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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Komme bei DGL nicht weiter
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Komme bei DGL nicht weiter: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:13 Mi 02.02.2022
Autor: MasterEd

Aufgabe
Löse die Differentialgleichung:
[mm] x^4*u''(x)-2*x^2*u(x)+x^3*u(x)+x^4*u(x)=0 [/mm]


<br>
Hallo, mit der angegebenen DGL komme ich nicht viel weiter. Meine erste Idee war, dass x nicht null sein kann/darf/sollte. also habe ich durch [mm] x^2 [/mm] geteilt und schließlich u(x) ausgeklammert. Dann erhalte ich:
[mm] x^2*u''(x)+u(x)*[x^2+x-2]=0 [/mm]
War der Ansatz bisher richtig? Hat jemand eine Idee, wie ich weitermachen muss?

Bin für jede Hilfe dankbar und habe die Frage nirgendwo sonst gestellt.

        
Bezug
Komme bei DGL nicht weiter: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:53 Mi 02.02.2022
Autor: Fulla

Hallo MasterEd,

bist du sicher, dass die Aufgabenstellung so korrekt ist?
Eine "schöne" Lösung gibt es dazu nämlich nicht... Siehe []Wolframalpha.

Lieben Gruß
Fulla

Bezug
                
Bezug
Komme bei DGL nicht weiter: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:43 Do 03.02.2022
Autor: MasterEd

Aufgabe
<br>
 


<br>
Hallo Fulla,
danke für deine schnelle Antwort. Also ich muss die Aufgabe zusammen mit einer Kommilitonin bearbeiten, die mir die Aufgabe nochmal bestätigt hat. Allerdings:
Sie hatte als Gleichung vorher
[mm] x^3*y''(x)-2*x^2*y'(x)+x^3*y(x)+2x*y(x)=0 [/mm]
bekommen, was sie zu
[mm] x^3*y''(x)-2*x^2*y'(x)+(x^2+2)*x*y(x)=0 [/mm]
umgeformt hatte. Sie hat dann vom Tutor den Tipp bekommen y(x)=x*u(x) zu substituieren (keine Ahnung wie der darauf kommt) und daraus erhält man dann
y'(x)=u(x)+x*u'(x) und y''(x)=2*u'(x)+x*u''(x).
Setzt man y(x)=x*u(x) sowie y' und y'' in die DGL ein, erhält man die DGL, die ich in meiner Frage gepostet habe.
Oder war es falsch, schon zu Anfang zu substitueren bzw. überhaupt y(x)=x*u(x) zu setzen?
Komme leider gar nicht weiter und das gepostete Wolfram-Ergebnis sagt mir so gar nichts. Keine "schöne" Lösung wie du schon sagst.

Bezug
                        
Bezug
Komme bei DGL nicht weiter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:51 Do 03.02.2022
Autor: fred97


> <br>
>   
>  
> <br>
>  Hallo Fulla,
>  danke für deine schnelle Antwort. Also ich muss die
> Aufgabe zusammen mit einer Kommilitonin bearbeiten, die mir
> die Aufgabe nochmal bestätigt hat. Allerdings:
>  Sie hatte als Gleichung vorher
>  [mm]x^3*y''(x)-2*x^2*y'(x)+x^3*y(x)+2x*y(x)=0[/mm]
>  bekommen, was sie zu
>  [mm]x^3*y''(x)-2*x^2*y'(x)+(x^2+2)*x*y(x)=0[/mm]
>  umgeformt hatte. Sie hat dann vom Tutor den Tipp bekommen
> y(x)=x*u(x) zu substituieren (keine Ahnung wie der darauf
> kommt)

Vielleicht durch üben, üben und Erfahrung...

> und daraus erhält man dann
>  y'(x)=u(x)+x*u'(x) und y''(x)=2*u'(x)+x*u''(x).

Das stimmt.


