Kombinatorik 8 Plätze 8 Kugeln < Kombinatorik < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:10 Mo 14.10.2013 | | Autor: | Scarto |
| Aufgabe | | Ich habe 8 Plätze und 8 Kugeln. Alle Kugeln werden benutzt und verteilt. Auf jeden Platz kommt eine Kugel. Je 2 Kugeln sind absolut identisch (2x Rot, 2x Blau, 2x Grün, 2x Gelb). Wieviele verschiedene Kombinationen gibt es? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Leute!
Ich habe ein Problem: meine Kombinatorik-Zeit ist zu lange her. Jetzt kam jemand mit dieser Aufgabe zu mir und einem Freund. Wir sind uns hier uneinig, wer Recht hat. Für euch wird das sicher eine Aufgabe zum aufwärmen sein, aber für uns ist es knifflig.
Mein Kumpel meint die Lösung ist:
n!/(k!*(n-k)!)
mit n= Anzahl der Kugeln und k = Anzahl der verschiedenen Arten
und somit
8!/(4!*4!) = 70
Das kommt mir jedoch viel zu wenig vor. Ich meine klar ist es egal welche rot zuerst kommt, aber trotzdem...
Wer kann mir helfen die richtige Formel zu finden? Anschließend wollen wir die Formel in Excel verarbeiten und uns alle Möglichkeiten ausgeben lassen. Aber dazu müssen wir erst mal die Formel haben...
Danke für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:39 Mo 14.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Scarto und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Ich habe 8 Plätze und 8 Kugeln. Alle Kugeln werden benutzt
> und verteilt. Auf jeden Platz kommt eine Kugel. Je 2 Kugeln
> sind absolut identisch (2x Rot, 2x Blau, 2x Grün, 2x
> Gelb). Wieviele verschiedene Kombinationen gibt es?
> Mein Kumpel meint die Lösung ist:
>
> n!/(k!*(n-k)!)
Für [mm] $\bruch{n!}{k!(n-k)!}$ [/mm] schreibt man auch [mm] $\binom{n}{k}$ [/mm] und nennt diesen Ausdruck den Binomialkoeffizienten "n über k".
Er gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus einer Gesamtheit von $n$ Objekten $k$ auszuwählen.
> mit n= Anzahl der Kugeln und k = Anzahl der verschiedenen
> Arten
> und somit
>
> 8!/(4!*4!) = 70
Es gibt also 70 Möglichkeiten, von 8 (unterscheidbaren) Kugeln 4 auszuwählen. Doch danach ist ja gar nicht gefragt.
> Das kommt mir jedoch viel zu wenig vor. Ich meine klar ist
> es egal welche rot zuerst kommt, aber trotzdem...
Deine Intuition ist richtig.
Das vorliegende Problem ist etwas komplizierter als dein Kumpel vermutet. Die wohl einfachste Lösung ist folgende:
Wir wählen zunächst die zwei Plätze für die roten Kugeln. Wir müssen also 2 der 8 Plätze auswählen. Dafür gibt es [mm] $\binom{8}{2}$ [/mm] viele Möglichkeiten.
Dann wählen wir die zwei Plätze für die blauen Kugeln. Zwei Plätze sind schon für die roten Kugeln vergeben. Bleiben noch 6 Plätze, die für die blauen Kugeln infrage kommen. Wir wählen also 2 der 6 verbleibenden Plätze als Plätze für die blauen Kugeln. Dafür gibt es [mm] $\binom{6}{2}$ [/mm] viele Möglichkeiten.
Schließlich wählen wir die Plätze für die grünen Kugeln. 4 Plätze haben wir schon für die roten und blauen Kugeln vergeben. Bleiben noch 4 Plätze, die für die grünen Kugeln infrage kommen. Wir wählen also 2 der verbleibenden Plätze für die grünen Kugeln. Dafür gibt es [mm] $\binom{4}{2}$ [/mm] viele Möglichkeiten.
Die gelben Kugeln kommen auf die verbleibenden 2 Plätze. Dazu gibt es also genau 1 Möglichkeit.
Insgesamt haben wir so
[mm] $\binom{8}{2}*\binom{6}{2}*\binom{4}{2}$
[/mm]
viele mögliche Farbanordnungen der 8 Kugeln. Das ergibt (wenn ich mich nicht verrechnet habe) 2520 Farbanordnungen.
Viele Grüße
Tobias
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Hallo,
zusätzlich zu dem gegebenen Tipp möchte ich das ganze von einer anderen Seite aus angehen. Es handelt sich nämlich streng genommen nicht um Kombinationen, sondern um Permutationen. Und zwar um solche mit mehrfach vorkommenden Elementen (das sind die Kugeln gleicher Farbe). Dafür gibt es die Zählformel
[mm] z=\bruch{n!}{k_1!*k_2!*...*k_m!}
[/mm]
wobei die [mm] k_i [/mm] jeweils die Anzahlen der m mehrfach vorkommenden Elemente sind. Damit erhalten wir hier
[mm]z=\frac{8!}{2!*2!*2!*2!}=\frac{8*7}{2*1}*\frac{6*5}{2*1}*\frac{4*3}{2*1}*\frac{2*1}{2*1}= \vektor{8 \\ 2}* \vektor{6 \\ 2}* \vektor{4 \\ 2}=2520[/mm]
Gruß, Diophant
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