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| Aufgabe | In einer Zuckerfabrik wird der Zucker in Packungen zu 10 g, 250 g, 500 g, 1 kg und 2,5 kg abgefüllt. Nun soll das ganze Sortiment in einem Schaukasten in einer Reihe ausgestellt werden, und zwar ein 2,5-kg-Paket und je zwei Pakete der übrigen Größen.
a) Auf wie viele verschiedene Arten ist das möglich? (5 BE) |
Hallo!
Obige Aufgabe stammt aus dem Jahre 1986, Leistungskurs Mathematik, Bayern.
Die Lösung:
[mm] \bruch{9!}{2!^{4}} [/mm] = 22680
Meine Frage: Weshalb ist das Ergebnis nicht 9! = 362880?
(Dumme Frage: weil es falsch ist... Aber das Ergebnis leuchtet mir deshalb nicht ein, weil die Anzahl der Pakete (=9) doch eigentlich 9! - Anordnungen zulassen müssten...)
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Hallo el_grecco,
> In einer Zuckerfabrik wird der Zucker in Packungen zu 10 g,
> 250 g, 500 g, 1 kg und 2,5 kg abgefüllt. Nun soll das ganze
> Sortiment in einem Schaukasten in einer Reihe ausgestellt
> werden, und zwar ein 2,5-kg-Paket und je zwei Pakete der
> übrigen Größen.
>
> a) Auf wie viele verschiedene Arten ist das möglich? (5
> BE)
> Hallo!
> Obige Aufgabe stammt aus dem Jahre 1986, Leistungskurs
> Mathematik, Bayern.
> Die Lösung:
>
> [mm]\bruch{9!}{2!^{4}}[/mm] = 22680
>
> Meine Frage: Weshalb ist das Ergebnis nicht 9! = 362880?
> (Dumme Frage: weil es falsch ist... Aber das Ergebnis
> leuchtet mir deshalb nicht ein, weil die Anzahl der Pakete
> (=9) doch eigentlich 9! - Anordnungen zulassen müssten...)
Weil es sich nicht um 9 verschiedene Pakete (unterschiedliche Packungsgrößen) handelt.
Gruß
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:58 Fr 28.03.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo el_grecco,
die Antwort von Mathepower ist zwar formal richtig, hilft Dir aber sicher nicht beim Verstehen der Lösung. Das Schlagwort hier heisst "Permutation mit Wiederholung". Die Frage ist doch, wieviele Möglichkeiten es gibt, sogenannte Tupel zu bilden, die aus einem großen Zuckerpaket und acht weiteren bestehen, von denen je 2 gleich sind.
Hierfür gibt es einen Ausdruck
$$ [mm] \bruch{k!}{i_1! i_2!..... i_p!}\, [/mm] , $$ wobei [mm] i_n [/mm] angibt, wie oft ein bestimmtes Element aus diesen k Elementen auftritt. Nimmst Du [mm] i_1 [/mm] für das große Zuckerpaket und [mm] i_2 ... i_5 [/mm] für die vier weiteren Pakete, so ergibt dies
$$ [mm] \bruch{9!}{1! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2!} [/mm] $$ und dies ist genau Dein Ergebnis.
Viele Grüße,
Infinit
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