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Kombinatorik: Schachbrett, Reihe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:03 Di 06.06.2006
Autor: dump_0

Aufgabe
a) Es wird angenommen, dass sich ein Turm auf einem Schachbrett horizontal sowie vertikal beliebig viele Felder bewegen kann. Das Schachbrett sei 8 x 8 Felder groß.
Auf wieviele verschiedene Weisen kann sich ein Turm von der linken unteren Ecke des Schachbretts in die rechte obere Ecke bewegen, wenn sich der Turm nur nach rechts bzw. oben auf dem Schachbrett bewegen kann?

b) Auf wieviele Weisen können $r$ Männer und $s$ Frauen in eine gesetzt werden, so dass keine zwei Frauen nebeneinander sitzen.

Hallo!

Ich habe Probleme mit den obigen 2 Teilaufgaben.

Bei der $a)$ weiß ich leider nicht wie ich da rangehen soll, es sind insges. 64 Felder und jedes Mal wenn sich der Turm k Felder nach rechts bzw. oben bewegt hat, sind noch n-k Felder rechts bzw. oben möglich, aber das hilft mir auch nicht weiter :(

Bei der $b$ gibt es ja eigentlich $(r + s)!$ Möglichkeiten die Männer und Frauen in eine Reihe zu setzen, aber wie bekomme ich raus wieviele Möglichkeiten es gibt, dass 2 Frauen nebeneinander sitzen, diese müsste ich ja dann noch abziehen?


Grüße
[mm] dump_0 [/mm]



        
Bezug
Kombinatorik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:19 Di 06.06.2006
Autor: mathiash

Hallo und guten Tag,

zur Turm-Aufgabe:

Versuch doch erstmal, die Anzahl möglicher Pfade von links unten nach rechts oben zu bestimmen. Offenbar setzt sich jeder solche Pfad aus horizontalen und vertikalen Teilpfaden alternierend zusammen, deren Anzahl sich um höchstens 1 unterscheidet.

Die horizontalen Teilpfade entsprechen offenbar ''geordneten Zahlpartitionen'' der Zahl 7: es müssen 7 Felder nach rechts zurückgelegt werden,
also folgende Möglichkeiten:

7=  7   (Zahlpartition in eine Zahl)

7= 1+6 =2+5 [mm] =\ldots [/mm] = 6+1  (Zahlpartitionen in zwei Zahlen)

7 = 1 + 1 +5 = 1+ 2+4 = [mm] \ldots [/mm] = 1+5+1 = 2+1+4 [mm] =\ldots [/mm] 2+4+1 [mm] =\ldots [/mm]

und so weiter....


Ich würd vielleicht alternativ eine Rekursionsformel aufstellen nach der Startkoordinate und abhängig davon ,ob der erste Schritt nach rechts
oder nach oben geht. Diese Formel kann man dann programmieren und ausrechnen lassen.

Sei also R(h,v) die Anzahl solcher Pfade mit insgesamt h Schritten (Feldern ) nach rechts und v nach oben und erstem Schritt nach rechts,

O(h,v) die Anzahl [mm] \ldots [/mm] mit erstem Schritt nach oben, dann ist

R(n,0)=O(0,n)= 1 für [mm] n\geq [/mm] 1  (wir berechnen hier also nur die Pfade und zählen nicht mit, dass der Turm diese horizontalen und vertikalen Stücke
auch in Etappen aufteilen könnte),

[mm] R(n,m)=\sum_{1\leq i\leq n} [/mm] O(n-i,m)

[mm] O(n,m)=\sum_{1\leq j\leq m} [/mm] R(n,m-j)


Will man die Etappen auch noch mitzählen, so multipliziert man in der Rekursions-Darstellung noch mit

[mm] 2^{j-1} [/mm] bzw [mm] 2^{i-1} [/mm]  (nach jedem der ersten j-1 von j Feldern könnte man einen Zwischenstop einlegen),

und entsprechend wäre der Rekursionsanfang

[mm] R(n,0)=2^{n-1} [/mm] usw.

Mag sein, dass es noch expliziter geht, aber so ist es immerhin implementierbar.

Gruss,

Mathias

Bezug
        
Bezug
Kombinatorik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:31 Di 06.06.2006
Autor: mathiash

Hallo dump,

zu (b) noch was: Sei diese Anzahl notiert als W(r,s), dann ist offenbar

W(r,s)=0 für alle r<s-1 (soviele Männer braucht's halt mindestens, um Frieden herzustellen  ;-) ),

und wir können also die Männer in s-1, s oder s+1 nichtleere Teilmengen partitionieren, wobei wir bei s Teilmengen
noch zwei Möglichkeiten haben, den rechten oder linken Rand weiblich zu halten.

Also: Wir haben schon mal s!  Möglichkeiten, die Frauen linear anzuordnen.

Für jede solche ist die Zahl P(r,j) der Partitionen der r-elementigen Männermenge in j Klassen zu berechnen (j=s-1,s,s+1), und die
Gesamtzahl ist dann

[mm] s!\cdot (P(r,s-1)+2\cdot [/mm] P(r,s)+P(r,s+1))

Da fehlt noch was: Die Reihenfolge der Männer innerhalb der ''maskulinen Sitzintervalle''.

