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| Aufgabe | | Wie viele 8-stellige Zahlen gibt es, die genau 3 Vierer als Ziffern enthalten? |
hallo ihr lieben, ich bräuchte hilfe bei der oben genannten aufgabe. ich weiß gar nicht wie ich da rangehen soll. hatte heute das erste mal kombinatorik, daher habe ich noch nicht übung darin:)
bin euch sehr dankbar!!
lg miss_alenka
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Hallo miss_alenka,
die gesuchte Zahl von Möglichkeiten wird ein Produkt aus zwei Faktoren sein (von denen jeder in mehrere "Unterfaktoren") zerfällt. Die beiden Faktoren beantworten folgende Fragen:
1) Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Positionierung der Vieren? Die könnten ja zum Beispiel an der 1., 3. und 7. Stelle stehen, oder an der 5., 8. und 9. - weißt Du, wie man das berechnet? Es hat im weitesten Sinne mit binomischen Formeln (höheren Grades) zu tun.
2) Wie viele Möglichkeiten gibt es, die verbleibenden 5 Stellen zu füllen? Das ist recht einfach, denn die Stellen sind unabhängig voneinander. Also gibt es an jeder Stelle noch 9 mögliche Ziffern, eben alle außer der 4.
Eine Einschränkung ist aber womöglich zu machen, wobei ich nicht so recht glaube, dass Ihr die schon berücksichtigen sollt. Die Aufgabe würde dann auf einen Schlag ungleich schwieriger: eine Zahl fängt natürlich nicht mit einer oder mehreren Nullen an...
Ich denke, Du darfst die Aufgabe auch so übersetzen: es gibt beliebig viele Kugeln in zehn verschiedenen Farben - safran, mohn, lapislazuli, malve, kastanie, eierschale, ruß, malachit, ayer's rock, tropenhimmel.
Du sollst acht Kugeln geordnet auslegen, drei davon sollen die Farbe tropenhimmel haben. Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür? (So umgeht man die Nullen - welche Farbe das sein sollte, müsste man erst definieren.)
Das Ergebnis ist eine siebenstellige Zahl; die ersten beiden Ziffern sind gleich, die letzten beiden auch, und dazwischen steht eine Null und eine zweistellige Primzahl.
Oder vielleicht eher nach Faktoren: der erste ist für die meisten die schwierigste Zahl im kleinen 1*1, der zweite viel größer: wenn man 10000 abziehen würde, wäre er durch 7, 11 und 13 teilbar, durch eine der drei Zahlen sogar mehr als einmal.
Grüße
reverend
PS: Versuch erst mal selbst ein bisschen. Wenn Du eine Lösung hast, kannst Du sie mit den Tipps leicht überprüfen. Wenns nicht passt, komm halt wieder. Dazu ist dieses Forum ja da. 
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erst einmal vielen dank für die erklärung!
leider weiß ich nicht was mit der binomischen formel gemeint ist..
also ich hab es erstmal versucht mit den 5 Stellen rauszubekommen: 15120 möglichkeiten gibt es. ich hab jedoch die 0 nicht beachtet. wie geht denn das? man weiß ja nicht an welcher stelle die 0 ist:S?
hmm ja wie macht man da weiter?
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Zu aller erst mal, falls du heute das erste mal Kombinatorik hattest ist die Aufgabe schon verdammt happig.
Ich würde an deiner Stelle die 0 beachten und von daher etwas anders an die Sache rangehen:
Fall 1)
Wir haben eine 7-stellige Zahl, in der drei vieren drinn sind.
Nun, wie reverend bereits gesagt hat, gucken wir erstmal an welcher Stelle diese stehen.
Dann betrachten wir die anderen 4 Stellen.
Hier können 9 Ziffern (0-9, ohne 4) stehen.
An erster Stelle können nun nur noch 8 Ziffern (1-9, ohne 4, an erster Stelle darf keine 0) stehen.
Fall 2)
An erster Stelle steht eine 4.
Dann haben wir eine 7-stellige Zahl, in der genau 2 vieren drinn stecken und 5 zahlen 0-9 ohne 4 sein dürfen (rechnung wie in fall 1).
Addierst du nun die anzahlen aus fall 1 und fall 2 hast du dein ergebnis.
Natürlich hilft dir das als Kombinatorik-Neuling noch nicht sehr viel.
Da ich dir aber auch nicht die ganze Lösung verraten möchte, hier ein paar andere Beispielaufgaben als Anhaltspunkte:
Frage: Wir wollen 10 Bücher ins Regal stellen.
Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es diese zu positionieren?
Antwort:
Für das erste Buch haben wir 10 freie Plätze.
Für das zweite Buch haben wir 9 freie Plätze (da einer ja schon belegt ist).