>  Setzt man y(x)=x*u(x) sowie y' und y'' in die DGL ein,
> erhält man die DGL, die ich in meiner Frage gepostet
> habe.

Da hast Du Dich offenbar verrechnet !


>  Oder war es falsch, schon zu Anfang zu substitueren bzw.
> überhaupt y(x)=x*u(x) zu setzen?

Nein.

Ich erhalte als DGL für $u$:

     $x^3u''(x)+x^3u(x)=0,$

oder wenn man durch [mm] x^3 [/mm] teilt

   $u''(x)+u(x)=0.$

Die allgemeine Lösung der letzten DGL ist

   [mm] $u(x)=c_1 \cos x+c_2 \sin [/mm] x $,

wobei [mm] $c_1,c_2 \in \IR.$ [/mm] Und damit

$  y(x)=x [mm] c_1 \cos [/mm] x+x [mm] c_2 \sin [/mm] x ,$

wobei [mm] $c_1,c_2 \in \IR.$ [/mm]

>  Komme leider gar nicht weiter und das gepostete
> Wolfram-Ergebnis sagt mir so gar nichts. Keine "schöne"
> Lösung wie du schon sagst.


Bezug
                                
Bezug
Komme bei DGL nicht weiter: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:34 Do 03.02.2022
Autor: MasterEd

Vielen Dank für die Hilfe, fred97!
Ich habe unseren Rechenfehler gefunden, komme aber statt deinem
[mm] x^3+u''(x)+x^3u(x)=0 [/mm]
nun auf
[mm] x^4*u''(x)+x^4*u(x)=0 [/mm]
Hast du bei dem "plus" dann einen Tippfehler oder habe ich mich schon wieder verrechnet?
Wenn ich meins durch [mm] x^4 [/mm]  (statt wie vorgeschlagen [mm] x^3) [/mm] teile, komme ich wieder auf dein Ergebnis
u''(x)+u(x)=0.
und kann mit dem Ansatz für y(x) dann weiter rechnen.
Habe im "Papula" geschaut und finde dort den Ansatz
y(x)=x [mm] c_1 \cos [/mm] x+x [mm] c_2 \sin [/mm] x nirgendwo.
Ich weiß ja aus der Substitution, dass y(x)=x*u(x) sein soll, demnach wäre [mm] u(x)=c_1 \cos(x)+c_2 \sin(x), [/mm] aber woher weiß bzw. "sieht" man das?

Bezug
                                        
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Komme bei DGL nicht weiter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:11 Do 03.02.2022
Autor: fred97


> Vielen Dank für die Hilfe, fred97!
>  Ich habe unseren Rechenfehler gefunden, komme aber statt
> deinem
>  [mm]x^3+u''(x)+x^3u(x)=0[/mm]
>  nun auf
>  [mm]x^4*u''(x)+x^4*u(x)=0[/mm]
>  Hast du bei dem "plus" dann einen Tippfehler oder habe ich
> mich schon wieder verrechnet?

Nein, ich hab mich vertippt.  Habe es soeben korrigiert.


>  Wenn ich meins durch [mm]x^4[/mm]  (statt wie vorgeschlagen [mm]x^3)[/mm]
> teile, komme ich wieder auf dein Ergebnis
>  u''(x)+u(x)=0.
> und kann mit dem Ansatz für y(x) dann weiter rechnen.
>  Habe im "Papula" geschaut und finde dort den Ansatz
>  y(x)=x [mm]c_1 \cos[/mm] x+x [mm]c_2 \sin[/mm] x nirgendwo.
>  Ich weiß ja aus der Substitution, dass y(x)=x*u(x) sein
> soll, demnach wäre [mm]u(x)=c_1 \cos(x)+c_2 \sin(x),[/mm] aber
> woher weiß bzw. "sieht" man das?

Habt Ihr denn nicht gelernt,  wie man homogene lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung löst ? Eine solche DGL liegt für $u$ vor. Im Papula sollte die Lösungsmethode zu finden sein.





