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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:57 Mi 02.06.2004 | | Autor: | baddi |
Hallo zusammen, wieder einmal macht mir eine Aufgabe (6.2) kopfzerbrechen.
Gegeben:
$r [mm] \in \IC [/mm] , n [mm] \in \IN [/mm] , [mm] a_n \in \IQ$
[/mm]
wobei ich mich wundere das in der Aufgabe das [mm] $\IQ$ [/mm] nicht wie ein Q aussieht und ich annehme das eine Q und nicht ein [mm] $\IQ$ [/mm] gemeint ist.
Außerdem sei [mm] $\IQ(r)$ [/mm] , für das ich ab jetzt Q(r) schreibe noch definiert:
Q(r) sei Menge aller Zahlen, die sich so schreiben lassen:
[mm] $a_0 [/mm] + a_1r + [mm] a_2r^2 [/mm] + ... + [mm] a_nr^n [/mm] $
Find ich schon irgendwie misteriös bis hier... aber jetzt kommen die eigentlichen Fragestellungen:
a) Zu zeigen, das [mm] $\IQ(r)$ [/mm] Vektorraum (mit offesichtlichen Verknüpfungen) über [mm] $\IQ$
[/mm]
b) Bestimme Dimension von [mm] $\IQ(\wurzel[3]{2})$.
[/mm]
Tipp: Verwenden Sie das [mm] $\wurzel[3]{2}$ [/mm] irrational, also nicht rational, ist.
Also irgendwie ist mir die Aufgabe zu Dick. Ich weiss gar nicht wie ich Anfangen könnte.
Für einen (endlichen) Vektorraum V muss gelten (so habe ich gerade gelesen):
(i) V besitzt eine endliche Basis.
... usw. (weiter unten für den der nachlesen will).
Muss ich also u.a. zeigen das [mm] $\IQ(r)$ [/mm] eine Basis hat.
Ja aber wie sieht den überhaupt ein Vektor von [mm] $\IQ(r)$ [/mm] aus ?
Das kapier ich schon nicht recht.
Ein Vektor ist ja beliebig dimensional :-/
Mach ichs mir zu Versuchszwecken mal einfach, schränke ein, wähle Dimension 3.
Wie sieht dann ein Vektor aus ?
Vielleicht so ?
[mm] ($a_0 [/mm] + a_1r + [mm] a_2r^2 [/mm] + [mm] a_3r^3 [/mm] $)
bzw. so ein anderer bestimmter:
($1 + 2r + [mm] 3r^2 [/mm] + [mm] 4r^3 [/mm] $)
und noch ein Beispiel:
($1 + [mm] \bruch{1}{3}r [/mm] + [mm] 3r^2 [/mm] + [mm] 4r^3 [/mm] $)
Stimmt so weit ? Richtig ?
Dann kann ich also Vektoren finden.
Dann wähle ich einfach liniar unabhängige und habe schon eine Basis und Aufgabe a) zumindest schon mal für einen speziellen Fall gelöst.
Danach kann ich vielleicht mit Induktion beweisen das es für alle Fälle gilt ?
Nachlese:
Für einen (endlichen) Vektorraum V muss gelten (so habe ich gerade gelesen):
(i) V besitzt eine endliche Basis.
(ii) B1;B2 Basen von V ) jB1j = jB2j,
d.h. je zwei Basen von V besitzen gleich viele Elemente,
(iii) Ist fa1; : : : ; arg V linear unabhangig, dann ist entweder fa1; : : : ; arg eine Basis von V ,
oder es gibt ar+1; : : : ; an 2 V , so dass fa1; : : : ; ar; ar+1; : : : ; ang eine Basis von V ist.
(iv) Ist fa1; : : : ; amg V ein Erzeugendensystem von V , dann ist eine Teilmenge von
fa1; : : : ; amg eine Basis von V .
Teil (iii) bezeichnet man oft als Basiserganzungssatz,
Teil (iv) als Basisauswahlsatz.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:24 Mi 02.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo baddi,
> Hallo zusammen, wieder einmal macht mir eine Aufgabe (6.2)
> kopfzerbrechen.
> Gegeben:
> $r [mm] \in \IC [/mm] , n [mm] \in \IN [/mm] , [mm] a_n \in \IQ$
[/mm]
> wobei ich mich wundere das in der Aufgabe das [mm] $\IQ$ [/mm] nicht
> wie ein Q aussieht und ich annehme das eine Q und nicht ein
> [mm] $\IQ$ [/mm] gemeint ist.
>
> Außerdem sei [mm] $\IQ(r)$ [/mm] , für das ich ab jetzt Q(r) schreibe
> noch definiert:
> Q(r) sei Menge aller Zahlen, die sich so schreiben
> lassen:
> [mm] $a_0 [/mm] + a_1r + [mm] a_2r^2 [/mm] + ... + [mm] a_nr^n [/mm] $
>
> Find ich schon irgendwie misteriös bis hier... aber jetzt
> kommen die eigentlichen Fragestellungen:
>
> a) Zu zeigen, das [mm] $\IQ(r)$ [/mm] Vektorraum (mit offesichtlichen
> Verknüpfungen) über [mm] $\IQ$
[/mm]
Die übliche Schreibweise ist --wenn ich mich nicht irre-- mit eckigen Klammern: [mm] $\IQ[r]$.
