Kommutative Symmetriegruppen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:59 Mo 30.10.2006 | | Autor: | Mini273 |
| Aufgabe | | Zeige, dass [mm] S_{n} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 3 nicht kommutativ ist. |
Hallo,
Ich hab eine Frage bzgl. dieser Aufgabe. Löst man diese Aufgabe mit Induktion? Ich hab das versucht, weiß aber nicht, wie ich den Induktionsschritt machen soll.... Vielleicht bin ich ja auf einem ganz falschem Trip und man zeigt das ganz anders.
Ich weiß, dass alle Gruppem mit weniger als 6 Elementen kommutativ sind und die [mm] S_{3} [/mm] Gruppe, die kleinste Gruppe ist, die nicht kommutativ ist.
Ich weiß nicht, wie man den Beweis allgemein machen soll, denn man ja nicht für jedes n eine Tabelle aufstellen und da nachschauen. 
Ich hoffe, es kann mir jemand weiter helfen bei dem Beweis.
Viele Grüße,
Mini
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Hallo,
suche in jeder Gruppe [mm] $S_n, [/mm] n > 3$ eine Untergruppe, die isomorph zur [mm] $S_3$ [/mm] ist.
Dafür brauchst du keine Induktion.
Gruß,
SirJective
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:29 Mo 30.10.2006 | | Autor: | DesterX |
Hallo!
Warum so kompliziert?
Nimm (12),(23) [mm] \in S_n \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] 3
dann: [mm] (12)\circ(23) \not= (23)\circ(12)
[/mm]
und schon biste fertig
Gruß
Dester
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 Mo 30.10.2006 | | Autor: | Mini273 |
Hallo DesterX und SirJective,
danke euch beiden für eure Hilfe.
Ich wollte grad eben die Untergruppen bestimmen für [mm] S_{n}, [/mm] als ich dann die Mitteilung gelesen habe.
Wenns auch einfacher geht, dann ist es ja um so besser
Ich hab aber eine Frage bzgl. der Mitteilung:
> Nimm (12),(23) [mm]\in S_n \forall[/mm] n [mm]\ge[/mm] 3
> dann: [mm](12)\circ(23) \not= (23)\circ(12)[/mm]
> und schon biste
> fertig
Was genau heißt (12) und (23) und warum ist dann in [mm] S_{n} \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] 3? Das sind doch nur 3 Elemente. Ich versteh nicht ganz, wo man gezeigt wird, dass das auch für n > 3 gilt.
Viele Grüße,
Mini
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:56 Mo 30.10.2006 | | Autor: | DesterX |
Das ist die Zykelschreibweise einer Permutation aus der [mm] S_n,
[/mm]
vielleicht ist dir das so geläufiger, (1,2) [mm] \in S_3 [/mm] heisst nichts anderes als die 1 geht auf die 2 und die 2 geht auf die 1, der Rest bleibt fix:
(12) = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 &3}
[/mm]
für (12) [mm] \in S_4:
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & 4} [/mm] usw.
Insgesamt liegt (12) also in der [mm] S_n [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] 3
Genau das gleiche gilt für (23) und die beiden Elemente sind hintereinader geschaltet nicht kommutativ, nun klarer?
Gruß
Dester
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:06 Mo 30.10.2006 | | Autor: | Mini273 |
hallo DesterX,
jetzt ist mir klar, was damit gemeint ist.
Danke vielmals für deine Hilfe.
Viele Grüße,
Mini
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:05 Di 31.10.2006 | | Autor: | SirJective |
Was ist daran kompliziert?
Offensichtlich bilden die Elemente der [mm] $S_n$, [/mm] die die Werte $4, ..., n$ festhalten, eine Symmetriegruppe auf 3 Elementen, also eine zu [mm] $S_3$ [/mm] isomorphe Gruppe.
Wie du festgestellt hast, ist dagegen die Mitteilung einzelner Permutationen durch die verschiedenen Schreibweisen nicht trivial. ;)
Gruß,
SirJective
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| Aufgabe | | Zeige, dass, wenn $ [mm] S_{n} [/mm] $ nicht kommutativ ist, $n [mm] \ge [/mm] 3$ gilt |
wie wäre denn der Ansatz für die Rückrichtung?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:21 Di 07.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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