Kombinatorik - Variationen < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:03 So 06.03.2005 | | Autor: | Janis |
Guten Morgen,
ich schreibe morgen eine Matheklausur in der auch Kombinatorik ein zu behandelndes Thema sein wird. Ich habe nun einige Aufgaben dazu durchgerechnet, bin mir aber nicht sicher, ob meine Lösungen richtig sind. Da in den Forenregeln steht, dass man für jede neue Frage einen neuen Diskussionsstrang beginnen soll, habe ich mich bemüht die Aufgaben thematisch zu sortieren.
In dieser Diskussion geht es um geordnete Stichproben.
Aufgabe 1:
In einem Lokal sind noch 5 Stühle frei. Auf wie viele Arten können diese
genutzt werden, wenn
a) 3
b) 5
c) 8
Gäste gleichzeitig ankommen ?
Lösung(?):
Es handelt sich um eine Variation ohne zurücklegen, also:
a) [mm]m= \bruch{5!}{3!}[/mm]
b) [mm]m= 5![/mm]
c) [mm]m= \bruch{8!}{3!}[/mm]
Aufgabe 2:
Zu einem Schachturnier melden sich 12 Spieler an. Wie viele Paarungen sind möglich, wenn beachtet werden soll, wer schwarz und wer weiß hat?
Hierzu habe ich noch keine Lösung gefunden. Bei 12 Spielern gäbe es ja theoretisch [mm]12![/mm] Permutation, aber ich weiß nicht, wie ich die Beachtung von schwarz und weiß einbringen soll.
Aufgabe 3:
Anhand einer Namensliste werden 7 Schüler zufällig ausgewählt.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben sie an verschiedenen Wochentagen
Geburtstag, wenn diese als gleichwahrscheinlich angesehen werden ?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind genau drei Personen am gleichen
Wochentag geboren worden und die vier anderen an verschiedenen
Wochentagen ?
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben mindestens zwei Personen am
gleichen Wochentag Geburtstag ?
Lösung(?):
Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit teilt man die Anzahl der günstigen Fälle durch die Anzahl der möglichen Fälle:
a) [mm]P= \bruch{7!}{7^7}[/mm]
b) Beim 1. Schüler ist es noch egal, wann er geboren ist, bei den beiden nächsten muss es aber wieder genau der gleiche Tag sein. Danach darf es nicht mehr dieser Tag sein:
[mm]P= \bruch{7*1*1*6*5*4*3}{7^7}=\bruch{7!}{7^7*2!}[/mm]
c)Man betrachtet das Gegenereignis: Es haben alle an verschiedenen Tagen Geburtstag und rechnet:
[mm]P= 1-\bruch{7!}{7^7}[/mm]
Das waren erstmal die wichtigsten Aufgaben zudiesem Teil. Die anderen poste ich sofort im nächsten Strang. Vielen Dank für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:57 So 06.03.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Janis!
> Da in den
> Forenregeln steht, dass man für jede neue Frage einen neuen
> Diskussionsstrang beginnen soll, habe ich mich bemüht die
> Aufgaben thematisch zu sortieren.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> In dieser Diskussion geht es um geordnete Stichproben.
>
> Aufgabe 1:
>
> In einem Lokal sind noch 5 Stühle frei. Auf wie viele Arten
> können diese
> genutzt werden, wenn
> a) 3
> b) 5
> c) 8
> Gäste gleichzeitig ankommen ?
>
> Lösung(?):
> Es handelt sich um eine Variation ohne zurücklegen,
> also:
> a) [mm]m= \bruch{5!}{3!}[/mm]
Nein, hier muss es [mm] $m=\bruch{5!}{2!}$ [/mm] heißen oder auch $m=5 [mm] \cdot [/mm] 4 [mm] \cdot [/mm] 3$.
> b) [mm]m= 5![/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> c) [mm]m= \bruch{8!}{3!}[/mm]
> Aufgabe 2:
>
> Zu einem Schachturnier melden sich 12 Spieler an. Wie viele
> Paarungen sind möglich, wenn beachtet werden soll, wer
> schwarz und wer weiß hat?