Bezug
                                                
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Komme bei DGL nicht weiter: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:59 Mo 07.02.2022
Autor: fred97


> > Vielen Dank für die Hilfe, fred97!
>  >  Ich habe unseren Rechenfehler gefunden, komme aber
> statt
> > deinem
>  >  [mm]x^3+u''(x)+x^3u(x)=0[/mm]
>  >  nun auf
>  >  [mm]x^4*u''(x)+x^4*u(x)=0[/mm]
>  >  Hast du bei dem "plus" dann einen Tippfehler oder habe
> ich
> > mich schon wieder verrechnet?
>  
> Nein, ich hab mich vertippt.  Habe es soeben korrigiert.
>
>
> >  Wenn ich meins durch [mm]x^4[/mm]  (statt wie vorgeschlagen [mm]x^3)[/mm]

> > teile, komme ich wieder auf dein Ergebnis
>  >  u''(x)+u(x)=0.
> > und kann mit dem Ansatz für y(x) dann weiter rechnen.
>  >  Habe im "Papula" geschaut und finde dort den Ansatz
>  >  y(x)=x [mm]c_1 \cos[/mm] x+x [mm]c_2 \sin[/mm] x nirgendwo.
>  >  Ich weiß ja aus der Substitution, dass y(x)=x*u(x)
> sein
> > soll, demnach wäre [mm]u(x)=c_1 \cos(x)+c_2 \sin(x),[/mm] aber
> > woher weiß bzw. "sieht" man das?
>
> Habt Ihr denn nicht gelernt,  wie man homogene lineare
> Differentialgleichungen 2. Ordnung löst ? Eine solche DGL
> liegt für [mm]u[/mm] vor. Im Papula sollte die Lösungsmethode zu
> finden sein.
>
>
>
>  

Ich ab mal Google bemüht:

Homogene lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung werden in Papula, Band 2, ab Seite 392 behandelt

Bezug
                                        
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Komme bei DGL nicht weiter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:43 Sa 05.02.2022
Autor: HJKweseleit

Gegeben: y" + y = 0

Multiplikation mit 2y' gibt

2y'y" + 2y'y = 0, also
[mm] ((y')^2)' [/mm] + [mm] (y^2)' [/mm] = 0 oder
[mm] ((y')^2 [/mm] + [mm] y^2)' [/mm] = 0  [mm] \Rightarrow [/mm]

[mm] (y')^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = konstant. Da wir zwei Quadrate haben, die nicht beide konstant 0 sein sollen, ist der Wert positiv:

[mm] (y')^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = [mm] a^2 \Rightarrow [/mm]

y' = [mm] \wurzel{a^2 - y^2} \Rightarrow [/mm]

[mm] \bruch{dy}{\wurzel{a^2 - y^2}} [/mm] = dx

[mm] \integral{\bruch{dy}{\wurzel{a^2 - y^2}}dx} [/mm] = [mm] \integral{ dx} [/mm]
[mm] \bruch{}{} [/mm]

arcsin(x/a) = x + C

x/a = sin(x+C)

x = a sin(x+C)

Das ist ein verschobener Sinus. Dieser kann als Summe von Sinus und Kosinus geschrieben werden:

x = b sin(x) + c cos(x)

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Komme bei DGL nicht weiter: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:07 So 06.02.2022
Autor: fred97


> Gegeben: y" + y = 0
>  
> Multiplikation mit 2y' gibt
>  
> 2y'y" + 2y'y = 0, also
>  [mm]((y')^2)'[/mm] + [mm](y^2)'[/mm] = 0 oder
>  [mm]((y')^2[/mm] + [mm]y^2)'[/mm] = 0  [mm]\Rightarrow[/mm]
>  
> [mm](y')^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] = konstant. Da wir zwei Quadrate haben, die
> nicht beide konstant 0 sein sollen, ist der Wert positiv:
>  

Wieso ? So geht Dir eine Lösung durch die Lappen!

