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Kombinatorik: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:06 Sa 03.06.2006
Autor: Sunny85

Aufgabe
Auf wieviele Arten kann man die Zahlen 1,1,2,2,3,4,5 auflisten, so dass gleiche Zahlen nicht aufeinander folgen?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Gibt es ein einfaches Verfahren die Anzahl der Möglichkeiten herauszubekommen, ohne alle einzeln aufzulisten? Ich habe dieses versucht, doch dann aufgegeben. Leider komme ich auf keine Formel dafür.

        
Bezug
Kombinatorik: Antwort (fehlerhaft)
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 16:22 Sa 03.06.2006
Autor: Schlurcher

Hallo,

ich würde von allen Möglichkeiten die abziehen, bei denen 2 Zahlen, das können ja nur die einser oder zweier sein, hintereinander kommen, also:

7! - 6 * 5! - 6 * 5! + 8 * 3! = 3648 Möglichkeiten

Erklärung: Insgesammt 7! Möglichkeiten. Es gibt 6 Möglichkeiten, wo die Einser doppelt vorkommen und für den Rest dann 5!. Ebenso für die Zweier. Allerdings haben wir zuviel abgezogen, da die Fälle, in denen die Einser und Zweier hintereinander stehen zweimal abgezogen wurden.

Es müsste 8 Möglichkeiten (das könnte falsch sein, da ichs nur grob überschlagen habe) geben, wie Einser und Zweier hintereinander stehen können. Und für die Restlichen Zahlen dann 3!.

Gruß, Schlurcher

Bezug
        
Bezug
Kombinatorik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:04 Fr 09.06.2006
Autor: DirkG

Die Lösung von Schlurcher ist leider fehlerhaft, das geht schon damit los, dass die 7! falsch sind, weil die beiden 1 und 2 nicht voneinander unterscheidbar sind. Die Grundidee ist aber in Ordnung:

[mm] $\Omega$ [/mm] ... Menge aller Permutationen von 1,1,2,2,3,4,5
[mm] $A_1$ [/mm] ... Menge aller Permutationen von 1,1,2,2,3,4,5, wo die beiden 1 hintereinander stehen = Permutationen von 11,2,2,3,4,5
[mm] $A_2$ [/mm] ... Menge aller Permutationen von 1,1,2,2,3,4,5, wo die beiden 2 hintereinander stehen = Permutationen von 1,1,22,3,4,5

Es folgt

[mm] $A_1\cap A_2$ [/mm] ... Menge aller Permutationen von 11,22,3,4,5


Dann ergibt sich die gesuchte Anzahl
[mm] $$\left| \Omega \setminus (A_1\cup A_2) \right| [/mm] = [mm] |\Omega| [/mm] - [mm] |A_1| [/mm] - [mm] |A_2| [/mm] + [mm] |A_1\cap A_2| [/mm] = [mm] \frac{7!}{2!^2}-\frac{6!}{2!}-\frac{6!}{2!}+5! [/mm] = 660$$

Bezug
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