>
> Hierzu habe ich noch keine Lösung gefunden. Bei 12 Spielern
> gäbe es ja theoretisch [mm]12![/mm] Permutation, aber ich weiß
> nicht, wie ich die Beachtung von schwarz und weiß
> einbringen soll.
Man kann dies wie folgt einsehen:
Es gibt ${12 [mm] \choose [/mm] 2}$ Möglichkeiten aus $12$ Spielern $2$ Spieler auszuwählen. Da man innerhalb einer Paarbildung zwei Möglichkeiten hat, weiß und schwarz zu verteilen, gibt es
$2 [mm] \cdot [/mm] {12 [mm] \choose [/mm] 2} = 12 [mm] \cdot [/mm] 11 = 132$
Paarungen.
> Aufgabe 3:
>
> Anhand einer Namensliste werden 7 Schüler zufällig
> ausgewählt.
> a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben sie an
> verschiedenen Wochentagen
> Geburtstag, wenn diese als gleichwahrscheinlich angesehen
> werden ?
> b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind genau drei Personen
> am gleichen
> Wochentag geboren worden und die vier anderen an
> verschiedenen
> Wochentagen ?
> c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben mindestens zwei
> Personen am
> gleichen Wochentag Geburtstag ?
>
> Lösung(?):
>
> Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit teilt man die Anzahl
> der günstigen Fälle durch die Anzahl der möglichen Fälle:
>
> a) [mm]P= \bruch{7!}{7^7}[/mm]
> b) Beim 1. Schüler ist es noch
> egal, wann er geboren ist, bei den beiden nächsten muss es
> aber wieder genau der gleiche Tag sein. Danach darf es
> nicht mehr dieser Tag sein:
> [mm]P= \bruch{7*1*1*6*5*4*3}{7^7}=\bruch{7!}{7^7*2!}[/mm]
Nein, das ist falsch. Dann gehst du davon aus, dass der zweite und dritte Schüler immer am gleichen Tag Geburtstag haben wie der erste Schüler, was ja nicht der Fall sein muss.
Es gibt ${7 [mm] \choose [/mm] 3}$ Möglichkeiten drei Schüler auszuwählen, die am gleichen Tag Geburtstag haben. Dieser Tag kann einer von sieben Wochentagen sein. Für die übrigen Schüler bleiben dann 6, 5 usw. Wochentage.
Die richtige Lösung ist also:
$p = [mm] \frac{{7 \choose 3} \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}{7^7}$.
[/mm]
> c)Man
> betrachtet das Gegenereignis: Es haben alle an
> verschiedenen Tagen Geburtstag und rechnet:
> [mm]P= 1-\bruch{7!}{7^7}[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:06 So 06.03.2005 | | Autor: | Janis |
Vielen Dank!
Habe jetzt verstanden, wo meine Fehler waren, wobei der aus Aufgabe 1 ein Tippfehler war 
Echt klasse dieses Forum!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:54 So 06.03.2005 | | Autor: | Janis |
Hallo Stefan,
bei dieser Aufgabe ist mir glaube ich ein Fehler aufgefallen:
>> > b) Beim 1. Schüler ist es noch
> > egal, wann er geboren ist, bei den beiden nächsten muss
> es
> > aber wieder genau der gleiche Tag sein. Danach darf es
>
> > nicht mehr dieser Tag sein:
> > [mm]P= \bruch{7*1*1*6*5*4*3}{7^7}=\bruch{7!}{7^7*2!}[/mm]
>
>
> Nein, das ist falsch. Dann gehst du davon aus, dass der
> zweite und dritte Schüler immer am gleichen Tag Geburtstag
> haben wie der erste Schüler, was ja nicht der Fall sein
> muss.