Die Nullfunktion löst obige Dgl.

Das ist bei linearen homogenen Differentialgleichungen immer so.


> [mm](y')^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] = [mm]a^2 \Rightarrow[/mm]
>  
> y' = [mm]\wurzel{a^2 - y^2} \Rightarrow[/mm]
>  
> [mm]\bruch{dy}{\wurzel{a^2 - y^2}}[/mm] = dx
>  
> [mm]\integral{\bruch{dy}{\wurzel{a^2 - y^2}}dx}[/mm] = [mm]\integral{ dx}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{}{}[/mm]

Ab hier solltest Du in jeder der folgenden Gleichungen aus einigen x jeweils ein y machen.

>  
> arcsin(x/a) = x + C
>  
> x/a = sin(x+C)
>  
> x = a sin(x+C)
>  
> Das ist ein verschobener Sinus. Dieser kann als Summe von
> Sinus und Kosinus geschrieben werden:
>  
> x = b sin(x) + c cos(x)






Bezug
                                                        
Bezug
Komme bei DGL nicht weiter: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:33 So 06.02.2022
Autor: HJKweseleit


> > Gegeben: y" + y = 0
>  >  
> > Multiplikation mit 2y' gibt
>  >  
> > 2y'y" + 2y'y = 0, also
>  >  [mm]((y')^2)'[/mm] + [mm](y^2)'[/mm] = 0 oder
>  >  [mm]((y')^2[/mm] + [mm]y^2)'[/mm] = 0  [mm]\Rightarrow[/mm]
>  >  
> > [mm](y')^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] = konstant. Da wir zwei Quadrate haben, die
> > nicht beide konstant 0 sein sollen, ist der Wert positiv:
>  >  
>
> Wieso ? So geht Dir eine Lösung durch die Lappen!
>
> Die Nullfunktion löst obige Dgl.
>  
> Das ist bei linearen homogenen Differentialgleichungen
> immer so.

Ja, das habe ich wohl gesehen, die Lösung habe ich als trivial weglassen wollen. Dachte, dass das jeder sieht und man so auf eine unnötige Fallunterscheidung verzichten kann. Außerdem kann man beim Endergebnis ja trotzdem a=0 setzen und hat dann die triviale Lösung. Weil y/a vorkommt, habe ich mit a [mm] \ne [/mm] 0 weiter gemacht.

>  
>
> > [mm](y')^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] = [mm]a^2 \Rightarrow[/mm]
>  >  
> > y' = [mm]\wurzel{a^2 - y^2} \Rightarrow[/mm]
>  >  
> > [mm]\bruch{dy}{\wurzel{a^2 - y^2}}[/mm] = dx
>  >  
> > [mm]\integral{\bruch{dy}{\wurzel{a^2 - y^2}}dx}[/mm] = [mm]\integral{ dx}[/mm]
>  
> >  

> > [mm]\bruch{}{}[/mm]
>  
> Ab hier solltest Du in jeder der folgenden Gleichungen aus
> einigen x jeweils ein y machen.
>  >  
> > arcsin(x/a) = x + C
>  >  
> > x/a = sin(x+C)
>  >  
> > x = a sin(x+C)
>  >  
> > Das ist ein verschobener Sinus. Dieser kann als Summe von
> > Sinus und Kosinus geschrieben werden:
>  >  
> > x = b sin(x) + c cos(x)

Ja, blind aufgeschrieben und dann den Fehler immer wieder kopiert. Somit:

arcsin(y/a) = x + C
y/a = sin(x+C)
y = a sin(x+C)
  
und jetzt schöner:

... = a (sin(x)cos(C) + cos(x)sin(C))
= [a cos(C)]sin(x) + [a sin(C)]cos(x)
= b sin(x) + c cos(x)

Bezug
        
Bezug
Komme bei DGL nicht weiter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:20 Fr 04.02.2022
Autor: fred97

Die Frage ist beantwortet !

Bezug
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