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Kombinatorik: Tipp / Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:30 Di 03.05.2016
Autor: Chrizzldi

Aufgabe 1
Seien $k$ und $r$ natürliche Zahlen.
Wie viele $r$-Tupel [mm] $(x_1, \ldots, x_r)$ [/mm] von nicht-negativen Zahlen gibt es mit [mm] $x_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] x_r \leq [/mm] k$?

Aufgabe 2
Für welche natürlichen Zahlen $r$ und $k$ ist die Anzahl in a) genau doppelt so groß wie die Anzahl aller $r$-Tupel [mm] $(x_1, \ldots, x_r)$ [/mm] von nicht-negativen Zahlen mit [mm] $x_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] x_r [/mm] = k?$

Hallo liebes Matheforum,

ich knabbere gerade an den zwei Aufgaben.
Zu Aufgabe 1) fehlt mir glaube ich Basiswissen, also ein bestimmter Satz aus der Kombinatorik. Mein Gedankengang war/ist zu folgender Überlegung gekommen:

Ich müsste wissen, wieviele unterschiedliche Zahlen in den Tupel zulässig sind. Mir ist nur nicht klar, wie ich das prüfen kann. Aber z.B. das Tupel:
[mm] $(x_1, \ldots, x_1, x_{k - r + 1}$ [/mm] beschreibt ja gerade die Kombinationen an Tupel die [mm] \binom{r}{1} [/mm] sind. Weil wir ja nur zwei unterschiedliche Zahlen haben. Ich habe mir jetzt auch überlegt, dass weiter zu spielen, also die Frage zu stellen welche Kombinationen für 3 unterschiedliche Zahlen möglich sind. Dann für 4 usw. Aber das Gefühl so auf dem richtigen Weg zu sein habe ich nicht. Ist mein Denkansatz komplett verkehrt?

Danke für eure Tipps!

(Aufgabe 2 setzt leider das Verständnis von Aufgabe 1 voraus).

Viele Grüße,
Chris

        
Bezug
Kombinatorik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:03 Di 03.05.2016
Autor: Leopold_Gast

Durch Einführen einer weiteren Variablen [mm]x_{r+1}[/mm], die nichtnegativer ganzer Zahlen fähig ist, kannst du aus der Ungleichung eine Gleichung machen:

[mm]x_1 + x_2 + \ldots + x_r \leq k \ \ \Leftrightarrow \ \ x_1 + x_2 + \ldots + x_r + x_{r+1} = k[/mm]

Wie ist das gemeint? Nehmen wir als Beispiel [mm]r=3[/mm] und [mm]k=2[/mm]. Es gibt dann eine Bijektion zwischen den [mm](x_1,x_2,x_3)[/mm], deren Summe höchstens 2 ist, und den [mm](x_1,x_2,x_3,x_4)[/mm], deren Summe genau 2 ist. Die zusätzliche Variable [mm]x_4[/mm] füllt zur vollen Summe 2 auf. Geben wir die Bijektion konkret in Listenform an:

Summe=0

[mm](0,0,0) \mapsto (0,0,0,2)[/mm]

Summe=1

[mm](1,0,0) \mapsto (1,0,0,1)[/mm]
[mm](0,1,0) \mapsto (0,1,0,1)[/mm]
[mm](0,0,1) \mapsto (0,0,1,1)[/mm]

Summe=2

[mm](1,1,0) \mapsto (1,1,0,0)[/mm]
[mm](1,0,1) \mapsto (1,0,1,0)[/mm]
[mm](0,1,1) \mapsto (0,1,1,0)[/mm]
[mm](2,0,0) \mapsto (2,0,0,0)[/mm]
[mm](0,2,0) \mapsto (0,2,0,0)[/mm]
[mm](0,0,2) \mapsto (0,0,2,0)[/mm]

Links hast du alle Tripel mit Summe höchstens 2, rechts alle Quadrupel mit Summe genau 2.

Das heißt, statt die [mm]r[/mm]-Tupel mit höchstens [mm]k[/mm] als Summe zu zählen, kann man auch die [mm](r+1)[/mm]-Tupel mit genau [mm]k[/mm] als Summe zählen. Und wie macht man das?