Für das dritte Buch 8, etc.
Somit gibt es insgesamt 10*9*8*7*... = 10! = 3628800 Möglichkeiten
Frage:
Wie viele 4-stellige Wörter (nur Kleinbuchstaben, keine Sonderzeichen) gibt es?
Antwort:
Das Alphabet hat 26 Buchstaben.
Somit gibt es für den ersten Buchstaben 26 Möglichkeiten, für den zweiten ebenfalls 26,...
Es gibt also insgesamt 26*26*26*26 = [mm] $26^4$ [/mm] = 456978 verschiedene Wörter.
Frage:
Wie viele 3-stellige Zahlen gibt es, in denen genau 2 Fünfen vorkommen?
Antwort:
Fall 1:
An erster Stelle steht eine 5.
Dann gibt es 2 Möglichkeiten wo die zweite fünf stehen kann (an zweiter oder dritter Stelle) und 10 Möglichkeiten was an der verbleibenden Stelle steht.
Also insgesamt 2*10 = 20 Möglichkeiten.
Fall 2:
An erster Stelle steht keine 5.
Dann stehen die Fünfen an Stelle 2 und Stelle 3.
Für die erste Stelle haben wir also noch 8 Möglichkeiten (keine 0!).
Insgesamt haben wir also 20 + 8 = 28 Möglichkeiten.
Wenn du diese Beispiele verstehst und auf deine Aufgabe überträgst müsstest du sie gelöst kriegen.
Aber, wie bereits gesagt, eigendlich ist das für die erste Stunde Kombinatorik etwas viel verlangt so etwas zu lösen...
Tipp:
Deine Lösung liegt zwischen 3 Millionen und 4 Millionen.
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ahhhhh ich werde wahnsinnig!!!! hab jetz über eine stunde lang dran rumprobiert, aber es klappt leider nicht.
hab nur für die 5 anderen stellen 6720 möglichkeiten ausgerechnet. oder ist das hier nicht relevant?
hab dann versucht mich an dein aufgabenbeispiel zu halten, aber ging dann nicht mehr:S:
fall 1) erste stelle ist eine 4, dann gibt es 7 möglichkeiten wo die beiden anderen vieren stehen könenn. dann die anderen fünf stellen, sind 1520 möglichkeiten.
hmm, mensch, will jetz endlich davon erlöst werden:D, das sind so aufgaben, da nimmt man es nicht einfach hin sie ungelöst zu lassen....mal was ganz neues für mich:)
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hmm, hmm, hmm^^
Fall 1)
An erster Stelle steht keine 4.
Wir betrachten die hinteren 7 Stellen.
Zu aller erst: wo stehen die drei Vieren:
edit:
Wie in der Korrektur ganz richtig angemengelt wurde sind die vieren nicht unterscheitbar.
Also müssen wir hier den Binominalkoeffizienten [mm] $\vektor{7 \\ 3} [/mm] = 35$ nehmen.
Dann die verbleibenden 4 Stellen.
An jeder der Stellen können 9 verschiedene Ziffern stehen.
An der bisher außer Acht gelassenen ersten Stelle können 8 Ziffern (keine 0, keine 4) stehen.
Also insgesamt:
35*9*9*9*9*8 = 1.837.080
Fall 2 darfst du jetzt nochmal versuchen, geht fast genauso. ;)
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 22:57 Mi 19.01.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Schadowmaster,
da hast Du Dich leider verrechnet.
> Fall 1)
> An erster Stelle steht keine 4.
> Wir betrachten die hinteren 7 Stellen.
> Zu aller erst: wo stehen die drei Vieren:
> Für die erste 4 gibt es 7 Möglichkeiten, für die zweite
> 4 sechs Möglichkeiten, für die dritte 4 fünf
> Möglichkeiten.
Es ist aber nicht wichtig, in welcher Reihenfolge die Vieren bestimmt werden. Den Fall, dass die Vieren z.B. an der 2., 5. und 6. Stelle stehen, hast Du damit gleich sechsmal erfasst, wie auch jede andere Kombination.
> Dann die verbleibenden 4 Stellen.
Hm. Ok - wir sind ja gerade bei 7-stelligen Zahlen.
> An jeder der Stellen können 9 verschiedene Ziffern
> stehen.
> An der bisher außer Acht gelassenen ersten Stelle können
> 8 Ziffern (keine 0, keine 4) stehen.
> Also insgesamt:
> 7*6*5*9*9*9*9*8 = 11.022.480 (was bedeutet bei den 3-4
> Millionen aus dem letzten Post hab ich mich verrechnet^^).
Keine gute Reihenfolge der Faktoren. Ja, danke, ich bin mit dem Kommutativgesetz vertraut.
