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| Aufgabe | Man stelle sich eine Buchstabenpyramide vor:
A
BB
CCC
DDDD
EEEEE
FFFFFF
GGGGG
HHHH
III
JJ
K
Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Reihenfolge ABCDEFGHIJK zu bilden?
A bildet die Spitze, dann kann man entweder nach links oder nach rechts usw. (kann ich leider wg. Formatierung nicht darstellen) |
Hallo!
Meine 1. Idee:
[mm] 2^9 [/mm] = 512 Möglichkeiten.
Es fängt mit zwei Möglichkeiten von der ersten zur zweiten Zeile an und dann verdoppeln sich in jeder Zeile (bis auf die letzte) die Möglichkeiten. Allerdings habe ich dabei nicht berücksichtigt, dass an den Randbuchstaben es nur eine Möglichkeit gibt, nach unten zu gehen. Wie kann ich diese wieder abziehen. Oder muss ich ganz anders vorgehen?
LG,
M.
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Hallo,
> Man stelle sich eine Buchstabenpyramide vor:
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> A
> BB
> CCC
> DDDD
> EEEEE
> FFFFFF
> GGGGG
> HHHH
> III
> JJ
> K
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> Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Reihenfolge
> ABCDEFGHIJK zu bilden?
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> A bildet die Spitze, dann kann man entweder nach links oder
> nach rechts usw. (kann ich leider wg. Formatierung nicht
> darstellen)
> Hallo!
> Meine 1. Idee:
> [mm]2^9[/mm] = 512 Möglichkeiten.
> Es fängt mit zwei Möglichkeiten von der ersten zur
> zweiten Zeile an und dann verdoppeln sich in jeder Zeile
> (bis auf die letzte) die Möglichkeiten. Allerdings habe
> ich dabei nicht berücksichtigt, dass an den Randbuchstaben
> es nur eine Möglichkeit gibt, nach unten zu gehen. Wie
> kann ich diese wieder abziehen. Oder muss ich ganz anders
> vorgehen?
Deine Idee funktioniert so nur bis zum F. Danach musst du eben die Tatsache berücksichtigen, dass es für die Ränder jeweils nur eine Möglichkeit gibt.
Man kann das vollends einfach sukzessive ausrechnen, indem man (ab dem F) für jede Buchstabenreihe die erhaltene Anzahl wieder mit 2 mutipliziert und dann 2 abzieht. Das ist jedoch relativ stumpfsinnig. Auch hier wäre es somit wieder gut gewesen, du hättest etwas zum Aufgabenkontext gesagt, sonst kann man nicht mehr sagen als 'richtig' oder 'falsch'. In der Mathematikdidaktik kommt es ja aber auch entscheidend darauf an, was als sinnvoll angesehen wird und was nicht...
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:44 Do 28.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Man stelle sich eine Buchstabenpyramide vor:
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> A
> BB
> CCC
> DDDD
> EEEEE
> FFFFFF
> GGGGG
> HHHH
> III
> JJ
> K
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> Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Reihenfolge
> ABCDEFGHIJK zu bilden?
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> A bildet die Spitze, dann kann man entweder nach links oder
> nach rechts usw. (kann ich leider wg. Formatierung nicht
> darstellen)
> Hallo!
> Meine 1. Idee:
> [mm]2^9[/mm] = 512 Möglichkeiten.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Nein, es gibt nur 252 mögliche Wege vom A zum K.
> Es fängt mit zwei Möglichkeiten von der ersten zur
> zweiten Zeile an und dann verdoppeln sich in jeder Zeile
> (bis auf die letzte) die Möglichkeiten. Allerdings habe
> ich dabei nicht berücksichtigt, dass an den Randbuchstaben
> es nur eine Möglichkeit gibt, nach unten zu gehen. Wie
> kann ich diese wieder abziehen. Oder muss ich ganz anders
> vorgehen?
Letzteres. Wenn du ab dem F nur die zwei Möglichkeiten abziehst und dein bisheriges Ergebnis damit multiplizierst berücksichtigst du nicht die Tatsache, dass es weniger Möglichkeiten gibt, zu den "Randbuchstaben" zu kommen als Möglichkeiten existieren, die mittleren Buchstaben zu erreichen.
>
Es gibt vermutlich verschiedene Ansätze diese Aufgabe zu lösen und ich beschreibe jetzt einmal eben jene, die mir zuerst eingefallen ist (und bislang auch die einzige geblieben ist).
Sehen wir uns zunächst an, wie viele Möglichkeiten es jeweils gibt, zu einem der F's zu gelangen. Für die beiden äußeren gibt es offenbar nur eine einzige, für die mittleren beiden aber satte 10, für die beiden anderen F's immerhin noch jeweils 5 Möglichkeiten. Aus Symmetriegründen gibt es von jedem der F's auch genau so viele Möglichkeiten zum K zu gelangen.
Somit errechnet sich die gesuchte Gesamtanzahl mit
$ [mm] 1^2+5^2+10^2+10^2+5^2+1^2=252$
[/mm]
Die genannten Zahlen (1, 5, 10) sind natürlich Binomialkoeffizienten und wenn du didaktische Aufbereitungen für die Herleitung dieser Tatsache brauchst, findest du sicher genügend Material wenn du nach GALTON-Brett suchst.
In eine allgemeine Formel gegossen sieht das dann so aus:
[mm] $\summe_{k=0}^{n}{\left[{\vektor{n \\ k}^2}\right]}=\vektor{2*n\\n}=\br{(2*n)!}{(n!)^2}$
[/mm]
wobei für dein Beispiel hier $n=5$ zu wählen ist.
Gruß RMix
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