>
> Es gibt [mm]{7 \choose 3}[/mm] Möglichkeiten drei Schüler
> auszuwählen, die am gleichen Tag Geburtstag haben. Dieser
> Tag kann einer von sieben Wochentagen sein. Für die übrigen
> Schüler bleiben dann 6, 5 usw. Wochentage.
>
> Die richtige Lösung ist also:
>
> [mm]p = \frac{{7 \choose 3} \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}{7^7}[/mm].
>
Müsste die Lösung nach deiner Erklärung nicht
[mm]p = \frac{{7 \choose 3} \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}{7^7}[/mm]
lauten, da ja ein Tag schon verbraucht ist, die 7 zu Beginn also wegfallen?
Ansonten hätten wir ja auch im Zähler einen 8 Schüler, also einen zuviel... kann natürlich auch sein, dass ich mich vertue, aber ich wollte einfach nochmal nachfragen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:05 So 06.03.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Janis!
Nein, meine Antwort ist richtig.
Wenn die ersten drei Schüler am gleichen Tag Geburtstag haben, dann gibt es dafür $7 [mm] \cdot [/mm] 6 [mm] \cdot [/mm] 5 [mm] \cdot [/mm] 4 [mm] \cdot [/mm] 3$ Möglichkeiten, wie sich diese Geburtstage aufteilen.
Nun ist aber nicht gesagt, dass die ersten drei Schüler am gleichen Tag Geburtstag haben. Es könnte auch sein, dass der dritte, vierte und sechste Schüler am gleichen Tag Geburtstag hat. Auch in diesem Fall gibt es $7 [mm] \cdot [/mm] 6 [mm] \cdot [/mm] 5 [mm] \cdot [/mm] 4 [mm] \cdot [/mm] 3$ Möglichkeiten.
In jedem Fall, wo genau drei Schüler am gleichen Tag Geburtstag haben, gibt es also $7 [mm] \cdot [/mm] 6 [mm] \cdot [/mm] 5 [mm] \cdot [/mm] 4 [mm] \cdot [/mm] 3$ Möglichkeiten.
Und wie viele Möglichkeiten gibt es die drei Schüler zu wählen? Genau ${7 [mm] \choose [/mm] 3}$.
Also gibt es insgesamt
${7 [mm] \choose [/mm] 3} [mm] \cdot [/mm] 7 [mm] \cdot [/mm] 6 [mm] \cdot [/mm] 5 [mm] \cdot [/mm] 4 [mm] \cdot [/mm] 3$
Möglichkeiten, bei denen genau drei Schüler am gleichen Tag Geburtstag haben.
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 So 06.03.2005 | | Autor: | Janis |
Hmm... dann habe ich das wohl einfach falsch verstanden.
Habe ich das denn jetzt richtig verstanden, dass sozusagen die [mm]2![/mm] hinten wegfällt wegen den beiden Schülern, die noch mit einem der anderen am gleichen Tag Geburtstag haben sollen? Könnte es denn nicht theoretisch sein, dass die sich dann auf zwei andere Schüler aufteilen und es sozusagen 2 x zwei Schüler gibt, die am gleichen Tag Geburtstag haben?
Irgendwie bin ich gerade sehr verwirrt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:41 Mo 07.03.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Janis!
Es sollten doch genau drei Schüler am gleichen Tag Geburtstag haben und die anderen an verschiedenen Tagen!
Ich plausibiliere es dir mal an einem einfachen Beispiel:
Wir haben vier Leute:
Eva, Thorsten, Marcel und Dietlind (die Personen sind rein zufällig gewählt ).
Nehmen wir mal an, wir hätten nur vier Wochentage: Arbeitstag, Faulenztag, Matheraumtag und FC-Tag. (Wow... ![[macheurlaub]](/images/smileys/macheurlaub.gif "[macheurlaub]") )
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei Leute am gleichen Wochentag Geburtstag haben?
