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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:25 So 27.04.2008 | | Autor: | Nette20 |
| Aufgabe | | Jemand hat n Bekannten jeweils einen Brief geschrieben. In jeden Umschlag hat er einen Brief gelegt und danach auf jeden Umschlag zufällig eine Adresse geschrieben. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Brief an die richtige Adresse geschickt wird. |
Hallo!
Ich habe noch eine kombinatorikaufgabe.
Ist meine Rechnung so richtig?
Ich habe es mir als Urnenmodell vorgestellt.
Ich habe zwei Urnen. Angenommen ich habe n=3 Bekannte. Dann sind in der 1.Urne drei Kugeln mit A,B,C und in der 2.Urne drei Kugeln mit A,B,C.
Ich habe also 3*3=9Ausgänge bei den Ziehungen. (AA, AB, AC, BA, BB, BC, CA, CB, CC)
Jede Zusammenstellung hat die Wahrscheinlichkeit p=1/9.
Es gibt nur drei günstige Ausgänge (AA, BB, CC).
Die Wahrscheinlichkeit, dass kein Brief an den richtigen Empfänger geht, läge bei 2/3. Das Gegenereignis ist also 1/3.
Also p(mind. 1Brief an richtigen Empfänger) = 1/3
Allgemein:
Erste Urne n Kugeln, zweite Urne n Kugeln.
Kein Brief an richtigen Empfänger= (n-1)/n
Gegenereignis also 1/n
Das erscheint mir allerdings etwas zu simple.
Wo liegt denn mein Denkfehler?
Vielen lieben Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:10 So 27.04.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Weiß nicht, ob das
[mm] \bruch{1}{n} [/mm] scheint mir auch nicht ganz zu stimmen.
Ich würde so rangehen (muss aber auch nicht stimmen!):
Ich habe auch 2 Wegen, weil ich nicht weiß, ob sich dieser Jemand die Adressen merkt, die er aufgeschrieben hat, oder nicht. Wenn er sie sich nicht merkt, also auf verschiedenen Briefe öfter mal die selbe Adresse schreibt, würde ich da so rangehen:
Dass der Brief richtig verschickt wird passiert mit einer Wahrscheinlichkeit von [mm] p=\bruch{1}{n}, [/mm] weil der Brief ja nur für eine der n Adressen bestimmt ist. Damit kommt er als zu [mm] q=\bruch{n-1}{n} [/mm] falsch an.
Wenn mindestens 1 Brief richtig ankommen soll, ist wie Wahrscheinlichkeit dafür P=1-p("KEINER der n Briefe kommt richtig an")
Das wäre dann also [mm] p_n=1-(\bruch{n-1}{n})^n [/mm] (kannst du dir auch im Baumdiagramm veranschaulichen zur Not!).
Wenn er sich die Adressen merken würde, dann wäre die Wahrscheinlichkeit dafür [mm] p_n=1-(\bruch{(n-1)!}{n!})^n=1-\bruch{1}{n^n}. [/mm] Leider würde diese Formel für n=1 nicht passen, da [mm] p_1=0, [/mm] obwohl sie 1 sein müsste ;) aber meiner Meinung nach sollte sie für n>1 so klappen.
Aber ich tendiere mal dazu, dass er sich die Adressen, die er schon verwendet hat, nicht merkt, zumindest geht das nicht au der Aufgabe hervor.
Und noch als Zusatzinfo: Wenn meine 1. Formel stimmen sollte, so strebt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 1 Brief richtig ankommt, gegen ca. 63,2%, wenn er SEHR viele Briefe (so an die unendlich) schreibt ;)
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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