[/mm]
[mm] $\IQ[r]$ [/mm] ist dann der Vektorraum der Polynome vom maximalen Grad n in der Variablen r, mit rationalen Koeffizienten. (Man könnte auch den Vektorraum aller Polynome vom beliebigen Grad betrachten, aber das ist hier --wegen der Angabe des n-- nicht gemeint.)
Um zu zeigen, dass [mm] $\IQ[r]$ [/mm] nun ein Vektorraum ist, mußt du einfach die Vektorraumaxiome überprüfen (die sollten dir ja bekannt sein  ).
Interessant wäre hier auch die Angabe einer Basis; welche Polynome, meinst du, würden eine Basis für [mm] $\IQ[r]$ [/mm] bilden?
> b) Bestimme Dimension von [mm] $\IQ(\wurzel[3]{2})$.
[/mm]
> Tipp: Verwenden Sie das [mm] $\wurzel[3]{2}$ [/mm] irrational, also
> nicht rational, ist.
Was ergibt sich denn, wenn du [mm] $\wurzel[3]{2}$ [/mm] in die Basisvektoren einsetzen? Erkennst du, dass einige Basisvektoren dadurch Vielfache voneinander werden?
Wie viele Basisvektoren reichen also aus, um [mm] $\IQ[\wurzel[3]{2}]$ [/mm] aufzuspannen?
>
> Also irgendwie ist mir die Aufgabe zu Dick. Ich weiss gar
> nicht wie ich Anfangen könnte.
>
> Für einen (endlichen) Vektorraum V muss gelten (so habe ich
> gerade gelesen):
> (i) V besitzt eine endliche Basis.
> ... usw. (weiter unten für den der nachlesen will).
>
> Muss ich also u.a. zeigen das [mm] $\IQ(r)$ [/mm] eine Basis hat.
> Ja aber wie sieht den überhaupt ein Vektor von [mm] $\IQ(r)$ [/mm]
> aus ?
> Das kapier ich schon nicht recht.
Oben ist ja schon ein Vektor angegeben: [mm] $a_0 [/mm] + a_1r + [mm] a_2r^2 [/mm] + ... + [mm] a_nr^n$
[/mm]
Das sieht doch schon sehr nach einer Linearkombination von Vektoren aus (die du bereits kennst). Was könnten dann die Basisvektoren sein?
> Ein Vektor ist ja beliebig dimensional :-/
Ja, das ist aber hier nicht gemeint. Jedenfalls wäre es auch nicht verkehrt, wenn du zunächst nur den endlich-dimensionalen Fall betrachtest, also alle Polynome von maximalem Grad n.
>
> Mach ichs mir zu Versuchszwecken mal einfach, schränke ein,
> wähle Dimension 3.
>
> Wie sieht dann ein Vektor aus ?
>
> Vielleicht so ?
> [mm] ($a_0 [/mm] + a_1r + [mm] a_2r^2 [/mm] + [mm] a_3r^3 [/mm] $)
> bzw. so ein anderer bestimmter:
> ($1 + 2r + [mm] 3r^2 [/mm] + [mm] 4r^3 [/mm] $)
> und noch ein Beispiel:
> ($1 + [mm] \bruch{1}{3}r [/mm] + [mm] 3r^2 [/mm] + [mm] 4r^3 [/mm] $)
>
> Stimmt so weit ? Richtig ?
Ja, so in etwa. Zunächst einmal wären dies vier-dimensionale Vektoren, und die Klammersetzung ist etwas unglücklich, sie deutet darauf hin, dass du noch nicht die Basis erkannt hast (ich hoffe aber, dass du sie jetzt erkannt hast...)
> Dann kann ich also Vektoren finden.
> Dann wähle ich einfach liniar unabhängige und habe schon
> eine Basis und Aufgabe a) zumindest schon mal für einen
> speziellen Fall gelöst.
> Danach kann ich vielleicht mit Induktion beweisen das es
> für alle Fälle gilt ?
>
> Nachlese:
>
> Für einen (endlichen) Vektorraum V muss gelten (so habe ich
> gerade gelesen):
> (i) V besitzt eine endliche Basis.
> (ii) B1;B2 Basen von V ) jB1j = jB2j,
> d.h. je zwei Basen von V besitzen gleich viele Elemente,
> (iii) Ist fa1; : : : ; arg V linear unabhangig, dann
> ist entweder fa1; : : : ; arg eine Basis von V ,
> oder es gibt ar+1; : : : ; an 2 V , so dass fa1; : : : ;
> ar; ar+1; : : : ; ang eine Basis von V ist.
> (iv) Ist fa1; : : : ; amg V ein Erzeugendensystem von V
> , dann ist eine Teilmenge von
> fa1; : : : ; amg eine Basis von V .
> Teil (iii) bezeichnet man oft als Basiserganzungssatz,
> Teil (iv) als Basisauswahlsatz.
Das ist alles nützlich zu wissen, hier aber gar nicht nötig.
Du brauchst nur die Vektorraumaxiome...
Nun, meine Tipps sind absichtlich etwas spärlich, frage also nach, wenn du mehr Tipps benötigst. Ich will dir ja nicht gleich den Spaß verderben
Viele Grüße,
Marc
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