Auch das vielleicht an einem Beispiel mit [mm]k=5[/mm]:

[mm]x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 5[/mm]

Die Summe 5 symbolisieren wir durch 5 Kugeln: ooooo. Und diese 5 Kugeln verteilen wir auf vier Fächer, das erste Fach für [mm]x_1[/mm], das zweite für [mm]x_2[/mm] und so weiter. Um die Fächer zu trennen, benötigen wir 3 Trennwände.

|ooo|o|o würde 0+3+1+1=5 entsprechen, ooooo||| würde 5+0+0+0=5 entsprechen, o|o|oo|o würde 1+1+2+1=5 entsprechen. Statt also die Summen zu zählen, kann man auch die zugehörigen Symbole aus o und | zählen. Das ist aber ein bekanntes kombinatorisches Problem.

Bezug
                
Bezug
Kombinatorik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:17 Mo 09.05.2016
Autor: Chrizzldi

Lieber Leopold_Gast,

vielen Dank für dieses tolle Konstrukt. Du hast mir unglaublich weitergeholfen. Und wenn ich dein Ansatz richtig verstanden habe, dann ist damit ja quasi Aufgabenteil 2 schon beantwortet (Es gibt keine Zahl).

Für mich hat es sehr viel Sinn ergeben und ich meine die Antwort nun so richtig beantworten zu können:
[mm] \binom{k + r - 1}{r - 1} [/mm]
Wobei $k + r - 1$ eben die Anzahl aller Pläte (inkl. Trennwände) und $r-1$ die Anzahl der Trennwände für $r$ Fächer ist.

Vielen vielen Dank!

Bezug
                        
Bezug
Kombinatorik: Antwort (fehlerhaft)
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 18:48 Mo 09.05.2016
Autor: reverend

Hallo Chrizzidi,

> Lieber Leopold_Gast,
>  
> vielen Dank für dieses tolle Konstrukt. Du hast mir
> unglaublich weitergeholfen. Und wenn ich dein Ansatz
> richtig verstanden habe, dann ist damit ja quasi
> Aufgabenteil 2 schon beantwortet (Es gibt keine Zahl).
>  
> Für mich hat es sehr viel Sinn ergeben und ich meine die
> Antwort nun so richtig beantworten zu können:
>  [mm]\binom{k + r - 1}{r - 1}[/mm]
>  Wobei [mm]k + r - 1[/mm] eben die Anzahl
> aller Pläte (inkl. Trennwände) und [mm]r-1[/mm] die Anzahl der
> Trennwände für [mm]r[/mm] Fächer ist.
>  
> Vielen vielen Dank!

Ja, das stimmt so.

Grüße
reverend

Bezug
                                
Bezug
Kombinatorik: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) fundamentaler Fehler Status 
Datum: 09:52 Mi 11.05.2016
Autor: Leopold_Gast

Nicht alles stimmt (siehe meinen neuen Beitrag).

Bezug
                        
Bezug
Kombinatorik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:51 Mi 11.05.2016
Autor: Leopold_Gast

[mm]a_{k,r} = {{k+r} \choose r} = {{k+r} \choose k}[/mm] ist die Anzahl der [mm]r[/mm]-Tupel mit Summe [mm]\leq k[/mm]

[mm]b_{k,r} = {{k+r-1} \choose {r-1}} = {{k+r-1} \choose k}[/mm] ist die Anzahl der [mm]r[/mm]-Tupel mit Summe [mm]=k[/mm]

Die Gleichung [mm]a_{k,r} = 2 \, b_{k,r}[/mm] ist durchaus lösbar.

Anscheinend hast du nicht beachtet, daß die Anzahl der Variablen beim ersten Abzählungstrick erhöht wurde.

Beispiel für [mm]k=r=3[/mm]

000

100
010
001

110
101
011
200
020
002

111
210
120
201
102
021
012
300
030
003


Mit Summe [mm]\leq 3[/mm] gibt es genau doppelt so viele Tripel wie mit Summe [mm]=3[/mm].

Bezug
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