Anders: Ordnen wir die Männer zuerst an, das geht leichter, es sind r! Möglichkeiten.

Dann haben wir r+1 mögliche Positionen für Frauen, wir ordnen zuerst die Frauen an (s! Möglichkeiten) und weisen sie nun s Positionen
von r+1 möglichen zu, insgesamt ist die Zahl also

[mm] s!\cdot r!\cdot \vektor{r+1\\s} [/mm]

Gruss,

Mathias

Bezug
                
Bezug
Kombinatorik: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:14 Do 08.06.2006
Autor: dump_0

Vielen Dank für deine ausführliche Antwort.
Ich hab selbst nochmal überlegt und bin zumind. bei der a) auf folgende Lösung gekommen:

Jeder Weg von der linken unteren Ecke bis zu rechten oberen Ecke benötigt immer 16 Felder. Da es insgesamt 64 Felder sind, müsste es also
[mm] $64^{\underline{16}}$ [/mm] verschiedene Möglichkeiten geben.


Schöne Grüße
[mm] dump_0 [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Kombinatorik: nicht richtig
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:52 Do 08.06.2006
Autor: mathiash

Hallo dump,

das ist nicht richtig, [mm] 64^{16} [/mm] ist die Zahl der Folgen der Länge 16 mit Einträgen aus [mm] \{1,\ldots 64\}, [/mm] da kommen aber auch mitunjer Zahlen
mehrfach vor, und der Weg soll ja aber monoton sein.

Gruss,

Mathias

Bezug
        
Bezug
Kombinatorik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:43 Do 08.06.2006
Autor: Galois

Hallo dump_0, hallo mathiash!

Also, vielleicht sehe ich das zu naiv, aber ich würde mal sagen, daß der Turm in Teil a) insgesamt genau 14 Einzelschritte zurücklegen muß. Von diesen gehen genau 7 nach rechts. Wie würde euch von daher die Antwort [mm] ${14\choose 7}$ [/mm] gefallen?

Zur b): Ich gehe im folgenden davon aus, daß die Männer bzw. Frauen unterscheidbar sind.
Wenn keine zwei Frauen nebeneinander sitzen, dann sitzt rechts von jeder Frau ein Mann (oder niemand). Die Umkehrung hiervon stimmt gleichfalls. Dann verheiraten wir doch mal jede Frau mit dem Mann rechts von ihr. Damit dies immer möglich ist, führen wir einen virtuellen (r+1)-ten Mann rechts von der gesamten Reihe ein.
Jetzt sitzen dort nicht mehr r+1 Männer und s Frauen, sondern (r+1)-s Männer und s (durch den Namen der jeweiligen Frau unterscheidbare) Paare. Hierfür gibt es (r+1)! Möglichkeiten.
Jetzt müssen wir aber noch berücksichtigen, wie die Männer (teilweise) auf die Paare verteilt werden: Hierfür gibt es [mm] $\frac{(r+1)!}{(r+1-s)!}$ [/mm] Möglichkeiten. (Die erste Frau hat r+1 Heiratskandidaten zur Auswahl, die zweite r,...)
Schließlich ist auch noch zu berücksichtigen, daß nur in jedem (r+1)-ten Fall der virtuelle Mann wirklich ganz recht zu sitzen kommt.

Insgesamt gibt es daher [mm] $(r+1)!*\frac{(r+1)!}{(r+1-s)!}*\frac1{r+1}=\frac{r!\,(r+1)!}{(r+1-s)!}$ [/mm] viele Möglichkeiten.

Grüße,
Galois


[]Bonner Matheforum

Bezug
                
Bezug
Kombinatorik: Fast richtig ?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:52 Do 08.06.2006
Autor: mathiash

Hallo Galois,

der Teil (a) ist richtig, aber vieeel zu einfach.... ;-)

Zum Teil (b): Sollt es nicht ein Faktor r! anstatt (r+1)! sein ? Den virtuellen Mann willst Du ja aussen lassen, oder ?

Ich find meine Loesung einfacher: r! Moeglichkeiten, die Männer anzuordnen, s! fuer die Frauen, und dann noch die Auswahl der
genauen Positionen. Ist ja bekanntlich Geschmackssache.....

Gruss,

Mathias

Bezug
                        
Bezug
Kombinatorik: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:16 Do 08.06.2006
Autor: Galois

Hallo mathiash!

Ups, erst jetzt sehe ich, daß sich in einem Deiner Beiträge auch eine Lösung der b) versteckt... [peinlich]
Ja, stimmt, Deine Lösung ist noch einfacher.

> Zum Teil (b): Sollt es nicht ein Faktor r! anstatt (r+1)! sein ? Den virtuellen Mann willst Du ja aussen lassen, oder?

Ich dividiere daher ja am Ende noch mal durch r+1. Bei der Bestimmung der Anzahl der Möglichkeiten, die Männer und Paare zu verteilen, habe ich das zunächst lieber gelassen, da sonst wohl einen Fallunterscheidung notwendig wäre, je nachdem, ob der virtuelle Mann geheiratet hat oder nicht.

Außerdem muß mein Ergebnis richtig sein, da es mit Deinem übereinstimmt. :-)

Grüße,
Galois

Bezug
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