matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenKombinatorikKombinatorische Argumentation
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Kombinatorik" - Kombinatorische Argumentation
Kombinatorische Argumentation < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Kombinatorik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Kombinatorische Argumentation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:03 Do 24.07.2014
Autor: Morgyr

Aufgabe
Beweise durch kombinatorische Argumentation:
[mm] \summe_{k=1}^{n} k^2 \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] n(n-1)2^{n-2}+n 2^{n-1} [/mm]

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Mir fehlt hier der richtige Ansatz.

Versuch:
Auf der rechten Seite kommen  Ausdrücke der Form [mm] 2^x [/mm] vor. Dies könnte modifiziert [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] entsprechen. Also Anzahl Möglichkeiten k Elemente aus n-1 bzw n-2 zu ziehen.
Ansonsten sieht die rechte Seite nach Stirlingzahlen erster Art aus. Also Anzahl Permutationen mit k Zyklen.

Wenn das wirklich so wäre, ist [mm] \summe_{j=1}^{n}\summe_{k=1}^{n} k^2 \vektor{n \\ k}=n! [/mm]
Entsprechend kommt [mm] n^2 [/mm] n mal vor, wird also viel zu groß.

Allerdings glaube ich da selber nicht dran.


        
Bezug
Kombinatorische Argumentation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:39 Do 24.07.2014
Autor: rmix22


> Beweise durch kombinatorische Argumentation:
>  [mm]\summe_{k=1}^{n} k^2 \vektor{n \\ k}[/mm] = [mm]n(n-1)2^{n-2}+n 2^{n-1}[/mm]
>  

Eine nette Aufgabe für die in der Kombinatorik gern angewandte Methode des "doppelten Abzählens", welche immer wieder zu oft überraschenden Formeln führt.

Eine konkrete, aber etwas sinnfreie Aufgabenstellung, die zu diesem Beispiel passt:
Aus der Menge der n Mitglieder ohne offizielle Rollen des Matheraums wird eine beliebig Anzahl zu Moderatoren gemacht (das kann nur einer sein oder auch alle). Unter diesen neuen Moderatoren wird nun je einmal die Rolle eines Editors und die eines Koordinators verlost (das kann auch die gleiche Person treffen). Auf wie viele Arten ist dies möglich?

Du hast nun zwei unterschiedliche Zugänge, diese Aufgabe zu lösen:

1) Erst werden k Personen aus den n vorhandenen gewählt und dann aus diesen der Editor und der Koordinator (Reihenfolge wesentlich, Wiederholung möglich).

2) Erst werden der Editor und der Koordinator bestimmt (Fallunterscheidung nötig ob Personalunion oder nicht) und dann die restlichen Neumoderatoren hinzugefügt. Für jedes der verbleibenden Mitglieder gibt es nun also die 2 Möglichkeiten im Team zu sein oder eben nicht.

Damit hast du dann die beiden Seiten deiner Beziehung.

Gruß RMix


Bezug
                
Bezug
Kombinatorische Argumentation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:33 Do 24.07.2014
Autor: Morgyr

Ah, klingt ja einfach -.- Vielen Dank, ist verstanden.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Kombinatorik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 11h 03m 8. fred97
ULinAEw/Eigenwerte einer Matrix
Status vor 13h 54m 6. Steffi21
SDiffRech/Funktionsschar untersuchen
Status vor 15h 18m 1. Takota
UAnaRn/Hinreich. Potentialkriterium
Status vor 16h 31m 8. meister_quitte
Mengenlehre/Potenzmenge, Surjektion
Status vor 21h 20m 7. Takota
UAnaRn/Vertauschbarkeit Diff / Integr
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]