Nun ja, es könnte ja sein, dass Eva und Thorsten am gleichen Wochentag Geburtstag haben und Marcel und Dietlind jeweils an einem anderen Tag. Dann hätten wir genau diese Möglichkeiten:
Eva/Thorsten: Arbeitstag
Marcel: Faulenztag
Dietlind: FC-Tag
Eva/Thorsten: Arbeitstag
Marcel: Matheraumtag
Dietlind: FC-Tag
Eva/Thorsten: Arbeitstag
Marcel: Faulenztag
Dietlind: Matheraumtag
Eva/Thorsten: Arbeitstag
Marcel: FC-Tag
Dietlind: Matheraumtag
Eva/Thorsten: Arbeitstag
Marcel: FC-Tag
Dietlind: Faulenztag
Eva/Thorsten: Arbeitstag
Marcel: Matheraumtag
Dietlind: Faulenztag
Eva/Thorsten: Faulenztag
Marcel:Matheraumtag
Dietlind: FC-Tag
Eva/Thorsten: Faulenztag
Marcel: Matheraumtag
Dietlind: Arbeitstag
Eva/Thorsten: Faulenztag
Marcel: FC-Tag
Dietlind: Matheraumtag
Eva/Thorsten: Faulenztag
Marcel: FC-Tag
Dietlind: Arbeitstag
Eva/Thorsten: Faulenztag
Marcel: Arbeitstag
Dietlind: FC-Tag
Eva/Thorsten: Faulenztag
Marcel: Arbeitstag
Dietlind: Matheraumtag
Eva/Thorsten: Matheraumtag
Marcel: Faulenztag
Dietlind: FC-Tag
Eva/Thorsten: Matheraumtag
Marcel: Faulenztag
Dietlind: Arbeitstag
Eva/Thorsten: Matheraumtag
Marcel: Arbeitstag
Dietlind: Faulenztag
Eva/Thorsten: Matheraumtag
Marcel: Arbeitstag
Dietlind: FC-Tag
Eva/Thorsten: Matheraumtag
Marcel: FC-Tag
Dietlind: Faulenztag
Eva/Thorsten: Matheraumtag
Marcel: FC-Tag
Dietlind: Arbeitstag
Eva/Thorsten: FC-Tag
Marcel: Faulenztag
Dietlind: Arbeitstag
Eva/Thorsten: FC-Tag
Marcel: Faulenztag
Dietlind: Matheraumtag
Eva/Thorsten: FC-Tag
Marcel: Arbeitstag
Dietlind: Matheraumtag
Eva/Thorsten: FC-Tag
Marcel: Arbeitstag
Dietlind: Faulenztag
Eva/Thorsten: FC-Tag
Marcel: Matheraumtag
Dietlind: Faulenztag
Eva/Thorsten: FC-Tag
Marcel: Matheraumtag
Dietlind: Arbeitstag
Das sind genau [mm] $4\cdot [/mm] 3 [mm] \cdot [/mm] 2=24$ Möglichkeiten. Denn: Für Eva/Thorsten stehen alle vier Wochentage, für Marcel bleiben drei und für Dietlind dann noch zwei.
Jetzt könnten aber auch
Eva und Marcel
Thorsten und Marcel
Dietlind und Marcel
Dietlind und Thorsten
Eva und Dietlind
am gleichen Tag Geburtstag haben und für alle dieser Möglichkeiten würde sich das obige Spiel wiederholen. Da wir insgesamt ${4 [mm] \choose [/mm] 2}=6$ solcher Paarbildungen haben, gibt es also:
${4 [mm] \choose [/mm] 2} [mm] \cdot [/mm] 4 [mm] \cdot [/mm] 3 [mm] \cdot [/mm] 2 = 6 [mm] \cdot [/mm] 24 = 144$
Möglichkeiten.
Ist es denn jetzt durch das Beispiel klarer geworden? 
Viele Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:09 Mo 07.03.2005 | | Autor: | Janis |
Ok jetzt hab ich's verstanden
Vielen Dank für deine ausführliche Erklärung!
Die Klausur hat heut auch ganz gut hingehauen.
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