Insgesamt also noch durch 6 teilen, dann bist Du Deinem ursprünglichen Ergebnis schon näher.
> Fall 2 darfst du jetzt nochmal versuchen, geht fast
> genauso. ;)
Naja. Und wie ist es mit der Zahl (0000)4544? Wie erfasst Du die?
Grüße
reverend
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hmmm, na gut ich versuche es:
fall2)an erster stelle steht eine 4
frage: wo stehen die anderen beiden vieren?
für die erste vier :7 möglichkeiten, für die zweite 4: 6 möglichkeiten
nun kommen die verbleibenden fünf stellen:
an jeder stelle können 9 verschiedene ziffern stehen, da die erste stelle mit der 4 besetzt ist oder?
dann wäre das ergebnis: 7*6*9*9*9*9*9=2 480 058
und dann muss man das noch mit den 11millionen addieren?
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ja
nur abgesehen von meinem Fehler (sorry) mit den vieren.
Da die vieren nicht unterscheitbar sind ist 7*6*5 falsch.
Stattdessen muss man den Binominalkoeffizienten [mm] $\vektor{7 \\ 3} [/mm] = 35$ nehmen und in Fall 2 [mm] $\vektor{7 \\ 2} [/mm] = 21$
An sonsten dürfte das aber so klappen.
Wie aber bereits mehrfach gesagt ist das, falls du wirklich heute das erste Mal Kombinatorik hattest, ein Ding der Unmöglichkeit so eine Aufgabe zu lösen...
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uiii das ist ja was :S ja das war nicht gelogen, war heute das erste mal. dann hätte ich ja heute ewig hier dran sitzen können haha.
so dann noch 2 fragen...wie kommt man denn auf die 35 bzw auf die 21?
und multipliziert man die 21 dann trotzdem noch mit den anderen faktoren?
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Hallo nochmal,
> uiii das ist ja was :S ja das war nicht gelogen, war heute
> das erste mal. dann hätte ich ja heute ewig hier dran
> sitzen können haha.
>
> so dann noch 2 fragen...wie kommt man denn auf die 35 bzw
> auf die 21?
Das ist eine der Standardformeln in der Kombinatorik: k nicht unterscheidbare Objekte auf n Plätze zu legen (wobei [mm] n\ge{k} [/mm] ist), geht auf [mm] \vektor{n\\k}=\bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm] verschiedene Weisen.
Dabei ist die Schreibweise (und Berechnung) von [mm] \vektor{n\\k} [/mm] genau die der ![[]](/images/popup.gif) Binomialkoeffizienten.
> und multipliziert man die 21 dann trotzdem noch mit den
> anderen faktoren?
Ja, hier tut man das. Es ist ein wesentlicher Teil davon, ob man Kombinatorik verstanden hat, zwischen der Addition und der Multiplikation zu unterscheiden. Beide kommen vor! Ähnlich ist die Unterscheidung von Potenzen wie [mm] n^k [/mm] und Fakultäten (z.B. m!).
Wenn letztere heute noch gar nicht vorkamen, und früher auch nicht, dann kannst Du diese Aufgabe eigentlich nur lösen, indem Du das Fachgebiet selbständig neu konstruierst. Das aber kann man wirklich nicht verlangen, von niemandem.
Grüße
reverend
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zur Korrektur von reverend:
Ich fang mal mit der leichten der beiden Mängel an:
Die Zahl (0000)4544 hat an erster Stelle eine 0, hat somit nicht 8 Stellen und somit erfasse ich sie garnicht. (seh jetzt gerade nicht wo da dein Problem liegt).
Eine Zahl der Form 10000444 (zB) wird allerdings erfasst...
Zu den vieren:
Stimmt, es ist egal wo sie stehen, Mist...
Das heißt also wir haben für die vieren nicht 7*6*5 sondern [mm] \vektor{7 \\ 3} [/mm] = 35 Möglichkeiten. (in der Antwort berichtigt)
Auch das sorgt dafür, dass diese Aufgabe sich immer weiter von den Möglichkeiten eines Kombinatorikanfängers entfernt.
Zu den Faktoren:
Ich hab sie in der Reihenfolge geschrieben wie ich sie davor im Text erwähnt habe, damit deutlicher wird woher sie kommen.
Natürlich ist es hübscher sie der Größe nach zu ordnen, natürlich wäre auch [mm] $9^4$ [/mm] schöner gewesen, aber ich hoffe mal so ist das einfacher zu verstehen.
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Hallo miss_alenka,
ich finde die Aufgabe auch zu heftig für einen Einstieg in die Kombinatorik. Die ist nämlich eigentlich ganz faszinierend! Aber wenn man schon am Anfang überfordert wird, macht sie (wie alles) keinen großen Spaß.
