Kommutativer Ring mit 1 < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei R ein kommutativer Ring mit 1 und a ein nilpotentes Element, d. h. es existiert ein [mm] $n\in\IN$ [/mm] mit [mm] $a^n=0$. [/mm] Zeigen Sie, dass 1-a eine Einheit in R ist. |
Hallo Leute,
Ich wollte wissen, ob ich jene Aufgabe so beweisen kann.
Meine Rechnung:
[mm] $a(1-a)=1\iff a-a^2=1\iff a^n-a^{n+1}=a^{n-1}\iff 0-0*a=0*\frac{1}{a}\iff [/mm] 0=0$
Aber vielleicht habe ich auch den völlig falschen Ansatz.
Liebe Grüße
Christoph
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:42 Mi 24.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei R ein kommutativer Ring mit 1 und a ein nilpotentes
> Element, d. h. es existiert ein [mm]n\in\IN[/mm] mit [mm]a^n=0[/mm]. Zeigen
> Sie, dass 1-a eine Einheit in R ist.
> Hallo Leute,
>
> Ich wollte wissen, ob ich jene Aufgabe so beweisen kann.
>
> Meine Rechnung:
>
> [mm]a(1-a)=1\iff a-a^2=1\iff a^n-a^{n+1}=a^{n-1}\iff 0-0*a=0*\frac{1}{a}\iff 0=0[/mm]
wieso sollte [mm] $1-a\,$ [/mm] invers zu [mm] $a\,$ [/mm] sein? Wieso sollte [mm] $a\,$ [/mm] invertierbar sein?
Du kennst doch sicherlich
[mm] $$\sum_{k=0}^N q^k=\frac{1-q^{N+1}}{1-q}\,.$$
[/mm]
Sowas scheint mir hier "sinnvoller" zu sein - wobei Du [mm] "$1/(1-q)\,$" [/mm] bei Deiner Aufgabe
besser erstmal nicht schreiben solltest... aber mit etwas "Interpretations-
und Definitionsgeschick" ist das der passende Ansatz!
Vielleicht, damit es klarer wird:
Wir definieren [mm] $b:=\sum_{k=0}^{n-1} a^k \in R\,.$ [/mm] Weise nun nach, dass $b*(1-a)=1$ gilt!
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
vielen Dank für den Hinweis. Ich hatte das a gewählt, weil ich immer mit der Voraussetzung arbeite. Deswegen hatte ich meine Idee so formuliert.
Nun denke ich habe ich die Lösung.
[mm] $b(1-a)=1\iff\summe_{k=0}^{n-1}a^k(1-a)=1\iff \frac{1-a^n}{1-a}*(1-a)=1\iff 1-a^n=1$
[/mm]
Die Glechung ist erfüllt, da [mm] $a^n$ [/mm] nilpotent ist. Also sit 1-a eine Einheit von R
Ist das so korrekt?
Liebe Grüße
Christoph
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> Nun denke ich habe ich die Lösung.
Hallo,
Du setzt also [mm] b:=\summe_{k=0}^{n-1}a^k [/mm] und möchtest nun durch äquivalente Umformungen zeigen, daß b(1-a)=1 wahr ist.
Ich mag dieses Äquivalenzgedöns überhaupt nicht.
Warum rechnest Du nicht einfach auf geradem Wege vor, daß b(1-a) freundlicherweise 1 ergibt?
Gut, das ist aber sicher Geschmackssache.
Meine wahre Kritik setzt an einer anderen Stelle an:
>
> [mm]b(1-a)=1\iff\summe_{k=0}^{n-1}a^k(1-a)=1\iff \frac{1-a^n}{\red{1-a}}*(1-a)=1\iff 1-a^n=1[/mm]
>
Was soll der Bruch?
Und selbst, wenn ich ihn als [mm] (1-a)^{-1} [/mm] interpretiere: an dieser Stelle gehst Du davon aus, daß (1-a) invertierbar ist, was Du jedoch erst zeigen möchtest.
Deine Äquivalenzen überzeugen mich also gar nicht...
Mach das mal lieber anders:
rechne einfach vor, was
[mm] (1+a+a^2+...+a^{n-1})*(1-a) [/mm] ergibt.
LG Angela
> Die Glechung ist erfüllt, da [mm]a%255En[/mm] nilpotent ist. Also sit
> 1-a eine Einheit von R
>
> Ist das so korrekt?
>
> Liebe Grüße
>
> Christoph
>
>
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Hallo Angela,
deine Kritik kann ich gut nachvollziehen. Also habe ich noch ein wenig getüftelt.
[mm] $b(a-1)=\summe_{k=0}^{n-1}a^k(1-a)=(1+a+a^2+...+a^{n-1}-a-a^2-...-a^{n-1}-a^n)=1-a^n=1$
[/mm]
Ist dies in deinem Sinne?
