nur musst du halt anschließend noch einen Schritt weitergehen.
>
> Unter dem Binominalkoeffizienten versteht man doch die
> Berechnung der Möglichkeiten, oder?
> [mm]\pmat{ 1 \\ 2 }[/mm] war an dieser Stelle natürlich falsch, es
> müsste [mm]\pmat{ 50 \\ 5 }[/mm] heißen, da wir aus 50 Glühbirnen
> 5 ziehen.
Nein, das wäre nur sinnvoll, wenn die 50 Glühbirnen unterscheidbar wären. In deinem Fall heißt die korrekte Rechnung (du hattest da auch noch falsche Zahlen zu Grunde gelegt!)
[mm] P(X=0)+P(X=1)=\vektor{5\\0}*\bruch{34*33*32*31}{40*39*38*37}+\vektor{5\\1}*\bruch{34*33*32*6}{40*39*38*37}=1*\bruch{23188}{45695}+5*\bruch{4488}{45695}=\bruch{45628}{45695}\approx{0.99853}
[/mm]
> In dem Zusammenhang hat sich mir aber eine neue Frage
> gestellt, ich versuch dies mal zu formulieren.
> Beispiel:
>
> Ein Hersteller von Kaffee aus Südamerika bezieht
> unterschiedliche Sorten, z.B. 2 aus Brasilien, 2 aus
> Uruguay und 4 aus Chile.
> Während der Herstellung sollen 4 Sorten gemischt werden,
> aber es soll aus jedem Land mindestens eine Sorte vorhanden
> sein.
>
> Meine Idee: [mm]\vektor{2 \\ 1}*\vektor{2 \\ 1}*\vektor{4 \\ 1}\vektor{5 \\ 1}[/mm]
>
> Dies würde meiner Meinung nach die Anzahl der Mischungen
> ergeben, zuerst die Auswahl der Sorten aus Brasilien, dann
> Uruguay, dann Chile und zum Schluss die Auswahl aus den 5
> übrigen Sorten. Ist da ein Denkfehler dabei?
Ja, denn diese Aufgabe ist um ein vielfaches anspruchsvoller als die vorigen. Sagt dir das Kugel-Fächer-Modell etwas? Beim Überfliegen sagt mir mein Bauchgefühl, dass man es hier benötigt. Allerdings kann das in der Kombinsatorik auch täuschen.
Ich stelle die Frage mal auf 'teilweise beantwortet', vielleicht findet sich noch jemand, der diese Aufgabe knacken möchte. Mir fehlt jetzt leider die Zeit dazu.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Do 12.12.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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