Hier also die zwei Varianten - entweder mit möglichen "führenden" Nullen oder eben ohne (wie es sich eigentlich gehört...).
1) Variante 1: Vorn kann auch eine Null stehen. Oder mehrere.
Erstmal die Vieren: die erste hat 8 mögliche Positionen, die zweite noch 7, die dritte 6. Also 8*7*6=336. Allerdings ist jede Positionierung von drei Vieren da gleich sechsmal berechnet, man könnte ja erst die vordere festlegen, dann die hintere, dann die in der Mitte. Oder erst die hintere, dann die mittlere, dann die vordere. Oder...
Also: 336/6=56 Möglichkeiten, die Vieren zu verteilen.
Das rechnet man üblicherweise über einen Binomialkoeffizienten aus, nämlich [mm] \vektor{8\\3}=\bruch{8!}{3!*(8-3)!}=\bruch{1*2*3*4*5*6*7*8}{1*2*3\ *\ 1*2*3*4*5}=56
[/mm]
Dann die übrigen fünf Stellen. Jede kann mit einer beliebigen Ziffer ungleich der 4 belegt werden, also jeweils 9 Möglichkeiten. Macht insgesamt hierfür [mm] 9^5=59049 [/mm] Möglichkeiten.
Insgesamt also 56*59049=3306744 Möglichkeiten.
2) Variante 2: Eine Zahl darf nicht mit einer Null anfangen.
Im Prinzip genauso, nur dass man es für alle Zahlen mit drei bis acht Stellen durchgeht und darauf achtet, dass "vorn" keine Null steht.
Bei drei Stellen ist das einfach - die Zahl besteht nur aus Vieren, andere Möglichkeiten gibt es nicht. Also für diesen Fall: 1 Mglkt.
Bei vier Stellen gibt es vier Möglichkeiten, die Vieren zu verteilen, bei einer davon steht vorn keine Vier, die hat also nur 8 Varianten, die andern haben 9, also für diesen Fall: 8+9+9+9=35 Mglkt.
Bei fünf Stellen fängt es an, mühsam zu werden:
a(5)) Vorn steht eine 4.
Für die andern beiden Vieren gibt es noch 6 Stellungen. Die fehlenden beiden Stellen haben 9*9=81 Besetzungen, also 6*81=486 Mglkt.
b(5)) Vorn steht keine 4.
Die drei Vieren haben 4 mgl. Verteilungen. Die erste Stelle hat 8 Mglkt., die andere Nicht-Vier hat 9, also 4*8*9=288 Mglkt.
Tja, und hier wird es zwar nicht schwieriger, aber arbeitsamer. Ich kann mir nicht vorstellen, dass das gemeint war. Wenn Du das anders siehst, melde Dich ruhig nochmal, ich kann auch den Rest vorrechnen.
Für Zahlen mit 3 bis 5 Stellen haben wir bis hier 1+35+486+288=810 Möglichkeiten gefunden, sind aber eben auch noch nicht fertig...
Grüße
reverend
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oh gott, also ehrlichgesagt ist mir das jetz echt zu viel....
ich glaub ich warte einfach bis morgen, denn da ist mathe. ich kann mich morgen noch mal melden und sagen ob ich es verstanden habe:)
ich danke euch echt sehr für eure hilfe! sehr lieb von euch. jetz ist es auch einfach zu spät für "höhere" kombinatorik:)
schönen abend euch!!
lg miss_alenka
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:44 Mi 19.01.2011 | | Autor: | reverend |
Ein letztes "hallo" für heute...
> oh gott, also ehrlichgesagt ist mir das jetz echt zu
> viel....
Klar. Ich möchte Dich damit auch nicht abschrecken. Kombinatorik kann viel Spaß machen und schöne, knifflige Aufgaben bereitstellen. Aber alles hat seine Zeit, und man sollte Dinge nach und nach lernen, nicht alles auf einmal. Die Aufgabe ist eine recht fortgeschrittene. Lass Dich davon nicht abschrecken.
> ich glaub ich warte einfach bis morgen, denn da ist
> mathe. ich kann mich morgen noch mal melden und sagen ob
> ich es verstanden habe:)
Wenn Du das morgen schon verstanden hast, bist Du echt klasse.
Und wenn nicht, sagt das nichts aus, außer dass vielleicht der Lehransatz ein bisschen - sagen wir: - ambitioniert ist.
> ich danke euch echt sehr für eure hilfe! sehr lieb von
> euch. jetz ist es auch einfach zu spät für "höhere"
> kombinatorik:)
Och, dafür ist es eigentlich nie zu spät. Ich geh aber trotzdem auch demnächst mal schlafen...
> schönen abend euch!!
> lg miss_alenka
Gute Nacht!
reverend
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