Liebe Grüße
Christoph
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:48 Mi 24.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Angela,
>
> deine Kritik kann ich gut nachvollziehen. Also habe ich
> noch ein wenig getüftelt.
>
> [mm]b(a-1)=\summe_{k=0}^{n-1}a^k(1-a)=(1+a+a^2+...+a^{n-1}-a-a^2-...-a^{n-1}-a^n)=1-a^n=1[/mm]
>
> Ist dies in deinem Sinne?
Ich bin nicht Angela, aber ich denke, dass obiges in ihrem Sinne ist.
FRED
>
> Liebe Grüße
>
> Christoph
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Vielen Dank an Marcel, Angela und Fred. Ihr seit Spitze!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:21 Mi 24.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank an Marcel, Angela und Fred. Ihr seit Spitze!
Danke schön. Als wir gemeinsam über die Antworten auf Deine Fragen diskutierten, entstand gestern Abend dieses ![[]](/images/popup.gif) Bild..
Links, das bin ich. Der Rest ist dann klar.
Gruß FRED
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> Als wir gemeinsam über die Antworten auf
> Deine Fragen diskutierten,
Das war natürlich ein sehr anregender Abend!
> entstand gestern Abend dieses
> Bild..
Aber ich wußte nicht, daß jemand fotografieren würde.
> Links, das bin ich. Der Rest ist dann klar.
Eben.
Was macht das nun für einen Eindruck?
LG Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:53 Mi 24.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Angela,
>
> deine Kritik kann ich gut nachvollziehen.
sehr gut - denn genau das war der Punkt:
Du kannst nicht einfach schon $1/(1-a)$ irgendwo
hinschreiben, wenn Du noch nicht mal weißt, dass
[mm] $1-a\,$ [/mm] invertierbar ist. Wir haben [mm] $b\,$ [/mm] definiert und
behaupten nun, dass [mm] $b\,$ [/mm] DAS INVERSE zu [mm] $1-a\,$ [/mm] ist.
Der Beweis folgt durch nachrechnen der Gleichung [mm] $b*(1-a)=1\,.$
[/mm]
Beachte auch, dass wir bei der Definition von [mm] $b\,$ [/mm] NICHTS
GETAN haben, was wir nicht alleine mit den vorhandenen
Kenntnissen/Voraussetzungen begründen und benutzen können.
> Also habe ich noch ein wenig getüftelt.
>
> [mm]b(a-1)=\summe_{k=0}^{n-1}a^k(1-a)=(1+a+a^2+...+a^{n-1}-a-a^2-...-a^{n-1}-a^n)=1-a^n=1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Ist dies in deinem Sinne?
Ja, ich frage mich nur immer, warum niemand das mit dem Summenzeichen
rechnen will. Natürlich gehen da auch Rechenregeln ein, wie etwa die
Kommutativität der Addition, das Assoziativgesetz der Addition, das
Distributivgesetz, aber das nutzt Du oben auch alles. Also hier mal mit
Summenzeichen, und ich schreibe nochmal alles ausführlich auf:
Es sei $a \in R$ nilpotent mit $a^n=0\,,$ wobei $n \in \IN\,.$ Wir definieren
$b:=\sum_{k=0}^{n-1} a^k$ (es ginge übrigens auch $b:=\sum_{k=0}^N a^k$ für jedes natürliche $N \ge n-1\,,$
man könnte sogar $N=\infty$ setzen (was natürlich dann nicht mehr $\in \IN$ wäre)
und hätte das gleiche $b\,$ definiert. Warum?)
Man beachte: $a^0=1 \in R$ (hier ist die $1\,$ die Eins des Ringes!) und $a \in R \Rightarrow a^m \in R$
(wegen $\cdot \colon R \times R \to \red{\;R\;\$) für alle $m \in \IN\,,$ ferner ist $+\colon R \times R \to \red{\;R\;}\,.$
Per Definition von $b\,$ ist also $b \in R\,.$ (Nebenbei: Auch das hier (klick!) kannst
Du Dir mal durchlesen!)
Es folgt dann
[mm] $$b*(1-a)=(\sum_{k=0}^{n-1}a^k)*(1-a)=(\sum_{k=0}^{n-1}a^k)-a*\sum_{k=0}^{n-1}a^k=(a^0+\sum_{k=1}^{n-1}a^k)-\sum_{k=1}^{n}a^k=(a^0+\sum_{k=1}^{n-1}a^k)-(a^n+\sum_{k=1}^{n-1}a^k)=1-a^n=1-0=1\,.$$
[/mm]
Insbesondere habe ich dabei natürlich die Kommutativität der Multiplikation genutzt, die
auch vorausgesetzt wurde! Damit folgt dann aus obiger Rechnung zudem sofort [mm] $(1-a)*b=1\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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