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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Kommutative Symmetriegruppen
Kommutative Symmetriegruppen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Kommutative Symmetriegruppen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:59 Mo 30.10.2006
Autor: Mini273

Aufgabe
Zeige, dass [mm] S_{n} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 3 nicht kommutativ ist.

Hallo,
Ich hab eine Frage bzgl. dieser Aufgabe. Löst man diese Aufgabe mit Induktion? Ich hab das versucht, weiß aber nicht, wie ich den Induktionsschritt machen soll.... Vielleicht bin ich ja auf einem ganz falschem Trip und man zeigt das ganz anders.

Ich weiß, dass alle Gruppem mit weniger als 6 Elementen kommutativ sind und die [mm] S_{3} [/mm] Gruppe, die kleinste Gruppe ist, die nicht kommutativ ist.

Ich weiß nicht, wie man den Beweis allgemein machen soll, denn man ja nicht für jedes n eine Tabelle aufstellen und da nachschauen. :-)

Ich hoffe, es kann mir jemand weiter helfen bei dem Beweis.

Viele Grüße,
Mini

        
Bezug
Kommutative Symmetriegruppen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:21 Mo 30.10.2006
Autor: SirJective

Hallo,

suche in jeder Gruppe [mm] $S_n, [/mm] n > 3$ eine Untergruppe, die isomorph zur [mm] $S_3$ [/mm] ist.
Dafür brauchst du keine Induktion.

Gruß,
SirJective


Bezug
                
Bezug
Kommutative Symmetriegruppen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:29 Mo 30.10.2006
Autor: DesterX

Hallo!

Warum so kompliziert?
Nimm (12),(23) [mm] \in S_n \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] 3
dann: [mm] (12)\circ(23) \not= (23)\circ(12) [/mm]
und schon biste fertig

Gruß
Dester

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Bezug
Kommutative Symmetriegruppen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:40 Mo 30.10.2006
Autor: Mini273

Hallo DesterX und SirJective,
danke euch beiden für eure Hilfe.
Ich wollte grad eben die Untergruppen bestimmen für [mm] S_{n}, [/mm] als ich dann die Mitteilung gelesen habe.  
Wenns auch einfacher geht, dann ist es ja um so besser :-)

Ich hab aber eine Frage bzgl. der Mitteilung:

>  Nimm (12),(23) [mm]\in S_n \forall[/mm] n [mm]\ge[/mm] 3
>  dann: [mm](12)\circ(23) \not= (23)\circ(12)[/mm]
>  und schon biste
> fertig

Was genau heißt (12) und (23) und warum ist dann in [mm] S_{n} \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] 3?  Das sind doch nur 3 Elemente. Ich versteh nicht ganz, wo man gezeigt wird, dass das auch für n > 3 gilt.


Viele Grüße,
Mini

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Bezug
Kommutative Symmetriegruppen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:56 Mo 30.10.2006
Autor: DesterX

Das ist die Zykelschreibweise einer Permutation aus der [mm] S_n, [/mm]
vielleicht ist dir das so geläufiger, (1,2) [mm] \in S_3 [/mm] heisst nichts anderes als die 1 geht auf die 2 und die 2 geht auf die 1, der Rest bleibt fix:

(12) = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 &3} [/mm]

für (12) [mm] \in S_4: [/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & 4} [/mm] usw.

Insgesamt liegt (12) also in der [mm] S_n [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] 3
Genau das gleiche gilt für (23) und die beiden Elemente sind hintereinader geschaltet nicht kommutativ,  nun klarer?

Gruß
Dester





Bezug
                                        
Bezug
Kommutative Symmetriegruppen: Alles klar
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:06 Mo 30.10.2006
Autor: Mini273

hallo DesterX,
jetzt ist mir klar, was damit gemeint ist.
Danke vielmals für deine Hilfe.

Viele Grüße,
Mini

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Bezug
Kommutative Symmetriegruppen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:05 Di 31.10.2006
Autor: SirJective

Was ist daran kompliziert?
Offensichtlich bilden die Elemente der [mm] $S_n$, [/mm] die die Werte $4, ..., n$ festhalten, eine Symmetriegruppe auf 3 Elementen, also eine zu [mm] $S_3$ [/mm] isomorphe Gruppe.

Wie du festgestellt hast, ist dagegen die Mitteilung einzelner Permutationen durch die verschiedenen Schreibweisen nicht trivial. ;)

Gruß,
SirJective


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Bezug
Kommutative Symmetriegruppen: Rückrichtung
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 20:16 Sa 04.11.2006
Autor: Schulteatq

Aufgabe
Zeige, dass, wenn $ [mm] S_{n} [/mm] $ nicht kommutativ ist, $n [mm] \ge [/mm] 3$ gilt

wie wäre denn der Ansatz für die Rückrichtung?

Bezug
                
Bezug
Kommutative Symmetriegruppen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:21 Di 07.11.2006
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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